Probabilità (Liceo)

Probabilità matematica
(concetto classico di probabilità)
Teoria ed esempi
Introduzione
Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi precise,
quanto un evento casuale sia probabile.
Questa procedura quindi riesce a “misurare” la probabilità di tutti quegli eventi che vengono definiti casuali solo perché il
loro verificarsi dipende da una serie di fattori non controllabili ma oggettivi.
Poter misurare la probabilità di un evento permette di fare dei confronti e di stabilire, in una serie di eventi, qual è il più
probabile.
Dal punto di vista storico il primo matematico che si occupò di questo aspetto fu Blaise Pascal (1623-1662). Pascal
enunciò i fondamenti di questo calcolo che furono ripresi e ampliati più tardi da altri matematici come Jakob Bernoulli
che scoprì la Legge dei grandi numeri.
Spazio Campionario
Il lancio di una moneta, l’estrazione di un numero al lotto, il lancio di un dado sono esempi di fenomeni il cui esito
dipende in modo imprevedibile dal caso: fenomeni di questo tipo, il cui risultato non può essere previsto con certezza,
vengono detti esperimenti aleatori (o casuali).
Si dice spazio campionario (o spazio degli eventi), e si indica con il simbolo Ω , l’insieme di tutti i possibili esiti di un
esperimento aleatorio.
Dato uno spazio campionario Ω, si chiama evento ogni sottoinsieme di Ω.
Un evento rappresentato dall’intero spazio campionario è detto evento certo.
Un evento rappresentato dall’insieme vuoto è detto evento impossibile.
Un evento rappresentato da un sottoinsieme proprio dello spazio campionario è detto evento aleatorio.
Dato un evento ‫ܧ‬, il suo evento contrario è quell’evento che si verifica quando e solo quando non si verifica l’evento ‫ܧ‬.
L’evento contrario dell’evento ‫ ܧ‬si indica con ‫ܧ‬ത .
Esempi
Nell’esperimento aleatorio “lancio di un dado”, lo spazio campionario è l’insieme Ω = ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ.
L’insieme ‫ = ܧ‬ሼ1, 3 , 5ሽ rappresenta l’evento ‫”݅ݎܽ݌ݏ݅݀ ݋ݎ݁݉ݑ݊ ݊ݑ ݁ܿݏܧ” = ܧ‬.
L’evento ‫ ܧ‬è un evento aleatorio. L’evento contrario dell’evento ‫ ܧ‬è l’evento ‫ܧ‬ത = ”ܰ‫”݅ݎܽ݌ݏ݅݀ ݋ݎ݁݉ݑ݊ ݊ݑ ݁ܿݏ݁ ݊݋‬.
L’evento ‫ "݋ݎ݁ݖ ݅݀ ݁ݎ݋݅݃݃ܽ݉ ݋ݎ݁݉ݑ݊ ݊ݑ ݁ܿݏܧ” = ܣ‬è un evento certo.
L’evento ‫ ݋ݎ݁݉ݑ݊ ݈݅ ݁ܿݏܧ” = ܤ‬7" è un evento impossibile.
Probabilità di un evento
La probabilità di un evento è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili (quando essi sono tutti
ugualmente possibili).
Esempi
Riprendendo gli esempi precedenti:
3 1
6
ܲሺ‫ܧ‬ሻ = = ;
ܲሺ‫ܣ‬ሻ = = 1 ;
6 2
6
Matematica
‫ ݈ ݁ݏ‬ᇱ ݁‫ ݋ݐ݊݁ݒ‬è ݅݉‫݈ܾ݁݅݅ݏݏ݋݌‬
‫ ݈ ݁ݏ‬ᇱ ݁‫ ݋ݐ݊݁ݒ‬è ݈ܽ݁ܽ‫݋݅ݎ݋ݐ‬
‫ ݈ ݁ݏ‬ᇱ ݁‫ ݋ݐ݊݁ݒ‬è ܿ݁‫݋ݐݎ‬
0
݊° ܿܽ‫݈݅݋ݒ݁ݎ݋ݒ݂ܽ ݅ݏ‬
ܲሺ‫ܧ‬ሻ =
= ൝0 < ‫ < ݔ‬1
݊° ܿܽ‫݈ܾ݅݅݅ݏݏ݋݌ ݅ݏ‬
1
ܲሺ‫ܤ‬ሻ =
0
=0
6
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1
Probabilità dell’evento contrario
La probabilità dell’evento contrario è: ܲሺ‫ܧ‬ത ሻ = 1 − ܲሺ‫ܧ‬ሻ.
Esempi
Riprendendo l’esempio precedente:
1 1
ܲሺ‫ܧ‬ത ሻ = 1 − ܲሺ‫ܧ‬ሻ = 1 − = .
2 2
Evento unione
Dati gli eventi A e B, relativi allo stesso spazio degli eventi, il loro evento unione, ‫ܤ ∪ ܣ‬, è quell’evento che si verifica al
verificarsi di almeno uno degli eventi dati.
Evento intersezione
Dati gli eventi A e B, relativi allo stesso spazio degli eventi, il loro evento intersezione, ‫ܤ ∩ ܣ‬, è quell’evento che si
verifica quando si verificano contemporaneamente gli eventi dati.
Eventi compatibili
Due eventi, relativi allo stesso spazio degli eventi, si dicono incompatibili se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi
dell’altro. In caso contrario si dicono compatibili.
Teorema della somma (o Teorema della probabilità totale)
ܲሺ‫ܣ‬ሻ + ܲሺ‫ܤ‬ሻ
ܲሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ = ൜
ܲሺ‫ܣ‬ሻ + ܲሺ‫ܤ‬ሻ − ܲሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ
‫݈ܾ݅݅݅ݐܽ݌݉݋ܿ݊݅ ݋݊݋ݏ ݅ݐ݊݁ݒ݁ ݈݅݃ ݁ݏ‬
‫݈ܾ݅݅݅ݐܽ݌݉݋ܿ ݋݊݋ݏ ݅ݐ݊݁ݒ݁ ݈݅݃ ݁ݏ‬
Esempio 1 – Eventi incompatibili
Dentro un’urna vi sono 10 palline numerate. Calcolare la probabilità che,
estraendo una pallina a caso, esca un multiplo del 3 o un multiplo del 5.
3
2
5
+
=
.
ܲሺ‫ܯ‬ଷ ∪ ‫ܯ‬ହ ሻ = ܲሺ‫ܯ‬ଷ ሻ + ܲሺ‫ܯ‬ହ ሻ =
10 10 10
Esempio 2 – Eventi compatibili
Dentro un’urna vi sono 12 palline numerate.
Consideriamo i seguenti eventi:
‫" = ܣ‬esce un numero pari "
‫" = ܤ‬esce un numero maggiore di 7 "
6
5
3
8
ܲሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ = ܲሺ‫ܣ‬ሻ + ܲሺ‫ܤ‬ሻ − ܲሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ =
+
−
=
12 12 12 12
Matematica
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2
Probabilità condizionata
Esempio 1 – eventi dipendenti
Consideriamo il seguente esperimento aleatorio: Estrazione di una pallina numerata da un sacchetto contenente 12
palline numerate da 1 a 12.
Consideriamo l’evento ‫ ݅݀ ݋݈݌݅ݐ݈ݑ݉ ݊ݑ ݁ܿݏܧ” = ܣ‬3".
La probabilità ܲሺ‫ܣ‬ሻ =
ସ
ଵଶ
ଵ
=ଷ.
Supponiamo adesso, che chi estrae la pallina, la vede e dica ‫” = ܤ‬È ‫ ݅݀ ݁ݎ݋݊݅݉ ݋ݎ݁݉ݑ݊ ݊ݑ ݋ݐ݅ܿݏݑ‬9".
Cosa si può dire ora della probabilità ܲሺ‫ܣ‬ሻ ?
L’evento ‫ ܣ‬è condizionato dall’evento ‫ܤ‬: il verificarsi dell’evento ‫ ܤ‬da informazioni aggiuntive sulla possibilità di
verificarsi dell’evento A.
Indichiamo tale situazione con la simbologia: ܲሺ‫ܣ‬/‫ܤ‬ሻ, che si legge:”Probabilità che si verifichi l’evento A condizionato
dal verificarsi dell’evento B.
Nel calcolo di questa probabilità occorre tenere presente che lo spazio degli eventi non è più fatto da 12, ma da 8 numeri.
I casi favorevoli per ‫ܣ‬/‫ ܤ‬devono essere ricercati solo all’interno del nuovo spazio degli eventi, che non è altro che ‫ܤ ∩ ܣ‬.
ଶ
ଵ
Quindi ܲሺ‫ܣ‬/‫ܤ‬ሻ = ଼ = ସ.
In questo caso l’informazione aggiuntiva ha modificato la probabilità del verificarsi dell’evento A, ܲሺ‫ܣ‬ሻ ≠ ܲሺ‫ܣ‬/‫ܤ‬ሻ.
Esempio 2 – eventi indipendenti
Consideriamo ora il seguente esperimento aleatorio: Estrazione di una carta da un mazzo di carte napoletane.
Consideriamo l’evento ‫"݋ݏݏܽ ݊ݑ ݁ܿݏܧ” = ܣ‬.
ସ
ଵ
La probabilità ܲሺ‫ܣ‬ሻ = ସ଴ = ଵ଴ .
Supponiamo adesso, che chi estrae la carta, la vede e dica ‫” = ܤ‬È ‫"݁݀ܽ݌ݏ ݅݀ ܽݐݎܽܿ ܽ݊ݑ ܽݐ݅ܿݏݑ‬.
Cosa si può dire ora della probabilità ܲሺ‫ܣ‬ሻ ?
L’evento ‫ ܣ‬è condizionato dall’evento ‫ܤ‬: il verificarsi dell’evento ‫ ܤ‬da informazioni aggiuntive sulla possibilità di
verificarsi dell’evento A.
Indichiamo tale situazione con la simbologia: ܲሺ‫ܣ‬/‫ܤ‬ሻ, che si legge:”Probabilità che si verifichi l’evento A condizionato
dal verificarsi dell’evento B.
Nel calcolo di questa probabilità occorre tenere presente che lo spazio degli eventi non è più fatto da 40, ma da 10 carte.
I casi favorevoli per ‫ܣ‬/‫ ܤ‬devono essere ricercati solo all’interno del nuovo spazio degli eventi, che non è altro che ‫ܤ ∩ ܣ‬.
ଵ
Quindi ܲሺ‫ܣ‬/‫ܤ‬ሻ = ଵ଴.
In questo caso l’informazione aggiuntiva non ha modificato la probabilità del verificarsi dell’evento A, ܲሺ‫ܣ‬ሻ = ܲሺ‫ܣ‬/‫ܤ‬ሻ.
Eventi dipendenti e indipendenti
Due eventi si dicono dipendenti se ‫݌‬ሺ‫ܣ‬ሻ ≠ ‫݌‬ሺ‫ܣ‬/‫ܤ‬ሻ.
Due eventi si dicono indipendenti se ‫݌‬ሺ‫ܣ‬ሻ = ‫݌‬ሺ‫ܣ‬/‫ܤ‬ሻ.
Matematica
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3
Teorema del prodotto (o Teorema della probabilità composta)
Esempio 1 – eventi indipendenti (con reimbussolamento)
Consideriamo il seguente esperimento aleatorio:
Un sacchetto contiene 3 palline numerate da 1 a 3. Dal sacchetto estraiamo una
pallina e poi una seconda pallina, dopo che la prima pallina è stata rimessa nel
sacchetto.
Calcoliamo la probabilità che nelle due estrazioni successive vengono estratti due
numeri dispari.
Consideriamo gli eventi:
‫ܧ‬ଵ = ”‫ ݋ݐݐܽݎݐݏ݁ ݋ݎ݁݉ݑ݊ ݋݉݅ݎ݌ ݈ܫ‬è ݀݅‫"݅ݎܽ݌ݏ‬.
‫ܧ‬ଶ = ”‫ ݋ݐݐܽݎݐݏ݁ ݋ݎ݁݉ݑ݊ ݋݀݊݋ܿ݁ݏ ݈ܫ‬è ݀݅‫"݅ݎܽ݌ݏ‬.
2
2
ܲሺ‫ܧ‬ଶ ሻ =
3
3
I due eventi ‫ܧ‬ଵ e ‫ܧ‬ଶ sono indipendenti, poiché il verificarsi dell’uno non altera la probabilità di verificarsi dell’altro.
ܲሺ‫ܧ‬ଵ ሻ =
Il problema può essere risolto mediante il diagramma cartesiano a lato.
I casi possibili sono le nove coppie di coordinate dei punti del piano cartesiano. Mentre i casi favorevoli sono le quattro
coppie: ሺ1; 1ሻ , ሺ1; 3ሻ , ሺ3; 1ሻ , ሺ3; 3ሻ.
Pertanto la probabilità che nelle due estrazioni successive
vengono estratti due numeri dispari è:
4
.
9
Ma tale risultato non è altro che il prodotto delle
probabilità dei due eventi ‫ܧ‬ଵ e ‫ܧ‬ଶ . Cioè:
ܲሺ‫ܧ‬ଵ ∩ ‫ܧ‬ଶ ሻ = ‫݌‬ሺ‫ܧ‬ଵ ሻ ∙ ‫݌‬ሺ‫ܧ‬ଶ ሻ
Il problema poteva essere risolto anche utilizzando il
diagramma ad albero raffigurato a lato.
ܲሺ‫ܧ‬ଵ ∩ ‫ܧ‬ଶ ሻ =
Matematica
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4
Esempio 2 – eventi dipendenti (senza reimbussolamento)
Consideriamo il seguente esperimento aleatorio:
Un sacchetto contiene 3 palline numerate da 1 a 3. Dal sacchetto estraiamo
una pallina e poi una seconda pallina, senza rimettere la prima nel sacchetto.
Calcoliamo la probabilità che nelle due estrazioni successive vengono estratti
due numeri dispari.
Consideriamo gli eventi:
‫ܧ‬ଵ = ”‫ ݋ݐݐܽݎݐݏ݁ ݋ݎ݁݉ݑ݊ ݋݉݅ݎ݌ ݈ܫ‬è ݀݅‫"݅ݎܽ݌ݏ‬.
‫ܧ‬ଶ = ”‫ ݋ݐݐܽݎݐݏ݁ ݋ݎ݁݉ݑ݊ ݋݀݊݋ܿ݁ݏ ݈ܫ‬è ݀݅‫"݅ݎܽ݌ݏ‬.
In questo caso però:
2
1
ܲሺ‫ܧ‬ଶ ሻ =
3
2
I due eventi ‫ܧ‬ଵ e ‫ܧ‬ଶ sono dipendenti, poiché il verificarsi del primo evento altera la probabilità di verificarsi del secondo.
ܲሺ‫ܧ‬ଵ ሻ =
Il problema può essere risolto mediante il diagramma cartesiano a lato.
I casi possibili sono le sei coppie di coordinate dei punti del piano cartesiano. Non ci sono le coppie della diagonale
principale, perché se esce un numero, esso non può ripetersi nella seconda estrazione.
Mentre i casi favorevoli sono le due coppie: ሺ1; 3ሻ , ሺ3; 1ሻ .
Pertanto la probabilità che nelle due estrazioni successive vengono estratti due numeri dispari è:
2
.
6
Ma tale risultato non è altro che il prodotto delle probabilità ‫݌‬ሺ‫ܧ‬ଵ ሻ e ܲሺ‫ܧ‬ଶ /‫ܧ‬ଵ ሻ .
Cioè:
ܲሺ‫ܧ‬ଵ ∩ ‫ܧ‬ଶ ሻ = ‫݌‬ሺ‫ܧ‬ଵ ሻ ∙ ܲሺ‫ܧ‬ଶ /‫ܧ‬ଵ ሻ
ܲሺ‫ܧ‬ଵ ∩ ‫ܧ‬ଶ ሻ =
Il problema poteva essere risolto anche utilizzando il
diagramma ad albero raffigurato a lato.
2 1 2
ܲሺ‫ܧ‬ଵ ∩ ‫ܧ‬ଶ ሻ = ∙ = .
3 2 6
In conclusione si ha il seguente:
Teorema del prodotto (o Teorema della probabilità composta)
‫݌‬ሺ‫ܣ‬ሻ ∙ ‫݌‬ሺ‫ܤ‬ሻ
ܲሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ = ቐ
‫݌‬ሺ‫ܣ‬ሻ ∙ ܲሺ‫ܣ‬/‫ܤ‬ሻ
Matematica
‫݅ݐ݊݁݀݊݁݌݅݀݊݅ ݋݊݋ݏ ܤ ݁ ܣ ݁ݏ‬
‫݅ݐ݊݁݀݊݁݌݅݀ ݋݊݋ݏ ܤ ݁ ܣ ݁ݏ‬
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5
Quesito D6 PROVA INVALSI 2011-2012
Su una popolazione di 10 individui il 10% è affetto da una malattia, mentre il 90% è sano. Il test che diagnostica la
presenza della malattia è affidabile solo parzialmente: nel 5% dei casi rileva la malattia su un individuo sano e nell’1%
dei casi non rileva la malattia su un individuo malato. Il diagramma riassume la situazione:
Utilizzando i dati del diagramma ad albero, completa la seguente tabella.
Esito corretto del test
Esito errato del test
Totale
Sani
8550
450
9.000
Malati
990
10
1.000
Totale
9540
460
10.000
Qual è la probabilità che l’esito del test sia corretto per una persona scelta a caso da quella popolazione ?
ܲሺ‫݋ݐݐ݁ݎݎ݋ܿ ݋ݐ݅ݏܧ‬ሻ =
Oppure
9540
= 0,954 = 95,4%
10000
90 95
10 99
8550
990
954
∙
+
∙
=
+
=
= 0,954 = 95,4%
100 100 100 100 10000 10000 10000
Qual è la probabilità che un individuo, preso a caso tra tutti quelli che hanno avuto un esito corretto al test, sia sano?
Scrivi il risultato in percentuale con una cifra dopo la virgola.
ܲሺ‫݋ݐݐ݁ݎݎ݋ܿ ݋ݐ݅ݏܧ‬ሻ =
ܲሺܵܽ݊‫݋‬/‫݋ݐݐ݁ݎݎ݋ܥ‬ሻ =
Matematica
8550
≅ 0,896 ≅ 89,6% .
9540
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6