Analisi Matematica II 15 Gennaio 2007, ore 11.00 Versione A Nome

Analisi Matematica II
15 Gennaio 2007, ore 11.00
Versione A
Nome, Cognome:
Numero di matricola:
Docente:
Corso di Laurea:
Codice corso:
Analisi II 7,5 cr.
es. 1,3,4
Analisi D
es. 1,2,5
Analisi II V.O.
es. 1,3,4
Esercizio 1 (10 punti). Siano dati il campo piano:
F(x, y) = (2xy) i + xj
e la regione
D = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2x .
1. Indicato con ∂D è il bordo di D percorso in senso antiorario, calcolare
R
∂D
F · dP.
2. Si calcoli lo stesso integrale applicando il Teorema di Green.
Esercizio 2 (10 punti). Calcolare
Z Z Z
(y 2 + z 2 ) dx dy dz,
D
dove D ⊆ R3 è l’insieme di punti
D = (x, y, z) ∈ R3 : (x + 2)2 ≥ y 2 + z 2 , − 2 ≤ x ≤ 0
Esercizio 3 (10 punti). Sia data la serie
∞
X
n=1
n
bn x =
∞ X
(−1)n 2n
n=1
n2
n+5
+
n5
xn .
1. Determinarne il raggio di convergenza.
2. Determinare l’insieme di convergenza puntuale della serie data; mostrare che la serie converge anche
uniformemente su tale intervallo.
P∞
3. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie n=1 bn enx
Esercizio 4 (10 punti). Sia dato il sistema di equazioni differenziali lineari
2α −2α
Ẋ =
X.
2
0
1. ( solo per gli studenti del Nuovo Ordinamento) Discutere la stabilità dell’origine al variare di α ∈ R.
2. Determinare l’integrale generale del sistema, quando α = 4.
3. (solo per gli studenti del Vecchio Ordinamento) Dato il sistema completo
8 −8
t+1
4t
Ẋ =
X +e
,
2 0
t
esiste una soluzione del tipo X(t) = e4t Q(t), con Q(t) polinomio vettoriale di grado 1?
Esercizio 5 (10 punti). Sia data la funzione
f (x, y) = 1 + arcsin(x2 + 6y 2 ).
1. Determinare il dominio di f e disegnarlo nel piano cartesiano.
2. Scrivere la formula di Taylor nell’intorno del punto (0, 0), esplicitandone i termini fino al secondo
ordine compreso.
3. Determinare i punti critici di f , specificandone il tipo.
Analisi Matematica II
15 Gennaio 2007, ore 11.00
Versione B
Nome, Cognome:
Numero di matricola:
Docente:
Corso di Laurea:
Codice corso:
Analisi II 7,5 cr.
es. 1,3,4
Analisi D
es. 1,2,5
Analisi II V.O.
es. 1,3,4
Esercizio 1 (10 punti). Siano dati il campo piano:
F(x, y) = (3xy) i + xj
e la regione
D = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, − 2x ≤ y ≤ −x .
R
1. Indicato con ∂D è il bordo di D percorso in senso antiorario, calcolare ∂D F · dP.
2. Si calcoli lo stesso integrale applicando il Teorema di Green.
Esercizio 2 (10 punti). Calcolare
Z Z Z
(x2 + z 2 ) dx dy dz,
D
dove D ⊆ R3 è l’insieme di punti
D = (x, y, z) ∈ R3 : (y + 3)2 ≥ x2 + z 2 , − 3 ≤ y ≤ 0
Esercizio 3 (10 punti). Sia data la serie
∞
X
n
bn x =
n=1
∞ X
(−1)n
n=1
2n n 3
n+6
+
n5
xn .
1. Determinarne il raggio di convergenza.
2. Determinare l’insieme di convergenza puntuale della serie data; mostrare che la serie converge anche
uniformemente su tale intervallo.
P∞
3. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie n=1 bn enx
Esercizio 4 (10 punti). Sia dato il sistema di equazioni differenziali lineari
−2α 2α
Ẋ =
X.
−2
0
1. ( solo per gli studenti del Nuovo Ordinamento) Discutere la stabilità dell’origine al variare di α ∈ R.
2. Determinare l’integrale generale del sistema, quando α = 4.
3. (solo per gli studenti del Vecchio Ordinamento) Dato il sistema completo
−8 8
t+1
−4t
Ẋ =
X +e
,
−2 0
t
esiste una soluzione del tipo X(t) = e−4t Q(t), con Q(t) polinomio vettoriale di grado 1?
Esercizio 5 (10 punti). Sia data la funzione
f (x, y) = 1 + arcsin(3x2 + y 2 ).
1. Determinare il dominio di f e disegnarlo nel piano cartesiano.
2. Scrivere la formula di Taylor nell’intorno del punto (0, 0), esplicitandone i termini fino al secondo
ordine compreso.
3. Determinare i punti critici di f , specificandone il tipo.
Analisi Matematica II
15 Gennaio 2007, ore 11.00
Versione C
Nome, Cognome:
Numero di matricola:
Docente:
Corso di Laurea:
Codice corso:
Analisi II 7,5 cr.
es. 1,3,4
Analisi D
es. 1,2,5
Analisi II V.O.
es. 1,3,4
Esercizio 1 (10 punti). Siano dati il campo piano:
F(x, y) = (−2xy) i + xj
e la regione
D = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, − 2x ≤ y ≤ x .
1. Indicato con ∂D è il bordo di D percorso in senso antiorario, calcolare
R
∂D
F · dP.
2. Si calcoli lo stesso integrale applicando il Teorema di Green.
Esercizio 2 (10 punti). Calcolare
Z Z Z
(y 2 + z 2 ) dx dy dz,
D
dove D ⊆ R3 è l’insieme di punti
D = (x, y, z) ∈ R3 : (x + 4)2 ≥ y 2 + z 2 , − 4 ≤ x ≤ 0
Esercizio 3 (10 punti). Sia data la serie
∞
X
n=1
n
bn x =
∞ X
(−1)n 3n
n=1
n4
n+4
+
n5
xn .
1. Determinarne il raggio di convergenza.
2. Determinare l’insieme di convergenza puntuale della serie data; mostrare che la serie converge anche
uniformemente su tale intervallo.
P∞
3. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie n=1 bn enx
Esercizio 4 (10 punti). Sia dato il sistema di equazioni differenziali lineari
3α −3α
Ẋ =
X.
3
0
1. ( solo per gli studenti del Nuovo Ordinamento) Discutere la stabilità dell’origine al variare di α ∈ R.
2. Determinare l’integrale generale del sistema, quando α = 4.
3. (solo per gli studenti del Vecchio Ordinamento) Dato il sistema completo
12 −12
t+1
6t
Ẋ =
X +e
,
3
0
t
esiste una soluzione del tipo X(t) = e6t Q(t), con Q(t) polinomio vettoriale di grado 1?
Esercizio 5 (10 punti). Sia data la funzione
f (x, y) = 1 + arcsin(x2 + 5y 2 ).
1. Determinare il dominio di f e disegnarlo nel piano cartesiano.
2. Scrivere la formula di Taylor nell’intorno del punto (0, 0), esplicitandone i termini fino al secondo
ordine compreso.
3. Determinare i punti critici di f , specificandone il tipo.
Analisi Matematica II
15 Gennaio 2007, ore 11.00
Versione D
Nome, Cognome:
Numero di matricola:
Docente:
Corso di Laurea:
Codice corso:
Analisi II 7,5 cr.
es. 1,3,4
Analisi D
es. 1,2,5
Analisi II V.O.
es. 1,3,4
Esercizio 1 (10 punti). Siano dati il campo piano:
F(x, y) = (−3xy) i + xj
e la regione
D = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, − x ≤ y ≤ 2x .
1. Indicato con ∂D è il bordo di D percorso in senso antiorario, calcolare
R
∂D
F · dP.
2. Si calcoli lo stesso integrale applicando il Teorema di Green.
Esercizio 2 (10 punti). Calcolare
Z Z Z
(x2 + z 2 ) dx dy dz,
D
dove D ⊆ R3 è l’insieme di punti
D = (x, y, z) ∈ R3 : (y + 5)2 ≥ x2 + z 2 , − 5 ≤ y ≤ 0
Esercizio 3 (10 punti). Sia data la serie
∞
X
n
bn x =
n=1
∞ X
(−1)n
n=1
3n n 3
n+3
+
n5
xn .
1. Determinarne il raggio di convergenza.
2. Determinare l’insieme di convergenza puntuale della serie data; mostrare che la serie converge anche
uniformemente su tale intervallo.
P∞
3. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie n=1 bn enx
Esercizio 4 (10 punti). Sia dato il sistema di equazioni differenziali lineari
−3α 3α
Ẋ =
X.
−3
0
1. ( solo per gli studenti del Nuovo Ordinamento) Discutere la stabilità dell’origine al variare di α ∈ R.
2. Determinare l’integrale generale del sistema, quando α = 4.
3. (solo per gli studenti del Vecchio Ordinamento) Dato il sistema completo
−12 12
t+1
−6t
Ẋ =
X +e
,
−3
0
t
esiste una soluzione del tipo X(t) = e−6t Q(t), con Q(t) polinomio vettoriale di grado 1?
Esercizio 5 (10 punti). Sia data la funzione
f (x, y) = 1 + arcsin(2x2 + y 2 ).
1. Determinare il dominio di f e disegnarlo nel piano cartesiano.
2. Scrivere la formula di Taylor nell’intorno del punto (0, 0), esplicitandone i termini fino al secondo
ordine compreso.
3. Determinare i punti critici di f , specificandone il tipo.