il calcolo delle probabilità - Università degli studi di Pavia

IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
È stato introdotto e si utilizza per risolvere problemi in cui le soluzioni sono legate al caso, o nei
quali le informazioni non sono sufficienti per fare una valutazione di tipo deterministico .
Esempi - Quale numero uscirà nella prossima puntata del gioco della roulette?
Che tempo farà domani?
ORIGINE STORICA
La probabilità, pur essendo considerata dal punto di vista filosofico, non era conosciuta al mondo
antico nei suoi aspetti quantitativi.
I primi documenti che si conservano risalgono al XVI secolo e riguardano i giochi d’azzardo.
G. Cardano (1501-1576) : perdendo sistematicamente nel gioco dei dadi, intraprese per primo lo
studio matematico della probabilità, scrivendo nel 1526
“Liber de Ludo aleae” ( pubblicato postumo nel 1663)
Afferma che bisogna fare scommesse per compensarsi del tempo perduto e dà dei consigli
su come barare.
Galileo, nella sua opera Sopra le scoperte dei dadi (1630), si occupò di probabilità, stimolato da
quesiti postigli da nobili fiorentini appassionati del gioco della “zara” (un gioco con tre dadi) e fece
osservazioni probabilistiche legate alla propagazione degli errori nelle misurazioni.
La nascita del Calcolo delle Probabilità si fa risalire comunemente al fitto carteggio tra Pascal
(1623-1662) e Fermat (1601-1665), avvenuto verso la metà del XVII secolo, e sollecitato dai
problemi proposti dal Cavaliere de Méré, un accanito giocatore d’azzardo, molto interessato alla
matematica, all’amico Blaise Pascal.
I problemi introdotti dal Cavaliere de Méré riprendono tematiche già introdotte da Pacioli, Cardano
e Tartaglia.
Ad esempio: gettando un dado otto volte un giocatore deve tentare di ottenere uno; dopo tre lanci
non riusciti, però, il gioco viene interrotto. Come va suddivisa la posta? ( enunciato particolare del
celebre Problème des partis)
Dalle discussioni epistolari tra Pascal e Fermat riceve un notevole impulso anche il calcolo
combinatorio ( si ricordino le proprietà del triangolo aritmetico o triangolo di Pascal).
Non è un caso che lo sviluppo del calcolo delle probabilità coincida con l’avvento della scienza
sperimentale.
C. Huygens (1629-1695) : nel suo “De Ratiociniis in Ludo Aleae” ( Sui ragionamenti nel gioco
dei dadi) (1657) ripropose in maniera più sistematica il contenuto del carteggio fra Pascal e Fermat,
dando anche una risposta a un quesito, non risolto da Pascal, di quale fosse la cifra equa da pagare a
un giocatore per subentrargli in una data puntata.
Famiglia Bernoulli :
Jakob Bernoulli (1654-1705) – “Ars conjectandi” ( Arte del congetturare ) ( pubblicato
postumo nel 1713) – primo trattato importante sulla teoria della probabilità
“Noi definiamo l’arte di congetturare, o stocastica, come quella di valutare il più esattamente
possibile le probabilità delle cose, affinché sia sempre possibile, nei nostri giudizi e nelle
nostre azioni, orientarci su quella che risulta la scelta migliore, più appropriata, più sicura,
più prudente; il che costituisce il solo oggetto della saggezza del filosofo e della prudenza
del politico”.
Daniel Bernoulli (1700-1782) – applicazione della probabilità al commercio, alla medicina
e all’astronomia. Introduzione del calcolo infinitesimale nel C.d. P.
A.de Moivre(1667-1754) :
"Doctrine de chances” (1718) – questioni sul gioco dei dadi, sull’estrazione di palline di
diverso colore da urne, sul problema del punteggio in giochi con diverse probabilità di
vittoria, su rendite vitalizie. Si trova già in questa opera quella che verrà chiamata la
definizione classica di probabilità, generalmente attribuita a Pierre Simon de Laplace.
Il C.d.P. non ha comunque nel XVIII secolo uno sviluppo paragonabile ad altri rami della
Matematica e si sviluppa con incertezza e diffidenza.
Un importante contributo viene fornito da Joseph Louis Lagrange ( 1736-1813) che associa il
C.d.P. alla teoria degli errori.
La prima opera di grandissimo interesse è dovuta a Laplace.
P.S. de Laplace (1749-1827) :
“Théorie analytique des probabilités” (1812) , nella sua seconda edizione preceduto dal
saggio introduttivo “Essai Philosophique des probabilités”.
Raccoglie i risultati sulla probabilità raggiunti.
La teoria delle probabilità è in fondo soltanto senso comune espresso in numeri.
A.N. Kolmogorov (1903- 1987) :
« Grundbegriffe » (1933)
Fondamento assiomatico della teoria della probabilità mediante l’uso della teoria della
misura di Lebesgue.
B. de Finetti (1906-1985) : Probabilità soggettiva. La sua interpretazione fu a lungo ignorata e il
riconoscimento avvenne soprattutto grazie a L.J. Savage che diffuse nel mondo anglosassone gli
aspetti della teoria relativi al suo impiego nell’inferenza statistica.Sempre concreto e vivo
l'interessamento alla didattica. Egli sostenne decisamente la necessità di render intuitiva la
matematica.
DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ
DEFINIZIONE CLASSICA La probabilità di un evento casuale è il rapporto tra il numero dei casi
favorevoli e quello dei casi possibili, supposti tutti gli eventi elementari equiprobabili.
DEFINIZIONE FREQUENTISTA ( legge empirica del caso)- Al crescere delle prove la frequenza
dell’esito si avvicina alla sua probabilità. La prima definizione implicita di probabilità nella storia è
quella frequentista.
DEFINIZIONE SOGGETTIVISTA La probabilità di un evento A rappresenta il grado di fiducia
che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue informazioni, all'avverarsi di A.
Se vogliamo essere più operativi possiamo dire che la probabilità di un evento per un individuo è il
prezzo che egli stima equo attribuire a un importo unitario esigibile, se A si verifica.
Ognuna di queste definizioni ammette dei limiti e si applica solo a casi particolari.
La definizione classica è “circolare” nel senso che definisce la probabilità utilizzando il concetto di
eventi equiprobabili e si applica solo a insiemi finiti; quella frequentista è vincolata alla possibilità
di realizzare prove ripetute nelle stesse, identiche condizioni; quella soggettivista non è accettata da
alcuni perché ritenuta fondata su una visione non oggettiva.
Il problema della definizione del concetto di probabilità è molto delicato. Lo dimostra anche il fatto
che il calcolo delle probabilità è stato incluso piuttosto tardi nell’ambito delle discipline
matematiche, e che ancora oggi è in corso il dibattito connesso con le sue applicazioni pratiche.
Le leggi fondamentali del Calcolo delle Probabilità sono però comuni, nelle condizioni di
applicabilità di ciascuna, a tutte e tre le definizioni. Ciò porterebbe a considerare una convergenza
tra le tre definizioni; rimane però una profonda distanza concettuale, che si manifesta
operativamente nell’inferenza statistica e nella teoria statistica delle decisioni.
La maggior parte dei matematici è in accordo con la teoria assiomatica della probabilità, dovuta a
Kolmogorov, che considera la probabilità come una misura finita, coerente con l’estensione della
teoria della misura a spazi astratti ( M.Fréchet, H. Lebesgue). Essa ha il pregio di garantire il rigore
logico e prende avvio proprio dalle leggi fondamentali del Calcolo delle Probabilità per una
costruzione assiomatica.
L’AMBIENTE
Indichiamo con il termine esperimento un processo qualunque di cui non possiamo conoscere il
risultato, ma del quale ci sono noti gli esiti possibili, che chiamiamo casi elementari.
Indichiamo con  l’insieme che ha come elementi i casi elementari e lo chiamiamo spazio dei casi
elementari.
Esempi - Nel lancio di un dado  = 1;2;3;4;5;6
Nel lancio di una moneta  = T;C
Nel lancio di due dadi  = (1;1); (1;2); (1;3); .....(2;1); (2;2)......................
Nella scelta di un punto appartenente a un quadrato di lato unitario  = [0;1] 2
Ogni sottoinsieme di  è detto evento. Ogni caso elementare è anche un evento,  è l’evento
impossibile,  è l’evento certo.
Esempi – Nell’estrazione di una carta da gioco da un mazzo di 40 carte,  è l’insieme costituito
dalle quaranta carte da gioco.
Sono eventi:
A = l’estrazione del fante di cuori
B = l’estrazione di una carta di fiori
C = l’estrazione di un asso o di un re
D = l’estrazione di una figura
E = l’estrazione di una carta che non sia di fiori
IL LINGUAGGIO
Il linguaggio che viene utilizzato è quello della teoria degli insiemi.
Dati due eventi A e B, si indicherà:
- con AB l’evento corrispondente al verificarsi di A o di B ( cioè se si verifica almeno uno
dei due eventi)
- con AB l’evento corrispondente al verificarsi di A e di B ( cioè se si verificano entrambi
gli eventi)
- con A c l’evento corrispondente al non verificarsi di A ( evento contrario ad A)
- con A - B l’evento corrispondente al verificarsi di A e al non verificarsi di B (A - B =
ABc)
Due eventi si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente, cioè se la loro
intersezione è l’insieme vuoto.
Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di uno non modifica la probabilità del verificarsi
dell’altro.
ALCUNE SEMPLICI REGOLE
La probabilità di un evento impossibile è 0
La probabilità di un evento certo è 1
p ()  0
p( E )  1
Se A è un evento di probabilità p, la probabilità del suo evento contrario è 1 - p
p(A)  1  p( A)
Se due eventi A e B sono incompatibili, la probabilità dell’evento unione è uguale alla somma delle
probabilità dei singoli eventi
p( A  B)  p( A)  p( B)
se p ( A  B)  
allora
Se due eventi A e B sono compatibili, la probabilità dell’evento unione è uguale alla somma delle
probabilità dei singoli eventi alla quale va sottratta la probabilità della loro intersezione
p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B)
se p( A  B)  
allora