8.3. Franca Tortorella e gli alunni della IV B, a. s. 2011

Probabilità e Statistica
Tra epoca antica ed epoca moderna
Un salto
da Pascal
a Kolmogorov
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PREMESSA
Nel corso del nostro studio abbiamo
notato come molti argomenti siano
stati trattati esaurientemente già
prima dell’era cristiana. Gli Elementi
di Euclide, infatti, danno conferma di
ciò non solo per quanto riguarda la
geometria elementare, ma anche per
molte questioni di aritmetica. Il
grado di perfezione raggiunto dai
greci in geometria è stato superato
soltanto dopo più di duemila anni, e
cioè nel XIX secolo, con la scoperta
delle geometrie non euclidee.
Lo sviluppo dell’algebra è stato
molto più lento. Bisogna arrivare, infatti, al XVI secolo per avvertire un vero e
proprio salto di qualità rispetto agli studi precedenti, i quali consideravano le
equazioni di 2° grado come le colonne d’Ercole dell’algebra. Gli algebristi del ‘500,
a dispetto di tutte le radicate convinzioni, riuscirono a spingersi fino alla
risoluzione delle equazioni di 4° grado. Nel giro di pochi anni l’algebra diventa lo
strumento più efficace per la risoluzione di molti problemi geometrici. Comincia
così ad acquistare le caratteristiche di una vera e propria scienza che non aveva
nulla da invidiare alla consolidata e affermata geometria.
Si fa strada in tal modo l’idea di una certa autonomia dalla cultura classica.
L’uomo del ‘500 acquista piena consapevolezza delle
proprie capacità creative che lo liberano dalla
sudditanza del passato.
In tutti i campi del sapere le questioni vengono
affrontate con mezzi e prospettive nuovi.
La grande autorità esercita da Aristotele per decine
di secoli viene messa in discussione e rigettata,
specie nel campo della fisica.
Tuttavia, soltanto in matematica furono raggiunti
risultati molto espressivi e pregnanti, il cui influsso
fu avvertito oltre lo stretto ambito della
disciplina.(In figura Gerolamo Cardano 1501-1576).
A questo punto la cultura classica acquista una
dimensione nuova e, comunque, assolutamente non
totalizzante.
Le conquiste realizzate in algebra diedero un grande
impulso alla ricerca scientifica. Infatti, con l’algebra
presero l’avvio altri rami della matematica come la
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geometria analitica e il calcolo
infinitesimale, la cui importanza è
testimoniata dai grandi progressi realizzati
nella meccanica, struttura portante di tutta
la scienza moderna.
Con la geometria analitica e il calcolo
infinitesimale prende l’avvio anche un nuovo
ramo della matematica: il calcolo delle
probabilità, che si pone come obiettivo la
ricerca di una certa regolarità anche per quei
fenomeni che regolari non lo sono per
niente.
Si tratta di un progetto ambizioso
e, in un certo senso, velleitario,
che poteva essere perseguito
soltanto da chi nutriva grande
fiducia nel progresso scientifico.
I fenomeni astronomici attrassero
l’attenzione
dell’uomo
sin
dall’antichità a causa della
periodicità regolare con cui si
verificavano. Ciò ha permesso la
scoperta di molte leggi che
regolano il moto degli astri.
L’uomo dell’era moderna comincia
ad interessarsi di questioni che
nell’antichità
non
avrebbero
sicuramente trovato posto nel campo della ricerca scientifica. Difatti, il calcolo
delle probabilità prese le mosse dal gioco d’azzardo. Le sue origini perciò sono
poco nobili. Il primo ad interessarsi della ricerca di una legge che regolasse il gioco
con i dadi fu Blaise Pascal. Si distinsero in questo campo anche Fermat, Eulero e
Bernoulli. Tuttavia soltanto ai primi del XIX secolo, con Laplace, il calcolo delle
probabilità acquista pieno diritto di cittadinanza nel mondo matematico.
Nel calcolo delle probabilità Laplace riconobbe un vero e proprio strumento di
ricerca scientifica. Le sue idee trovarono la più ampia conferma nel XX secolo con i
grandi progressi realizzati in fisica quantistica.
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INTRODUZIONE
Il calcolo della probabilità
è lo strumento che fa sì
che l’uomo assuma un
comportamento
razionale
di
fronte
all’incertezza.
L’esperienza quotidiana
mostra che i fatti
osservabili non sono
generalmente prevedibili,
eppure si presenta spesso
la necessità di prendere
decisioni che riguardano
eventi futuri.
Il
calcolo
della
probabilità permette di assumere atteggiamenti coerenti e giustificabili nel caso
di eventi futuri non ripetibili e di effettuare previsioni quantitative attendibili nel
caso di eventi ripetibili uniformemente e per i quali è quindi possibile effettuare
una serie sufficientemente lunga di osservazioni.
Il calcolo delle probabilità nasce dagli studi dei matematici sui giochi d’azzardo. Da
questi studi, nei primi dell’800, ha origine la prima definizione di probabilità, detta
classica. Successivamente si ebbero le definizioni frequentista e soggettiva e, per
ultimo la definizione assiomatica, dovuta principalmente a Komolgorov.
Tutte le definizioni necessitano, però, di un concetto basilare su cui tutte si
fondano: il concetto di evento.
Per gli eventi vale quanto detto per le proposizioni(il concetto di proposizione
riguarda un enunciato per il quale è possibile esprimere immediatamente una
valutazione sulla sua verità o falsità. Vero o falso sono detti valori di verità della
proposizione).
Per cui dati due eventi semplici, due eventi cioè espressi da enunciati non
scomponibili in enunciati più semplici aventi senso compiuto, E1 ed E2, si può
ottenere un evento composto mediante i connettivi logici e (^) ed o (v), oppure
dato un evento E, è possibile considerare la sua negazione (connettivo logico non)
come evento che si verifica se non si verifica E.
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Le operazioni tra eventi,
medianti i connettivi e ed o,
sono commutativi, associative
e godono della proprietà di
idempotenza.
Per esempio, sono eventi
semplici
E1 : uscita di testa nel lancio di
una moneta
E2 : uscita del 3 nel lancio di
un dado
E3 : uscita di un numero pari
nel lancio di un dado;
mentre sono eventi composti,
ottenuti dai precedenti,
E2 V E3 : uscita del 3 o di un
numero pari nel lancio di un
dado
DEFINIZIONE: due eventi, E1 ed E2, si dicono incompatibili, se il verificarsi dell’uno
esclude il verificarsi dell’altro. In caso contrario, i due eventi si diranno
compatibili.
Esempio: supponiamo di estrarre, da un mazzo di carte da gioco, una carta. Gli
eventi
E1 :estrazione di una carta rossa
E2: estrazione di una figura,
sono compatibili, perché è possibile estrarre una figura rossa.
DEFINIZIONE: due eventi, E1 ed E2 ,si dicono indipendenti, se il verificarsi di uno
dei due non influenza il verificarsi dell’altro. In caso contrario, i due eventi si
dicono dipendenti.
Esempio: consideriamo il gioco della Roulette. Gli eventi
E1 uscita di un numero rosso
E2 uscita di un numero pari
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sono indipendenti; infatti il verificarsi dell’uno non influisce sul verificarsi
dell’altro. In caso contrario i due eventi si dicono dipendenti.
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DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITÀ
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Nel mondo che ci circonda
troviamo una quantità
innumerevole di situazioni
probabilistiche.
La probabilità nasce per
rispondere
ad alcune
domande.
Infatti
nel
lontano 1654 un giocatore
d'azzardo, il cavaliere di
Merè, chiese consiglio ad
un matematico francese,
Blaise Pascal (1601-1665),
sul modo di ripartire le
sue puntate in denaro in
un gioco di dadi. Pascal
discusse il problema con un
altro eminente matematico ,
di nome Pierre Fermat (16231662), e la soluzione di questo
problema diede origine alla
teoria della probabilità.
Una delle questioni proposte,
considerata un paradosso, è la
seguente: secondo il giocatore
d'azzardo, la probabilità di
avere almeno un 6 su quattro
lanci di un dado è almeno un doppio 6 su ventiquattro lanci di due dadi doveva
essere la stessa; questa sua convinzione,però non era confermata dall'esperienza.
Aveva ragione l'esperienza. I due matematici francesi avevano quindi discusso su
un fenomeno che in matematica era completamente nuovo. Fino ad allora,
infatti,ad opera principalmente di Galileo Galilei (1564-1642) e Isaac
Newton(1642-1727), dominava un modo di vedere la realtà, detto determinismo
meccanicistico secondo il quale, ogni fenomeno fisico nel mondo reale doveva
seguire leggi matematiche e che non ci si poteva fermare alla descrizione di come
era fatto il mondo, ma si doveva capire anche come funzionava. Nasceva così la
convinzione che poche leggi governavano i fenomeni del mondo fisico e
permettevano di prevedere ogni evoluzione futura dell'universo.
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Possiamo schematizzare il successo del determinismo meccanicistico con la
seguente affermazione:
(Dati) + (Leggi) = (Conoscenza)
Ciò significa essere in grado ,per esempio,di prevedere in quale istante e in quale
luogo un corpo lanciato toccherà terra. Ma per Pascal e Fermat il meccanicismo
deterministico non riusciva a risolvere tutti i problemi che la ricerca poneva: certi
fenomeni non si verificavano con certezza ma avevano una evoluzione casuale
non univocamente prevedibile. Per essi quindi vale la seguente affermazione:
(Dati)+(Leggi)=(Conoscenza non completa)
In molti esperimenti, è possibile calcolare a priori quali e quanti sono i casi che
possono realizzarsi e quali e quanti tra questi sono quelli da considerarsi
favorevoli all’esito dell’esperimento. In questi casi, quando è cioè possibile
conoscere a priori il numero dei casi favorevoli m e quello dei casi possibili n, si
può considerare come misura della probabilità dell’evento considerato, secondo
la definizione di La Place, il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei
casi possibili a condizione che però tutti i casi abbiano la stessa possibilità di
realizzarsi:
Dalla definizione si deduce facilmente che p può assumere valori compresi tra 0 e
1, estremi inclusi. Nel primo caso l’evento considerato è detto impossibile, nel
secondo è detto certo. Per tutti i valori compresi tra 0 e 1 l’evento è detto
aleatorio o casuale. Per questo motivo, la probabilità così calcolata è detta a
priori.
Osservazioni
La definizione classica presenta vari punti deboli. Intanto, dal punto di vista
pratico, si può osservare che la sua applicazione è legata all’effettiva possibilità di
conoscere a priori m ed n e ciò è effettivamente possibile solo in alcuni casi.
Inoltre, la definizione prevede un ambiente ideale nel quale tutti gli eventi sono
ugualmente possibili, cosa non sempre realizzabile nella realtà e non tiene,
quindi, conto di tutti quei fattori che potrebbero influire sul verificarsi o meno di
un evento. Nella definizione viene indicata la condizione che i casi possibili siano
tutti ugualmente possibili e ciò potrebbe essere espresso dicendo che i casi
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devono essere equiprobabili. Delle osservazioni critiche ora fatte si tenne conto
negli studi che portarono alle altre definizioni già citate che permisero di ovviare,
almeno in parte a questi difetti.
Eventi ed insiemi
Le considerazione che seguono permettono di visualizzare un esperimento ed i
suoi possibili esiti utilizzando un modello insiemistico.
Consideriamo l’evento E: uscita di una faccia contrassegnata da un numero pari,
nel lancio di un dado. Si possono considerare possibili esiti come elemento di un
insieme, che chiameremo U, insieme universo.
U
1
2
6
3
5
4
La probabilità dell’evento E, secondo la definizione classica sarà
In generale, ad ogni esperimento è possibile associare l’insieme universo U dei
risultati possibili e un sott’insieme proprio di U, i cui elementi sono risultati
favorevoli all’evento e che possiamo considerare coincidente con l’evento stesso.
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PROBABILITÀ FREQUENTISTA
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LA DEFINIZIONE FREQUENTISTA
DI PROBABILITA’
In molti dei problemi della realtà
è
possibile
effettuare
praticamente un certo numero
di prove e rilevare gli esiti di
queste. Se su n prove un certo
evento E si è presentato m volte,
il rapporto m/n esprime la
frequenza con cui l’evento E si è
verificato
relativamente
al
numero n di prove effettuate.
Tale rapporto che indicheremo con f è detto quindi frequenza relativa mentre m è
detta frequenza assoluta dell’evento considerato.
I valori che la frequenza può assumere sono compresi bell’intervallo chiuso *0;1+,
avendosi il valore 0 quando m=0, cioè quando E non si è mai realizzato, e il valore
1 quando m=n, cioè quando l’evento E si è realizzato in ogni prova.
Malgrado ciò però la frequenza e la probabilità sono concetti molto diversi,
essendo la prima una quantità calcolata a posteriori, cioè dopo aver effettuato
l’esperimento e la seconda una quantità, come già detto, a priori.
La legge empirica del caso
P ed f non sono indipendenti tra loro, anzi esiste uno strettissimo legame,
espresso dalla legge ricavata empiricamente, detta appunto legge empirica del
caso o legge dei grandi numeri:
eseguendo un grande numero di prove, effettuate tutte nelle medesime
condizioni, il valore della frequenza approssima il valore della probabilità e tale
approssimazione è tanto maggiore quanto più alto è il numero di prove effettuate.
Grazie alle legge empirica del caso, è possibile utilizzare la frequenza come valore
approssimato della probabilità a priori, quando non sussistono le condizioni
perché questa sia calcolata.
Da ciò ha origine la definizione frequentista:
la frequenza di un evento, calcolata effettuando un gran numero di prove, può
essere considerata come il valore approssimato della probabilità.
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La legge permette, inoltre di effettuare previsioni sull’esito di un esperimento, se
è possibile calcolare la probabilità a priori dell’evento in esame.
LAPLACE E LA PROBABILITÀ
Nel 1779 Laplace indicò il
metodo per stimare il
rapporto del numero dei
casi favorevoli rispetto al
numero totale dei casi
possibili. Esso consiste nel
considerare
i
valori
successivi di una qualsiasi
funzione come i coefficienti
dello sviluppo di un'altra
funzione con riferimento ad
una
diversa
variabile.
Questa seconda funzione
viene dunque chiamata la
funzione generatrice della
precedente. Laplace mostrò
come, per mezzo dell'interpolazione, questi
coefficienti possano essere determinati a
partire dalla funzione generatrice. In seguito
egli affrontò il problema inverso, trovando dai
coefficienti la funzione generatrice mediante la
soluzione di un'equazione alle differenze finite.
Il metodo è scomodo e, dati i successivi sviluppi
dell'analisi, oggi viene usato raramente. Il suo
trattato Théorie analytique des probabilités
include un'esposizione del metodo dei minimi
quadrati, una notevole testimonianza della
padronanza di Laplace sui procedimenti
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dell'analisi. Il metodo dei minimi quadrati, tramite numerose osservazioni, era
stato spiegato empiricamente da Carl Friedrich Gauss e Legendre, ma il quarto
capitolo di questo lavoro contiene una dimostrazione formale di esso, su cui da
allora si è basata l'intera teoria degli errori. Questo fu dimostrato solo grazie a
un'analisi più complessa, inventata appositamente per lo scopo, ma la forma in
cui viene presentato è così incompleta che, nonostante la costante accuratezza
dei risultati, ci si chiese se Laplace aveva effettivamente esaminato con attenzione
il difficile lavoro che egli stesso aveva così brevemente e spesso erroneamente
mostrato.
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PROBABILITÀ SOGGETTIVA
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DEFINIZIONE PROBABILITA’ SOGGETTIVA
Esistono, però, eventi per i quali non è applicabile nessuna delle due definizioni
precedenti, esistono cioè eventi, per i quali è impossibile il calcolo di p, non
potendosi conoscere m ed n, per i quali non è possibile calcolare f trattandosi di
un evento unico non verificatosi precedentemente e che non si verificherà più in
futuro. Si tratta di eventi tutt’altro che rari anzi, nella maggior parte dei casi, sono
di questo tipo gli eventi aleatori sui quali ci si trova a dover prendere decisioni. Un
esempio classico è la scommessa sul risultato di un avvenimento sportivo, come
una corsa di cavalli o una partita di calcio. Per quanto soggettiva la valutazione
non è però arbitraria, ma deve rispondere a un principio di coerenza. Per la scuola
che segue il principio di coerenza e che fa capo al matematico B. De Finetti, la
probabilità di un evento può essere definita come la misura della fiducia del
verificarsi di un evento che ha
un individuo coerente. Per
“coerenza”, sarà p(E)=0 se
l’evento
è
considerato
impossibile in base alle proprie
informazioni
e
opinioni,
mentre sarà p(E)=1 se l’evento
è considerato certo. Sarà
0<p(E)<1
se
l’evento
è
aleatorio: il valore sarà tanto
più prossimo ad 1 quanto
maggiore è la fiducia che
l’individuo coerente ha del verificarsi dell’evento, sarà tanto più prossimo a 0
quanto minore è questa fiducia. Poiché molte scelte comportano l’investimento di
un capitale s nella speranza di ricavarne uno S, con s<S, per coerenza la
probabilità p dell’evento E al verificarsi del quale, avendo avuto una spesa s, si
introita la somma S, deve essere tale che
Sp=s
da cui
Poichè il rapporto s/S rappresenta la somma che si è disposti a sborsare per
esigere un capitale unitario, si può dare la seguente definizione:
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la probabilità di un evento, secondo un individuo coerente, è la somma ch’egli
considera equo sborsare per avere la possibilità di incassare un importo unitario
al verificarsi dell’evento considerato.
BRUNO DE FINETTI E LA PROBABILITÀ
De Finetti è stato un matematico e statistico
italiano, noto soprattutto per la formulazione della
concezione
soggettiva
operazionale
della
probabilità. La probabilità è l'argomento di cui De
Finetti si è occupato in modo più specifico e
continuativo. Egli sostiene il significato soggettivo
della probabilità. Egli inoltre rivolge critiche radicali
ad alcune correnti concezioni e definizioni
(o pseudo definizioni) della probabilità. "La
probabilità non è nient'altro che il grado di fiducia
(speranza, timore, ..) nel fatto che qualcosa di
atteso (temuto, o sperato, o indifferente) si
verifichi e risulti vero". Lo statistico italiano è
inoltre noto per aver ideato il Diagramma di De
Finetti, il quale permette di individuare la
posizione di una popolazione in un grafico basato su coordinate triangolari,
rispetto all'equilibrio di Hardy-Weinberg.
De Finetti e Savage hanno proposto una definizione di probabilità applicabile ad
esperimenti casuali i cui eventi elementari non siano ritenuti ugualmente possibili
e che non siano necessariamente ripetibili più volte sotto le stesse condizioni: la
probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per
ricevere 1 se l'evento si verifica, 0 se l'evento non si verifica.
Al fine di rendere concretamente applicabile la definizione, si aggiunge un criterio
di coerenza: le probabilità degli eventi devono essere attribuite in modo tale che
non sia possibile ottenere una vincita o una perdita certa.
In tal modo è possibile ricavare dalla definizione soggettiva le stesse tre regole già
viste.
1. P(A) è compresa tra 0 e 1; se infatti fosse negativa si avrebbe un guadagno
certo, se fosse maggiore di 1 si avrebbe una perdita certa;
2. P(Ω) = 1; se l'evento è certo, si riceverà sicuramente 1, ma se fosse P(Ω) < 1
si avrebbe un guadagno certo, pari a 1 - P(Ω), se invece fosse P(Ω) > 1 si
avrebbe una perdita certa;
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3. se A∩B = ∅, P(A∪B) = P(A)+P(B). Si osserva preliminarmente che se
gli n eventi A1, A2, ..., An sono incompatibili (non possono presentarsi
insieme) e necessari (uno di loro deve necessariamente verificarsi), la
somma delle probabilità P(Ai), con i che va da 1 a n, è uguale a 1; infatti, se
si paga P(Ai) per ciascun evento,
se la somma fosse inferiore a 1 si
avrebbe un guadagno certo, se
fosse superiore si avrebbe una
perdita certa. Si considerano poi
gli eventi incompatibili A e B e
l'evento complemento della loro
unione; i tre eventi sono
incompatibili e necessari e si ha:
Sono però incompatibili anche
l'unione di A e B ed il suo
complemento:
Dalle due uguaglianze segue:
se
, allora
La definizione soggettiva consente quindi di calcolare la probabilità di eventi
anche quando gli eventi elementari non sono equiprobabili e quando
l'esperimento non può
essere ripetuto. Rimane
fondata,
tuttavia,
sull'opinione di singoli
individui, che potrebbero
presentare
diverse
propensioni al rischio.
Basta pensare che molti
sarebbero
disposti
a
giocare 1 euro per
vincerne 1000, ma pochi
giocherebbero un milione
di euro per vincerne un
miliardo.
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PROBABILITÀ ASSIOMATICA
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DEFINIZIONE PROBABILITA’ ASSIOMATICA
Negli anni centrali del XX secolo, tuttavia, prima Bruno de Finetti e poi Leonard
Jimmie Savage hanno elaborato una
concezione soggettiva della probabilità,
secondo cui essa è il grado di fiducia che
una persona ha nel verificarsi dell'evento.
Nello stesso periodo, Andrey Nikolaevich
Kolmogorov ha dato inizio alla moderna
teoria assiomatica (Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitsrechnung,
1933),
ispirandosi alla teoria della misura.
Si è così affermata una teoria della
probabilità puramente matematica, che
generalizza il patrimonio matematico
comune alle diverse impostazioni.
Seguendo l'impostazione di Kolmogorov
(1950), si può introdurre la teoria della probabilità seguendo un modo di
procedere detto "assiomatizzazione", che consiste nei seguenti momenti:
a) si introducono i concetti primitivi (prova, evento e probabilità), cioè delle
nozioni originarie e intuitive;
b) mediante tali concetti si stabiliscono delle affermazioni, detti postulati o
assiomi, che non si dimostrano; c) dai postulati, e solo tramite essi, si
deducono tutte le possibili conseguenze, sia logiche che matematiche,
pervenendo alla dimostrazione dei teoremi del calcolo delle probabilità. Nel
corso di questo secolo i matematici usando i metodi della logica formale e
della teoria degli hanno formulato una nuova definizione di probabilità,
detta assiomatica.
20
Lo spazio degli eventi
Alla base di questa
impostazione sta il
concetto di spazio
degli eventi. Abbiamo
già accennato al fatto
che ad ogni evento E è
possibile associare un
insieme, logicamente
coincidente
con
l’evento
stesso,
avente come elementi
tutti gli esiti favorevoli
al realizzarsi di E. Per
esempio nel lancio di
un
dado
si
ha
U=,1,2,3,4,5,6-. Consideriamo per l’insieme delle parti di U p(U), cioè l’insieme
avente come elementi tutti i possibili sottoinsiemi di U compresi l’insieme ∅ e
l’insieme U stesso. Nell’esempio si ha
P(U)={E0, E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, E10, E11, E12,…}
con E1=1, E2=2, E3=3, E4=4, E5=5, E6=6, E7=1,2, E8=1,3, E9=1,4, …
questo insieme è detto spazio degli eventi s.
in generale, dato un insieme U i cui elementi diremo eventi elementari, si chiama
spazio degli eventi l’insieme p(U) di tutti i sottoinsiemi di U.
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Gli assiomi
I seguenti assiomi permettono di attribuire
alla funzione p(E) le caratteristiche che la
rendono utilizzabile nel calcolo delle
probabilità.
Assioma 1. Ad ogni elemento E nello spazio
degli eventi è associabile un numero reale
p(E) non negativo detto probabilità di E.
Assioma 2. Dati tre elementi E1, E2, E3 dello
stesso spazio degli eventi disgiunti tra loro si
ha che:
p(E1 U E2 U E3)= p(E1)+ p(E2)+ p(E3);
si dice che la funzione p(E) è una funzione
additiva d’insieme.
Assioma 3. Essendo S lo spazio degli eventi si ha p(S)=1. Si può osservare che,
poiché S U ∅ = S, per il secondo assioma si ha
p(S)= p(S)+ p(∅)
1=1+p(∅)
E quindi p(∅)=0, cioè la probabilità di un evento impossibile vale 0.
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TEOREMI SULLA PROBABILITÀ
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Teorema sulla probabilità contraria
Facendo riferimento alla teoria assiomatica, consideriamo due elementi dello
spazio degli eventi S, l’evento E e il suo complementare rispetto ad S, E’= E’’. Sarà
naturalmente
S = E U E’’
E per il secondo assioma
P(S)= p(E)+ p(E’’).
Poiché il terzo assioma è
P(S)=1,
si ha
p(E)+ p(E’’)=1
tale teorema della probabilità contraria si esprime dicendo che
la somma delle probabilità di un evento E e del suo contrario E’’ è uguale ad 1.
Teorema della probabilità totale
Il secondo assioma della teoria assiomatica è conosciuto come il teorema della
probabilità totale e si esprime dicendo che: dati due o più eventi incompatibili E1,
E2, E3, la probabilità dell’evento U p(E1 U E2 U E3) è data dalla somma delle
probabilità dei singoli eventi cioè, in formula
p(E1 U E2 U E3)= p(E1)+ p(E2)+ p(E3)
si può, però, presentare il caso di dover calcolare la probabilità dell’evento unione
di eventi compatibili.
Consideriamo il caso di due eventi E1 e E2 compatibili.
U
E1
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E2
L’evento composto E2 – (E1 ∩ E2) è incompatibile con E1 e, come si può osservare
dalla figura, l’unione tra questo evento ed E1 è uguale all’unione tra E1 ed E2,
cioè
E1 U E2 = E1 U(E2 – (E1 ∩ E2 ))
Da cui
P(E1 U E2)= p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2 )
Il teorema della probabilità totale nel caso di eventi compatibili si esprime
dicendo che
dati due eventi E1 ,E2 compatibili, la probabilità dell’evento (E1 U E2 )è data
dalla somma delle probabilità dei singoli eventi diminuita della probabilità
dell’evento intersezione.
Probabilità condizionata
Sia E1 l’evento estrazione di una pallina avente il colore verde, E2 l’evento
estrazione di una pallina avente il colore rosso. L’evento estrazione di una pallina
avente il colori verde e rosso sarà E1 ∩ E2.
Si ha che
p(E1)= n1 +n3 /n , poiché n1 + n3 è il totale delle palline aventi una parte verde;
p(E2)= n1 + n2/n , poiché n1+n2 è il totale delle palline aventi una parte rossa;
p(E1 ∩ E2)= n1/n2
si consideri adesso l’evento “estrazione di una pallina con una metà verde,
supposto che l’altra metà sia rossa, cioè il verificarsi dell’evento E1 subordinato (o
condizionato) al realizzarsi di E2 ; indichiamo un tale evento con il simbolo E1/E2.
Nota: il fatto che l’evento E1 sia subordinato all’evento E2 non vuol dire che E1
deve realizzarsi “dopo” E2; E1 può realizzarsi in concomitanza ad E2.
Poiché si sta considerando il realizzarsi di E1 essendosi realizzato anche E2
dovranno essere considerati possibili tutti e solo i casi che danno ad E2 la
possibilità di realizzarsi: essi sono tanti quanti il numero delle palline contenenti il
colore rosso e cioè le n1 palline rosse o verdi più le palline n2 rosso o bianche. Si
avrà allora
P(E1/E2)= n1/ n1 + n2
Da cui, dividendo numeratore e numeratore per n, si ha
P(E1/E2)= n1/ n/ n1 + n2 /n
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-10E cioè, in termini di probabilità
P(E1/E2)= p(E1 ∩ E2)/ p(E2)
La probabilità di un evento E1 subordinato al realizzarsi di un evento E2, detto
probabilità condizionata è data dal rapporto tra la probabilità che E1 ed E2 si
realizzino contemporaneamente e la probabilità di realizzarsi di E2.
Teorema della probabilità composta
La formula
p(E1 ∩ E2)- p(E1)x P(E1/E2)
permette di calcolare la probabilità dell’evento intersezione E1 ∩ E2, detta
probabilità composta che si esprime dicendo
dati due eventi dipendenti E1 ed E2, la probabilità dell’evento E1 ∩ E2 è uguale
al prodotto della probabilità dell’evento E1 per la probabilità dell’evento E2
subordinato all’evento E1 (evento E2/ E1).
Se gli eventi E1 ed E2 sono indipendenti, la probabilità di E2 è indipendente dal
verificarsi di E1 e quindi è p(E2/ E1) = p(E2) e perciò avremo
p(E1 ∩ E2)= p(E1)x p(E2)
si può quindi enunciare tale teorema come:
dati due eventi E1 ed E2 indipendenti, la probabilità dell’evento E1 ∩ E2 è data
dal prodotto della probabilità dell’evento E1 per la probabilità dell’evento E2.
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LA STATISTICA
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LA STATISTICA
Studia fenomeni collettivi (demografici, economici, scientifici..) mediante
l’osservazione dei fatti e degli eventi, con lo scopo di interpretarli attraverso l’uso
di opportuni modelli.in tutti i problemi di statistica si devono analizzare grandi
mane di dati che sono raccolti e classificati ed elaborati allo scopo di ottenere
certi risultati o di formulare e verificare delle ipotesi. La statistica opera su
popolazioni di dati che possiedono determinate caratteristiche alla quali viene
dato il nome di caratteri o attributi. Se la popolazione è troppo estesa per essere
analizzata completamente allora si estrae un campione appropriatamente scelto.
Soluzione problemi
Ragionamento deduttivo:
Ragionamento induttivo:
E’ utilizzato quando si
per conoscono i caratteri di una
popolazione e si possono ricavare
le proprietà dei doveri con più
possibilità di estrarli.
Procede da ipotesi vere e
conduce a risultati veri.
Procede da casi particolari
giungere a considerazioni generali
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CLASSIFICAZIONE DELLA STATISTICA
Descrittiva
Inferenziale
ha come scopo quello di raccogliere
informazioni relative alle caratteristiche
di uno stato (da cui il nome). Opera su
grandezze certe e non utilizza grandezze
probabilistiche.
Opera su un campione e su
grandezze di tipo probabilistico.
Adotta il metodo induttivo. I
risultati sono incerti.
POPOLAZIONE
CAMPIONE
Estrazione
campione
Processo di inferenza
del campione
Esempio: per determinare l’efficacia di un farmaco si conducono analisi di tipo
statistico inferenziale analizzando differenti campioni di popolazione e
confrontando i risultati. Dai comportamenti registrati si inducono comportamenti
validi per tutta la popolazione.
29
Si occupa della descrizione delle distribuzioni statistiche di una sola variabile.
I dati raccolti vengono organizzati in tabelle e poi analizzate e descritte per mezzo
di alcuni indici.
Se alcuni dati si verificano più volte si ottiene la frequenza assoluta.
Se i dati raccolti sono numeri interi si diranno discreti; se i dati sono approssimati
si diranno continui.
30
Esempio: lancio di un dado 40 volte.
Punteggio.
1
2
3
4
5
6
Frequenza.
4
8
9
7
4
8
Totale
40
f%
DATI DISCRETI
1
2
3
diagramma ad aste
DATI DISCRETI
f%
punteggio
1
2
3
4
31
non sono classi
Esempio: Serie di 30 misure di peso in grammi arrotondati all’unità.
60,48,73,79,86,90,61,64,67,57,95,87,93,78,91…..
30
I dati raccolti si possono organizzare in tabelle di frequenze. A fianco di ciascun
intervallo, detto classe di frequenza, si riporta la frequenza assoluta con cui
compare il dato.
CLASSE
FREQUENZA
ASSOLUTA
FREQUENZA
RELATIVA
FREQUENZA
PERCENTUALE
FREQUENZA
CUMULATA
40 – 49
2
7%
2
50 – 59
4
13%
4+2=6
60 – 69
5
2 0, 07
30
4 0, 13
3
5 0, 17
30
17 %
5 + 6 = 11
70 – 79
12
40 %
12 +11 = 23
80 – 89
4
13 %
4 + 23 = 27
90 – 99
3
10 %
3 + 27 = 31
TOTALI
30
1,0
32
100 %
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
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Per rappresentare una distribuzione frequenza si associa ai dati raccolti nelle
tabelle di frequenza un grafico detto diagramma di frequenza. Uno dei più noti è
l’istogramma, detto anche grafico a colonne, in cui sull’asse delle ascisse si
riportano i dati suddivisi in classi di frequenza e sull’asse delle ordinate la
frequenza. Gli estremi delle classi di frequenza, detti limiti e confini delle classi, si
trovano nel punto medio tra la fine di una classe e l’inizio della classe successiva.
Estremi della classe 50 – 59.
49 50 49, 5 e. i.
2
59 60 59, 5 e. s.
2
Si disegna per ciascuna classe una colonna avente base costante e altezza
proporzionale alla frequenza.
f
In alternativa si possono utilizzare i poligoni di frequenza, che si ottengono
congiungendo i punti medi del lato superiore di ciascuna sbarra dell’istogramma.
L’ordinata del punto medio è il valore della frequenza, l’ascissa si ricava
sommando i punti xi e xi+1 della classe 2.
Xmi i i 1
centro o valore centrale della i- esima classe
2
34
Es :
mi 49, 5 59, 5 54, 5
2
f
misure pesi
Poiché a ogni distribuzione di frequenza è associabile una distribuzione
cumulativa di frequenza è associabile una distribuzione cumulativa di frequenza,
oltre a questi diagrammi possiamo disegnare grafici detti poligoni delle frequenze
cumulate od ogive. Le frequenze cumulate sull’asse delle ordinate e sull’asse delle
ascisse gli estremi di ogni classe, l’ordite dell’esterno sinistro della prima classe è
0 mentre l’ordite di ciascun estremo destro coincide col valore della frequenza
cumulata.
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LE DISTRIBUZIONI CONTINUE
Per le distribuzioni continue l’istogramma è un’approssimazione della
distribuzione delle probabilità.
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Distribuzione continua normale o gaussiana
Presenta le seguenti caratteristiche:
1) ha un unico picco centrale, per cui esiste una sola moda.
2) è simmetrica e quindi la moda coincide con la media
3) le probabilità di valori sempre più lontani dalla media sono via via più piccole.
La distribuzione gaussiana assume notevole importanza per l’esecuzione di
misure di laboratorio di grandezze fisiche. I valori si distribuiscono attorno al
valore medio secondo una curva ‘campana’ in modo che i valori meno probabili
sono quelli più lontani dal valore atteso.
Questa distribuzione è rappresentata dalla funzione densità di probabilità:
S(x)= |c e (elevato a –h(x- ) al quadrato
Dove
= valore medio della variabile aleatoria x
|C= costante arbitraria il cui valore influenza lo sviluppo verticale della campana:
al crescere di k cresce l’altezza della curva e viceversa, da k dipende anche l’area
totale sottesa. In generale, si utilizza una distribuzione gaussiana normalizzata in
modo che l’area sottesa sia unitaria.
in questo caso il valore di k è fissato e dipende dalla deviazione standard δ
h è una costante il cui valore influenza lo sviluppo orizzontale della campana: al
crescere di h la curva assume una forma più larga.
Il valore h dipende da δ:
h = 1/2 δ2
Sostituendo h e k si ha
δ (x) =
e –(x-
2
2 δ2
37
La distribuzione gaussiana dipende da due valori:
1) la media ;
2) la deviazione standard δ.
La funzione di distribuzione per una distribuzione normale è data da:
–(x-
F(x) =
)2 dx
2
2
f(x)
1 - - - - -2 - - - - - - - - - - - - 1- - - - - -
In una distribuzione gaussiana:
1) tra i valori - e + cade il 68,3% dei valori della distribuzione;
2) tra i valori - e + cade il 95,5% dei valori della distribuzione;
3) tra i valori - e + cade il 99,7% dei valori della distribuzione
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LICEO SCIENTIFICO “E. SICILIANO” Bisignano (CS) a.s. 2011/2012
CLASSE IVB:
Polverazzi Valentina - Prezioso Ilenia - Giovinco Valentina - Spera M. N. Jacqueline
- Ritacco Pamela
DOCENTE REFERENTE: Tortorella Franca
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