PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA II (V.O.), ANNO 2002
Prova scritta del 10/01/2002
Esercizio 1
Si esamini la serie di funzioni:
X
1
,
log (en + n)
x
definita per x ∈ IR . Si determini l’insieme S in cui tale serie converge, si controlli
se in S la convergenza é uniforme, e se nell’insieme S ∩ [ A+1
, +∞[ si ha convergenza
A
totale, ove A = numero lettere del nome.
Esercizio 2
Si determini la totalitá delle soluzioni della seguente equazione differenziale:
(sin x) y 00 + (sin x) y = cos 2x,
e si trovi quella soluzione y0 che verifica:
lim y0 (x) = lim y0 (x) = 0.
x→0
Esercizio 3
x→π/2
Determinare i massimi e minimi liberi (se ve ne sono) della funzione
h(x, y) =
xy + 1
xy + B
log
,
xy + B
xy + 1
nel suo campo di definizione.
Soluzioni compito 10/01/02
Esercizio 1 Dato che la successione an = log(e1n +n) é infinitesima dello stesso ordine di n1 ,
per n che tende a +∞, la serie data converge per x > 1 e diverge per x ≤ 1. Non si ha
convergenza uniforme in S =]1, +∞[, (altrimenti si dovrebbe avere convergenza anche
per x = 1) ma si ha convergenza totale in [ A+1
, +∞[, essendo ivi logx (e1n +n) ≤ loga (e1n +n) ,
A
ove a = A+1
.
A
Esercizio 2 E’ facile notare che y1 = cos x e y2 = sin x costituiscono un sistema fondamentale per l’equazione omogenea associata. Mediante il metodo della variazione
delle costanti arbitrarie, si determina facilmente una soluzione particolare:
y0 = (sin x) log (sin x).
Essa é anche la soluzione particolare che verifica le condizioni ai limiti imposte.
1
Esercizio 3
Studiando la funzione
ϕ(t) =
t+1
t+B
log
,
t+B
t+1
si vede facilmente che essa é definita per t < −B e t > −1. (Chiaramente, si presume
B > 1). Si vede inoltre che tale funzione ammette solo un massimo relativo per
t = B−e
.
e−1
Di conseguenza, la funzione data ammette massimi relativi nei punti (x, y) con xy =
B−e
, in quanto verificanti la condizione xy > −1.
e−1
Prova scritta del 21/03/2002
Esercizio 1
Si consideri la successione di funzioni, definita da:
√
x2 + nx + n2 − n
, x 6= 0
fn (x) =
x
1
,
x = 0.
2
Si studi la convergenza puntuale in IR, e si stabilisca se sussiste anche convergenza
uniforme, o in tutto IR o almeno in [0, A] ove A = numero lettere del nome.
Esercizio 2
Si risolva il sistema di equazioni differenziali:
(
y 00 = y − t
x00 = x + 2y 00
con t ∈ [0, 1], e con i seguenti dati iniziali:
y(0) = 1, x(0) = 0, y 0 (0) = 2, x0 (0) = 1.
Esercizio 3 Sia Γ la curva in IR2 definita dalle equazioni parametriche:
(
x(t) = tet
Γ:
y(t) = t + et
con t ∈ [0, 1]. Si determini l’area della regione di piano E delimitata dalla curva Γ, e
dalle rette x = e, y = 1.
Soluzioni compito 21/03/2002
2
Esercizio 1
Per x 6= 0, risulta
√
x2 + nx + n2 − n
x+n
1
lim
= lim √
= ,
n→+∞
n→+∞
x
2
x2 + nx + n2 + n
quindi la successione data converge puntualmente alla costante 21 .
Risulta poi: fn (n) = 1+2√3 , per ogni n, il che ovviamente esclude che la convergenza
possa essere uniforme in IR. Nell’intervallo ]0, A], ponendo u = nx , si puo’ scrivere
fn (x) =
1+u
√
:= g(u);
1 + 1 + u + u2
poiché risulta limu→0 g(u) = 21 , se ne deduce che, per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale
che |g(u) − 21 | < ε quando |u| < δ. Ora, in ]0, A] risulta x ≤ A e |u| ≤ A/n, pertanto,
scelto n > A/δ, si ha |g(u) − 1/2| < ε, e quindi in [0, A] la convergenza é uniforme.
Esercizio 2
La prima equazione ha ovviamente come soluzione la funzione
y(t) = t + et .
Sostituendo y 00 nella seconda equazione, si trova:
x00 − x = 2et .
Col dato iniziale assegnato, la soluzione é
x(t) = tet .
Esercizio 3 Adoperando le formule di Green, l’area di E é data da:
Z
Z e+1
Z 0
xdy =
e dy +
tet (1 + et )dt,
F r(E)
1
1
poiché il tratto orizzontale non da’ contributo. Un semplice calcolo fornisce il risultato:
3e2 − 5
mis(E) = e2 − 5/4 − e2 /4 =
.
4
Prova scritta del 24/04/2002
Esercizio 1 Si consideri la successione di funzioni
e−nx
fn (x) = 2
x + n2
3
definita per x ≥ 0. Si determini quindi l’insieme A di convergenza della serie
e si denoti con S(x) la somma di tale serie, per x ∈ A.
P∞
n=1
fn (x),
Si dimostri che S é decrescente in A.
Si puo’ dire che S é continua in A?
P
0
Si puo’ dire che S 0 (x) = ∞
n=1 fn (x) in A?
Esercizio 2
Si trovino tutte le soluzioni del seguente sistema di equazioni differenziali:
y 00 (x) + y(x) = 2z 0 (x)
00
z 0 (x) − y (x) = xz(x)
2
2
Esercizio 3
Si consideri il solido Q, definito da:
Q = {(x, y, z) ∈ IR
3
: 0 ≤ z ≤ 1 − (x2 + y 2 )}.
Si determini il volume di Q, e la quota zG del suo baricentro.
Soluzioni compito 24/04/2002
Esercizio 1
Risulta, ovviamente,
1
,
n2
per ogni n e ogni x ≥ 0 : per cui la serie data é totalmente convergente nell’insieme
assegnato: dunque A = [0, +∞[. Dato che si ha convergenza uniforme, e che le
funzioni fn sono continue, per noti teoremi anche S é continua, in A. Derivando fn ,
−nx
−nx
si ottiene fn0 (x) = − xne2 +n2 − (x2xe
2 +n2 )2 .
|fn (x)| ≤
Da cio’ si vede chiaramente che ogni fn é decrescente, e quindi anche la somma S lo
é.
P
0
Infine, essendo fn0 (0) = n1 , é chiaro che la serie ∞
n=1 fn (x) non é convergente in tutto
A. Si ha tuttavia
ne−nε
≤
+ e−nε
2
n
non appena x ≥ ε, per qualsiasi fissato ε > 0, e dunque S risulta derivabile per ogni
P
0
x > 0, e si ha S 0 (x) = ∞
n=1 fn (x) per x > 0.
|fn0 (x)|
4
Esercizio 2
Un confronto immediato tra le due equazioni porta alla relazione
y(x) = xz(x).
Da qui, derivando, si ottiene y 0 = z + xz 0 , e y 00 = 2z 0 + xz 00 . Sostituendo quindi nella
prima equazione, si ricava
xz 00 + xz = 0
e quindi le soluzioni
z = A cos x + B sin x, y = Ax cos x + Bx sin x.
Esercizio 3
Il volume di Q non é altro che l’integrale:
ZZ
V =
(1 − x2 − y 2 )dxdy
D
ove D é il cerchio, nel piano xy, di centro l’origine e raggio 1. Si ha pertanto
Z 2π Z 1
1 1
π
V =
( (1 − ρ2 )ρdρ)dθ = 2π( − ) = .
2 4
2
0
0
Per quanto riguarda la quota del baricentro, é
Z Z Z 1−ρ2
Z 1
1
1
zG =
(
zdz)ρdρdθ = 2
ρ(1 − ρ2 )2 dρ = .
V
3
D 0
0
Prova scritta del 18/06/2002
Esercizio 1 Data la successione di funzioni
fn (x) = nxn (1 − x) log x,
x ∈ [0, 1]
dimostrare che:
i) ogni fn é integrabile in s.g. e calcolare
R1
0
fn (x)dx;
ii) verificare che la successione (fn ) converge puntualmente ad una funzione f , anch’essa
integrabile;
iii) verificare se risulta
1
Z
lim
n→∞
1
Z
fn (x)dx =
0
f (x)dx.
0
5
Esercizio 2
Data l’equazione differenziale
x3 y 00 + xy = 1
trovare l’espressione dell’integrale generale.
Esercizio 3
Data la forma differenziale lineare
y(log(xy) + 1)dx + x(log(xy) + 1)dy
si verifichi che é chiusa nel primo quadrante e si valuti il suo integrale curvilineo lungo
un qualunque arco della curva y = k/x, con k costante positiva, e 0 < α < x < β. Si
determini il potenziale U , sapendo che esso é della forma U (x, y) = f (xy).
Soluzioni compito 18/06/2002
Esercizio 1 Dato che la funzione log x é un infinito in 0 di ordine inferiore rispetto a
tutte le funzioni fn sono limitate, e pertanto integrabili anche in senso classico.
√1 ,
x
L’integrale si calcola facilmente per parti:
1
Z
fn (x)dx =
0
2n2 + 3n
.
(n + 1)2 (n + 2)2
Anche il limite puntuale é di facile individuazione: limn fn (x) = 0 per ogni x, e
ovviamente la funzione limite é integrabile. Infine, poiché l’integrale di fn tende a 0,
si ha anche il passaggio a limite sotto il segno di integrale.
Esercizio 2
L’equazione omogenea associata é del tipo di Eulero:
x2 y 00 + y = 0.
Un sistema fondamentale é dato da
√
√
3
y1 (x) = x sin(
log(x)),
2
y2 (x) =
√
√
3
x cos(
log(x)).
2
Una soluzione particolare dell’equazione completa é: y(x) =
generale é:
1
y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + .
3x
6
1
,
3x
e quindi la soluzione
Esercizio 3
La verifica della chiusura é un calcolo semplice. Per quanto riguarda
l’integrale curvilineo, esso si riconduce a:
Z β
k
k
(log(k) + 1) − x(log(k) + 1) 2 dx.
x
x
α
Poiché l’integranda é identicamente nulla, cosi’ é l’integrale.
Da cio’ si deduce che U (x, y) = f (xy), per opportuna funzione f . Impostando le
condizioni
∂U
∂U
= y(log(xy) + 1),
= x(log(xy) + 1)
∂x
∂y
si ricava:
f 0 (t) = log(t) + 1
da cui ovviamente f (t) = t log t e quindi il potenziale cercato é della forma:
U (x, y) = xy log xy + C
con C costante arbitraria.
Prova scritta del 28/09/2002
Esercizio 1
Sia f : [0, 1] → R, la funzione definita da
Z
f (x) =
x
0
sin t
dt.
t
Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie di funzioni
∞
X
n=1
f(
x
).
n2
(Sugg: si faccia uso del teorema di derivazione sotto il segno di serie)
Esercizio 2
Calcolare il seguente limite:
Z Z
lim
n→+∞
Bn
7
y
dxdy,
(1 + nx)2
dove Bn = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ n, x ≥ 0, y ≥ 0}.
Esercizio 3
Calcolare la distanza dall’origine dell’insieme
B = {(x, y) : x < 0, y ≤
1
}.
x
(Si ricorda la formula che esprime la distanza di un punto P da un insieme B:
d(P, B) = inf{|P − b| : b ∈ B}).
Soluzioni compito 28/09/2002
Esercizio 1
Intanto, la serie di funzioni data converge banalmente a 0 per x = 0. La serie derivata
é data da
X 1 sin x/n2
1X
x
=
sin 2 ,
2
2
n x/n
x
n
per x 6= 0, e da
X 1
n2
per x = 0 (basta mandare a limite il termine generale della precedente, per x → 0).
P 1
La serie derivata é dominata da
, sia per x vicino a 0 che per x lontano da 0, e
n2
quindi risulta totalmente convergente.
Se ne conclude che la serie iniziale converge uniformemente in tutto IR .
Esercizio 2
Usando le coordinate polari, l’integrale diventa:
! Z √
Z √n
Z π/2
Z √n
n
sin
θ
1
ρ2
2
ρ2 dρ
dθ
=
(1
−
)ρ
dρ
=
dρ.
(1 + nρ cos θ)2
1 + nρ
1 + nρ
0
0
0
0
L’ultimo integrale si risolve tramite la divisione tra polinomi, e si ottiene
√
Z
0
n
√
ρ2
log(1 + n n)
1
1
dρ = − √ +
1 + nρ
2 n n
n3
e quindi il limite cercato é 12 .
8
Esercizio 3
Notiamo che minimizzare la distanza o il suo quadrato é la stessa cosa. Per ogni punto
(x, y) ∈ B, si ha d((x, y), (0, 0))2 = x2 + y 2 . Evidentemente, non vi sono minimi liberi,
nella regione indicata, e quindi ricerchiamo i minimi sulla frontiera di B: pertanto,
poniamo y = x1 e minimizziamo la funzione
f (x) = x2 +
1
.
x2
4
Poiché f 0 (x) = 2xx3−2 , si vede facilmente che x = −1 é l’unico valore accettabile di
x che rende minima f , e corrisponde al punto (−1, −1) di B. Dunque, la distanza
√
cercata é 2.
Prova scritta del 09/12/2002
Esercizio 1
Si consideri la successione di funzioni (fn ), definita da:
x+1/n
Z
|t| dt
fn (x) = n
x
per ogni x ∈ IR . Si determini l’insieme S ⊂ IR in cui si ha convergenza, e si controlli
se in S si ha convergenza uniforme.
Esercizio 2
Sia A il numero delle lettere del nome. Siano poi C1 e C2 le curve piane di equazioni
(
(
x = A cos t
x = (A + 1) cos t
C1 ≡
; C2 ≡
, t ∈ [0, 2π].
y = (A + 1) sin t
y = (A + 1) sin t
Considerata la regione di piano E, contenuta nel semipiano x ≥ 0, e delimitata dalle
due curve suddette, si determini il baricentro di E.
Esercizio 3
Data l’equazione differenziale
x2 (log x − 1)y 00 − xy 0 + y = 0,
determinarne tutte le soluzioni y che verificano limx→0+ y(x) = +∞.
9
Soluzioni compito 09/12/2002
Esercizio 1 Usando il teorema della media, vediamo che risulta
fn (x) = |x +
θ
|
n
ove θ é un numero opportuno in [0, 1], dipendente da x e da n. Chiaramente allora
si ha limn→∞ fn (x) = |x| per ogni x ∈ IR .
Distinguendo i casi x > 0 e x < 0, si vede facilmente che la convergenza é uniforme
sia in ] − ∞, 0[ che in ]0, +∞[ e quindi si ha convergenza uniforme in tutto IR .
Esercizio 2 La regione E é differenza di una semiellisse e una semicirconferenza: la sua
2
area é dunque S(E) = ((A+1) −A(A+1))π
= (A+1)π
. L’ordinata del baricentro é nulla
2
2
per motivi di simmetria, dunque resta da calcolarne l’ascissa xG . Usando ad esempio
le formule di Green, si ottiene
Z
2
2S(E)xG =
x dy =
F r(E)
Z
π/2
4
((A + 1)3 − A2 (A + 1)) cos3 θdθ = (A + 1)(2A + 1).
3
−π/2
Si deduce quindi
xG =
1
8
(A + ).
3π
2
Esercizio 3 Una soluzione particolare é immediata: y1 = x. Adoperando note formule,
si ricava una seconda soluzione, linearmente indipendente: y2 = log x. La soluzione
generale é dunque
y = c1 x + c2 log x
e quelle che soddisfano al limite indicato sono tutte quelle per cui é c2 < 0.
10
