Calcolo dell'integrale circolare Come è noto, l’integrale indefinito di una funzione integrabile f(x) può essere calcolato come somma di una qualsiasi primitiva F(x) della f(x) e di una costante arbitraria. x In particolare, F(x) può essere la funzione integrale ∫ f (t )dt . a Questo metodo può essere applicato per calcolare l’integrale ∫ a 2 − x 2 dx . x Consideriamo ∫ a 2 − x 2 dx . Esso rappresenta l’area della parte finita di piano compresa tra l’asse 0 Oy , l’asse Ox, la circonferenza di equazione x 2 + y2 = a2 e la retta parallela a Oy di equazione x = x . Il rettangoloide OXPA viene scomposto nel triangolo OXP e nel settore circolare POA. Essendo OX OP = = PX = x, a, a2 − x2 , l’area del triangolo è data da 1 x a2 − x 2 . 2 1 2 a ⋅ α , essendo α la 2 x x , avremo α = arcsin( ) . a a L’area del settore circolare è il semiprodotto dell’arco per il raggio, cioè ∧ ∧ misura in radianti dell’angolo AOP . Poiché sin( AOP ) = Quindi si ottiene (aggiungendo la costante additiva C ) ∫ x a 2 − x 2 dx Ezio Fornero = ∫ 0 a 2 − x 2 dx + C = 1 1 x x a 2 − x 2 + a 2 ⋅ arcsin( ) + 2 2 a C .