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Eventi aleatori
• Un evento è aleatorio
(casuale) quando non si
può prevedere con
certezza se avverrà o
meno
• I fenomeni (eventi)
aleatori sono studiati
attraverso la teoria della
probabilità
Probabilità di un evento semplice
Un evento può risultare:
•
Certo (si verifica sempre)
-estrazione di una pallina nera da
un’urna contenente solo palline nere
•
Impossibile(non si verifica mai)
-estrazione di una pallina bianca da
un’urna contenente solo palline nere
•
Probabile(può verificarsi o no)
-estrazione di una pallina bianca da
un’una contenente sia palline nere che
bianche
Eventi e probabilità
impossibile
certo
probabile
P=0
0<P<1
P=1
Se E indica un evento l’evento corrispondente al non verificarsi di E
rappresenta l’evento complementare E con la relazione
P(E) = 1 – P(E)
La prova genera l’evento con una certa probabilità
Spazio campionario
• Lo spazio campionario associato al lancio di due monete
comprende 4 punti che rappresentano i possibili risultati
•TT
•TC
•CT
•CC
• Si chiama evento ogni sottoinsieme dello spazio
campionario
Teoria e calcolo della probabilità
• L’entità di successi in una
serie di osservazioni (prove)
può essere definita come
frequenza relativa o
(percentuale) calcolata come
rapporto tra il numero di eventi
favorevoli rispetto al numero di
casi esaminati
• Il grado di aspettativa circa il
verificarsi di un evento E,
ovvero la probabilità
dell’evento P(E) è
P( E ) 
numero di successi
numero di casi possibili
Concezione classica della probabilità
La probabilità di un evento E
è il rapporto tra il numero di
casi favorevoli al verificarsi
di E(n) e il numero di casi
possibili (N), purché siano
tutti equi - probabili
n
P(E) 
N
Es: probabilità di estrarre un asso da un mazzo di 52 carte = 4/52 = 0.08
probabilità di ottenere testa nel lancio di una moneta =1/2 = 0.5
Applicazioni della concezione classica
• Probabilità uscita testa
p=
• Probabilità faccia 6 dado
p=
• Qual è la probabilità che
lanciando due volte una
moneta si presenti prima
la faccia testa poi la
faccia croce
1°- TT
2°- TC
3°- CT
4°- CC
p=
1
2
1
6
1
4
Concezione frequentista della probabilità
• La probabilità di un
evento è la frequenza
relativa di successo in
una serie di prove
tendenti all’infinito,
ripetute sotto identiche
condizioni
• Nella concezione
frequentista la probabilità
è ricavata a posteriori
dall’esame dei dati
n
P(E)  lim
N  N
Frequenza relativa su un
gran numero di prove
Es: qual è la probabilità post-operatoria dopo l’intervento xyz ?
I dati su un decennio in un territorio presentano 30 morti su 933 interventi
Frequenza relativa = 30/933= 3.22% = Probabilità di mortalità post-operatoria
Legge dei grandi numeri
• P(E): ripetendo la prova un gran numero di volte si
osserva che il rapporto f= m/n (frequenza relativa) dove
m= numero di successi ed n= numero di prove tende ad
avvicinarsi sempre più alla probabilità P(E)
La frequenza relativa f al crescere del numero delle
prove, tende, pur oscillando, verso un valore
costante (stabilità della frequenza)
Elementi di statistica
• La statistica è un’estensione del calcolo
delle probabilità
– Si parte dai concetti fondamentali
– Si estende la definizione di probabilità
– Si introducono delle nuove variabili
Estensione del concetto di
probabilità
• Si suppongono valide tutte le leggi delle
probabilità già stabilite
• Non si può più definire la probabilità come
rapporto fra casi favorevoli e casi possibili
Le variabili aleatorie
• Una variabile aleatoria è una variabile...
– ... reale
– ... discreta o continua
– ... associata ad una probabilità
• In ogni caso vale la condizione di
normalizzazione

D


f  x  dx   pk   1
k


• ...ed in generale un valore atteso
(“speranza matematica”) vale...
Le distribuzioni in generale
• Quasi sempre di una distribuzione si
fornisce
 x
– La media


x
– La standard deviation
– La moda : massima frequenza di una
distribuzione (valore + probabile)


2
Le principali distribuzioni
discrete
• Veramente importanti solamente due
– Distribuzione di Bernoulli e binomiale
– Distribuzione di Poisson, o degli eventi rari
Le variabili aleatorie discrete
• Una variabile aleatoria discreta
– Assume i valori ...
 x1, x2 ,
, xN 
– ... con probabilità
 p1 , p2 ,
, pN 
p
k
k
1
• Esempio classico: il dado
– Variata: un numero da 1 a 6
– Probabilità associata: 1/6
Il dado
xk
Pk
1
0.167
2
0.167
3
0.167
4
0.167
5
0.167
6
0.167
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
2
3
4
5
6
La distribuzione binomiale
• Caso tipico:
– Estraiamo da un’urna una palla
• Bianca: probabilità p
• Nera: probabilità q=1-p
– Probabilità di estrarre k palle bianche su n
estrazioni, rimpiazzando ogni volta la palla
La distribuzione binomiale
• Legge della distribuzione
n k
 n  k n k
nk
P  k n, p     p 1  p     p q
k 
k 
• Introduciamo una variata che valga 1 per
successo e 0 per insuccesso
– Quindi x
– Su n prove
p
k 
x
 np
La distribuzione binomiale
• All’aumentare della probabilità (da 0.1 a
0.3) la distribuzione diviene più simmetrica
– Se aumentiamo n (numero delle ripetizioni)
nella distribuzione binomiale essa assomiglia
sempre più ad una distribuzione gaussiana …
0.2
0.15
0.1
0.05
5
10
15
20
25
30
La distribuzione continua
• Veramente importante quella di GAUSS
La distribuzione gaussiana
La funzione di distribuzione continua di
Gauss (che possiamo vedere come caso
limite di quella binomiale in cui n ∞ ) :
1
G  x  ,  
e
 2
• Media 
• Varianza

2

1  x 

2 2
2
0.4
0.3
0.2
0.1
-2
2
4
La distribuzione gaussiana
• Normalizzazione:
2



0
t 2
e dt  1
La distribuzione gaussiana
• In realtà a noi serve
1
2
t2

2
 x 
 x e dt  erf  2 
x
Curva di Gauss
Caratteristiche
• E’ simmetrica rispetto alla media:la probabilità di un valore
superiore alla media di una quantità prefissata è uguale alla
probabilità di un valore inferiore per la stessa quantità
• L’area compresa tra la funzione e l’area delle ascisse
( da +  a -  ) sia = 1 così da esaurire lo spazio campionario
• Esiste la probabilità al 100% che la misura sia inclusa nella
distribuzione
• La frazione di area compresa tra due valori della variabile è
assimilabile alla probabilità di riscontrare casualmente una
misura entro tale intervallo
Le aree sottese alla curva normale
• Spesso è necessario determinare la
probabilità di riscontrare casualmente una
misura entro tale intervallo
• Proprietà della curva normale: l’area sottesa
alla porzione di curva che vi è tra le media e
una ordinata posta a una distanza data,
determinata in termini di una o più
deviazione standard, è costante