TEORIA DELLA PROBABILITA`

TEORIA DELLA PROBABILITA’
• FENOMENI DETERMINISTICI (Es: il moto
di un pianeta)
• FENOMENI INDETERMINISTICI ( Es: il
lancio di un dado )
•
•
La previsione del loro esito è affidata al calcolo
delle probabilità
,
• Studiamo un fenomeno di cui non è
possibile conoscere con certezza
l’esito
• Consideriamo l’esito del fenomeno
come puramente casuale
• Se gli esiti possibili sono n , li
consideriamo
equiprobabili , cioè aventi la stessa
possibilità di verificarsi
• Ci poniamo nell’ipotesi che gli esiti
possibili siano mutuamente esclusivi ,
cioè che il verificarsi di uno di essi
escluda il verificarsi di ciascuno degli
altri
Con le premesse precedenti diamo le
definizioni che seguono:
• UNIVERSO DEI CASI POSSIBILI(U):
L’insieme ciascun elemento del quale è un
esito possibile
• SPAZIO DEGLI EVENTI(Ω):
L’insieme che ha come elementi tutti i
sottoinsiemi di U
• EVENTO :
Ciascun elemento di Ω
• In termini insiemistici Ω è l’insieme
delle parti di U (Ω = P(U))
• Ciascun sottoinsieme di U costituisce ,
quindi , un evento
• Ciascun caso possibile ( ciascun
elemento di U ) costituisce un
evento elementare
PROBABILITA’ DI UN EVENTO
• DEFINIZIONE CLASSICA(PROBABILITA’ A
PRIORI)
Indichiamo con E un evento , con n il numero dei
casi possibili, con a il numero dei casi favorevoli
al verificarsi dell’evento , con P(E) la probabilità
dell’evento . Allora
a
P E  
n
• DEFINIZIONE
FREQUENTISTA (
PROBABILITA’ A
POSTERIORI )
– s = numero di “
successi “
ottenuti in una
serie di prove
– T =numero
totale delle
prove effettuate
Allora
s
P E  
t
OSSERVAZIONI SUL CONCETTO E SULLE
DEFINIZIONI DI PROBABILITA’
• La definizione classica ha
carattere astratto e puramente
“ matematico “
– Essa richiede che si postuli la eqiprobabilità
degli esiti possibili ( il che ha in sé implicito il
pericolo di ricorrere ad un circolo vizioso )
– Essa risulta di scarsa utilità pratica in tutti
quei problemi per i quali non è possibile
determinare a priori il numero dei casi
possibili e il numero dei casi favorevoli (
qual è la probabilità a priori che che un
aereo della linea Roma-Mosca
precipiti???)
Presentazione assiomatica della
probabilità
• Definiamo una funzione di probabilità
che associa ad ogni evento E
appartenente a uno spazio degli
eventi Ω un numero reale
appartenente all’intervallo [0,1]
P:E→P(E) con 0≤P(E)≤1
ASSIOMI
• Per ogni E appartenente a Ω P(E)≥0
• U , l’insieme dei casi possibili ,
rappresenta l’evento certo : per esso
si ha P(U)=1
• Dati n eventi E1…En a due a due
incompatibili , si ha
P(E1U…UEn)=P(E1)+….P(En)
Sulla definizione frequentista
• La definizione frequentista riconnette
la teoria della probabilità alla
statistica( per essa si parla di
probabilità statistica)
– Ciò che getta un ponte tra le due
definizioni è la legge empirica del
caso o legge dei grandi numeri :
• In un gran numero di prove la
frequenza relativa di un evento tende a
coincidere con la sua probabilità a
priori , e ciò è tanto più vero quanto più
grande è il numero delle prove
Algebra nello spazio degli eventi
• Siano E1 ed E2 eventi incompatibili
– E1UE2 evento unione(o somma)
– P(E1UE2)=P(E1)+P(E2)
• Siano E1 ed E2 eventi compatibili ( cioè
tali che la loro intersezione non sia vuota )
– P(E1UE2)=P(E1)+P(E2)-P(E1∩E2)
• Sia ⌐E l’evento contrario di E
– P(⌐E)=1-P(E)
• Siano E1 ed E2 eventi indipendenti(il
verificarsi dell’uno non modifica la
probabilità che si verifichi l’altro)
– E1∩E2 evento intersezione( o prodotto)
– P(E1∩E2)=P(E1)∙P(E2)
• Siano E1ed E2 eventi dipendenti ( il
verificarsi di uno di essi altera la
probabilità del verificarsi dell’altro)
– Poniamo P(E2\E1) = probabilità di E2
condizionata ad E1( probabilità di E2 ,
supponendo che E1 si sia già
verificato)
– P(E1∩E2) = P(E1)∙P(E2\E1)