Analisi Matematica 1 - Benvenuti da poincare.unile.it

Michele Campiti
Prove scritte integrative di
Analisi Matematica 1
Ingegneria Industriale
a.a. 2008–2009
y
f
1
g
0
x
La funzione seno e la funzione esponenziale
Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica 1 ” per Ingegneria Industriale, Facoltà di
Ingegneria, Università del Salento
1
16 febbraio 2009, sede di Brindisi
1. Studiare il carattere della serie:
∞
∑
n
√
3
(−1)
n=1
n log n + n i
.
n2 + 1
2. Studiare il seguente massimo e minimo limite
lim sup
n→+∞
log(1 + en )
cos2 (nπ) ,
n
lim inf
n→+∞
log(1 + en )
cos2 (nπ) .
n
3. Applicare il metodo del trapezio e la formula di Simpson (N = 4) al
seguente integrale
∫ π
sin3 x
dx .
2
0 cos x + 1
4. Scrivere il polinomio di Taylor (n = 4, x0 = 0) della funzione
f (x) = log (1 + arcsin x) .
2
2 marzo 2009, sede di Brindisi
1. Studiare il carattere della serie:
∞ ( )n
∑
i
n=1
2
.
2. Studiare il seguente massimo e minimo limite
(
(
πn )
πn )
lim sup log 1 + cos
lim inf log 1 + cos
,
.
n→+∞
2
2
n→+∞
3. Applicare il metodo del trapezio e la formula di Simpson (N = 3) al
seguente integrale
∫ 1
cos(πx)
dx .
0 2 + cos(3x + 1)π
4. Usare la formula di Taylor per studiare la validit della seguente formula
1
x − arcsin x + x3 = o(x7/2 ) ,
6
x→0.
Facoltativo: Dire per quale α > 0 si ha
1
x − arcsin x + x3 = O(xα ) ,
6
x→0.
3
29 giugno 2009
1. Studiare il carattere della serie:
∞
∑
(
α−n + in−α
)
n=1
al variare del parametro α > 0.
2. Studiare il massimo e minimo limite della seguente successione
(−1)n n
n(+ 1) .
an =
nπ
2
1 + cos
2
arcsin
3. Applicare il metodo del trapezio e la formula di Simpson (N = 4) al
seguente integrale
∫ 4
log2 x
dx .
2
1 cos (πx) + 1
4. Scrivere il polinomio di Taylor (n = 3, x0 = 0) della funzione
f (x) =
log (1 + sin x)
.
cos x
4
Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi
Prova integrativa di Analisi Matematica I
11 gennaio 2010
1. Calcolare il seguente integrale
∫ e
log x (log2 x − 1)
dx .
x (log2 x + 1)
1
2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie:
∞
∑
n=1
(−1)n
nn/3 en
.
nn/2
3. Rispondere alle seguenti domande teoriche (se non si risponde alle
domande teoriche bisogna sostenere la prova orale):
a) Teorema fondamentale del calcolo integrale.
a) Criteri di convergenza assoluta per le serie numeriche.
5
Facoltà di Ingegneria, Lecce
Prova integrativa di Analisi Matematica I
12 gennaio 2010
1. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio
∫ 1
sin2 (πx)
√
log x dx .
x5 (1 − x)7
0
2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie:
∞
∑
n=1
(−1)n
nn/2 en
.
n!
3. Rispondere alle seguenti domande teoriche (se non si risponde alle
domande teoriche bisogna sostenere la prova orale):
a) Formula di Taylor con il resto di Peano.
a) Proprietà algebriche delle serie numeriche.
6
Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi
Prova integrativa di Analisi Matematica I
13 gennaio 2010
1. Calcolare il seguente integrale
∫
π/3
π/6
sin3 x
(1 + cot4 x) dx .
cos x
2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie:
∞
∑
n=1
(−1)n
nn en
.
(n!)2
3. Rispondere alle seguenti domande teoriche (se non si risponde alle
domande teoriche bisogna sostenere la prova orale):
a) Definizione di massimo limite per una successione e criterio di
convergenza di Cauchy.
a) Integrabilità delle funzioni continue e monotone (dimostrazione
di entrambi i risultati).