Prova 2 di Analisi Matematica II - 27 Giugno 2016
Ing. Chimica, Ing. Clinica, Ing. Sicurezza
Prof.ssa Virginia De Cicco
Dott. Pietro Mercuri
Dott. Christian Casalvieri, Dott. Riccardo Durastanti
1)
2)
3)
4)
5)
VOTO:
N.B. La parte sovrastante è riservata al docente.
Cognome
Nome
Dichiaro di aver sostenuto con profitto l’esame di Analisi Matematica 1
FIRMA: .................................................................................................
(la dichiarazione precedente non è necessaria per gli studenti di Ing. Clinica)
ESERCIZIO 1. Per ciascuna delle seguenti questioni, si indichi la (sola)
risposta corretta. Ogni risposta esatta vale 2 punti, ogni risposta errata −1
punto ed ogni risposta non data 0 punti. (10 pt.)
1)
(I) L’integrale
Z
sinh(z)dz
γ
con γ(t) = i log(1 + t), t ∈ [0, 1] vale
(a) cos(log 2) − 1
(b) sin(log 2)
(c) i cos(log 2) − 1
(d) i cosh(log 2) − 1.
(II) Il residuo della funzione
f (z) =
1
2
2i
3
+
+
.
+
2
z − 1 iz − i (z − 1)
z−i
in z = 1 vale
(a)
(b)
(c)
(d)
2
i
−2i
−4i.
(III) Il seguente limite
2
2
ex +(y−5) − 1
lim
(x,y)→(0,5) x2 + (y − 5)2
vale
(a) 5
(b) 0
(c) 12
(d) 1.
(IV) Sia γ il segmento che unisce il punto A = (−1, 1) al punto B =
(1, −1). L’integrale
Z
|xy|ds
γ
vale
(a) 0
(b) 1
(c) 32
(d)
√
2 2
3
.
(V) Sia D il dominio della seguente funzione
f (x, y) =
2x2
1
.
+ y2 − 1
Una delle seguenti affermazioni è falsa. Si dica quale.
(a) D è aperto
(b) D non è semplicemente connesso
(c) D è connesso
(d) D è illimitato.
ESERCIZIO 2.
(i) Si enunci il Lemma di Jordan.
(ii) Si calcoli il seguente integrale
Z∞
cos(2x)
dx.
+ 3x + 4
x2
−∞
ESERCIZIO 3.
(i) Si enunci il Primo Teorema di Guldino per il calcolo dei volumi.
(ii) Si disegni il seguente insieme
o
n
x2 y 2 z 2
+
+
≤1 .
Ω = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 1,
9
9
4
(iii) Si calcoli il suo volume.
ESERCIZIO 4.
(i) Data una funzione f : R → R di classe C ∞ , si dia la definizione di serie
di Taylor di f in x0 .
(ii) Si enunci il teorema di derivazione per serie di potenze.
(iii) Si utilizzi tale teorema per calcolare f (9) (0) per la funzione
2
f (x) = 5xex .
ESERCIZIO 5.
(i) Si dia la formula della trasformata di Laplace per un segnale periodico,
con periodo T .
(ii) Dato il segnale
f (t) =
1
0
2kπ ≤ x ≤ (2k + 1)π,
altrimenti
se ne calcoli la trasformata di Laplace.
k∈Z
