Funzione di trasferimento

Funzione di trasferimento
In teoria dei sistemi la funzione di trasferimento di un sistema dinamico lineare
stazionario è la trasformata di Laplace della risposta all'impulso, ed è perciò la
funzione di rete che esprime la relazione algebrica tra ingresso e uscita nel dominio di
Laplace a condizioni iniziali nulle:
G(s) = U(s) / I(s)
Affinché la trattazione teorica sia valida è necessario che il sistema sia un sistema
dinamico lineare stazionario: in altre parole, tutti gli elementi facenti parte del sistema
devono avere un'equazione caratteristica lineare.
Per sistemi lineari G(s) e’ il rapporto tra due polinomi N(s) e D(s)
G(s) = N(s) / D(s)
Risolvendo le equazioni N(s)=0 e D(s)=0 si trovano le radici e ogni polinomio si puo’
fattorizzare nel seguente modo:
N(s)=(s-z1)(s-z2)…….
D(s)=(s-p1)(s-p2)…….
Pertanto la G(s) si puo’ scrivere:
G(s) 
( s  z1 )( s  z2 ).......
( s  p1 )( s  p2 ).....
dove:
z1, z2 ,….. (radici del numeratore) sono gli zeri
p1, p2 ,….. (radici del denumeratore) sono i poli
•
ZERI : valori della variabile s che annullano il numeratore della G(s) e quindi la G(s)
•
POLI : valori della variabile s che annullano il denumeratore della G(s)
Esempio:
Risolvo
G(s) ha 2 zeri (-1, -2) e 2 poli (-3, -4) e quindi:
G( s) 
( s  1)( s  2)
( s  3)( s  4)
Esempio di applicazione della fdt e delle antitrasformate:
Dato il circuito RC,calcolare la tensione vo dopo aver chiuso l’interruttore al tempo t=0.
R
E
V1
C
Vo
La tensione v1 nel tempo ha un andamento a gradino
La trasformata di Laplace di v1 e’ E/s
1
sC
Vo
1


V1 R  1 1  sCR
sC
La funzione di trasferimento del circuito e’
La trasformata di Laplace dell’uscita vo e’
Antitrasformando si ottiene
Vo 
vo (t )  E  E e

E
ECR
E
E

 
s 1  sCR s s  1
CR
t
RC
 E (1  e

t
RC
)