Calcolo delle Probabilità OK - e-learning

Nella ricerca scientifica, così come nella vita,
trionfa l’incertezza
CALCOLO DELLE
PROBABILITA’
• Chi guiderà il prossimo governo?
• Quanto costerà la benzina fra 3 mesi?
• Conviene più investire in BOT o in Azioni?
Italo Nofroni
• Chi vincerà i prossimi mondiali di calcio?
Statistica medica - Facoltà di Medicina
• Quando di troverà una cura per l’AIDS?
Sapienza - Roma
• Il prossimo inverno sarà molto freddo?
A queste domande, in genere, non si può
dare una risposta certa, ma soltanto una
risposta basata su dati, informazioni,
opinioni, ipotesi, teorie…
…una risposta, quindi, più o meno
strettamente basata sul Calcolo delle
probabilità
Ogni evento, ovvero il verificarsi di un
determinato risultato, si ottiene,
generalmente, dall’effettuazione di
una prova (detta casuale o aleatoria)
L’insieme di tutti i possibili eventi
conseguenti ad una prova è detto
spazio degli eventi (o spazio
campionario)
Il Calcolo delle probabilità è costituito
da un insieme di metodi matematici atti
ad esprimere numericamente la fiducia
(probabilità) che un determinato evento
si verifichi
Esempio 1 Prove ed eventi
Prova
Lancio di una moneta
Lancio di un dado
Estrazione di una carta
Giocare al Superenalotto
Salire le scale
Fare una diagnosi
Assumere una terapia
Fare una esame universitario
Spazio degli eventi
Test o croce
Facce da 1 a 6
Cuori, quadri, fiori, picche
Vincere o perdere
Inciampare o meno
Indovinarla o meno
Guarire, non guarire…
Promosso o bocciato
1
Esempio 2 - Spazio degli eventi del lancio di 2 dadi
Se un evento è, a sua volta,
costituito dal verificarsi di più
eventi singoli, legati tra loro da una
qualche regola, viene detto evento
complesso (o evento composto)
In questo caso lo spazio degli eventi
è determinato da come si
“compongono” i vari eventi
Dado B
Dado A
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Classificazione degli eventi
Classificazione degli eventi
Eventi compatibili
Che possono verificarsi insieme
Eventi indipendenti
il verificarsi dell’uno non influenza il
verificarsi dell’altro
Eventi incompatibili
Che non possono verificarsi insieme
Classificazione degli eventi
Eventi dipendenti
il verificarsi dell’uno influenza il verificarsi
dell’altro
Classificazione degli eventi
Eventi complementari
Eventi dicotomici
Che possono presentarsi solo con due
distinte modalità
Dato l’evento E, l’evento complementare
corrisponde all’evento NON E = E (detto E
soprasegnato)
Eventi policotomici
Che possono presentarsi con più di due
modalità
In questo caso, spesso, vengono uniti o
raggruppati, secondo logiche diverse
La somma (unione) di due eventi
complementari determina lo spazio degli
eventi, ovvero la totalità di tutti i possibili
eventi
P (E) + P (E) = 1
2
Classificazione degli eventi
Eventi complementari
Pertanto, indicando con p la probabilità che
l’evento E si verifichi e con q la probabilità
contraria (che l’evento E non si verifichi),
sarà sempre
p+q=1
Classificazione degli eventi
Classificazione degli eventi
Eventi impossibili
Che non possono verificarsi mai, la cui
probabilità vale sempre 0
Eventi possibili
Che possono verificarsi con diversi livelli di
probabilità
Eventi certi
Che si verificano sempre, la cui probabilità
vale sempre 1
Classificazione degli eventi
Pertanto la probabilità di un qualunque
evento, e calcolata con qualunque metodo,
è sempre necessariamente compresa tra
0 ed 1
Frequentemente, per semplici esigenze
pratiche, la probabilità viene moltiplicata
per 100, esprimendola quindi con un
valore percentuale
0 ≤ P(E) ≤ 1
0 ≤ %(E) ≤ 100
Scuola classica
La probabilità è stata studiata da tre
distinte Scuole di pensiero che ne
hanno fornito tre diversi metodi di
calcolo
¾ Scuola classica
¾ Scuola frequentista
¾ Scuola soggettivista (o Bayesiana)
La probabilità di un evento è data dal
numero dei casi favorevoli all’evento, sul
numero dei casi possibili
Numero casi favorevoli
P(E) = -------------------Numero casi possibili
3
Tale metodo è correttamente
applicabile purché
™ Siano noti e ben definiti sia i casi
favorevoli che i casi possibili
™ I casi possibili siano equiprobabili
Esempio 4 - Probabilità di estrarre
una carta a spade (senza fare
imbrogli…)
10
P(S) = --------------- = 0.25
40
Quindi, col metodo frequentista, la vera
probabilità si otterrà come
Numero dei successi
P(E) = -------------------Numero delle prove
lim N
∞
Esempio 3 - Probabilità di ottenere
testa lanciando una moneta
La prova lancio di una moneta
(regolare) può dar luogo solo a 2
eventi: testa e croce
1
P(Testa) = -------- = 0.50
2
Scuola frequentista
La probabilità di un evento si ottiene dal
rapporto fra il numero dei successi ed il
numero delle prove indipendenti, purché
queste siano sufficientemente numerose
In pratica il rapporto fornisce solo una
stima della vera probabilità cui si
arriverebbe solo effettuando infinite
prove
Scuola soggettivista
La probabilità di un evento è espressa,
soggettivamente, sulla base delle
informazioni a priori di cui dispone il
ricercatore
E’ evidente che ricercatori diversi in
possesso di informazioni diverse, ma
anche delle stesse informazioni, possono
definire probabilità diverse
4
Per assegnare un valore numerico a tale
probabilità soggettiva, ci si pone nel
ruolo di scommettitore
Secondo tale logica, la probabilità
dell’evento E si otterrà come
Si stabilisce che si è disposti a perdere
la quantità U quando l’evento E non si
verifica, in cambio di una vincita V,
quando l’evento E si realizza
P(E) = --------------
Si accetta, inoltre, in teoria, di
assumere nella scommessa entrambi i
ruoli, in quanto la si giudica equa
In questa situazione, un modo alternativo
di esprimere la probabilità è ricorrere al
calcolo degli odds
P(E)
U/(U + V)
U
Odds = ------------- = ---------------- = ------1 – P(E)
V/(U + V)
V
U
U+V
L’odds rappresenta quanto si è disposti
a rischiare, per unità di vincita,
scommettendo su un determinato
evento
Esprime, quindi, il grado di sicurezza
con cui si prevede l’esito, in una scala
compresa fra 0 ed infinito
E’ pari al reciproco della quota che un
bookmaker paga nel caso di vincita
1 - Teorema delle probabilità totali
Le procedure già viste consentono
di calcolare/stimare/valutare la
probabilità di eventi singoli
Per la probabilità di eventi
complessi si ricorre ai seguenti
quattro teoremi
Dati due o più eventi incompatibili, la
probabilità che si verifichi uno di essi è
data dalla somma delle probabilità dei
singoli eventi
P(A o B) = P(A) + P(B)
5
Esempio 5
Da un mazzo di carte italiane di
vuol estrarre una carta e calcolare
la probabilità che questa sia un
asso o una figura
Sappiamo che le carte italiane sono in
totale 40 e che gli eventi richiesti
sono incompatibili, perciò avremo
P(Asso o Figura) = P(A) + P(F) =
= 4/40 + 12/40 =
= 0.1 + 0.3 = 0.4
2 - Teorema delle probabilità composte
Dati due o più eventi indipendenti, la
probabilità che si verifichino
congiuntamente è data dal prodotto
delle probabilità dei singoli eventi
P(A e B) = P(A) P(B)
Perciò avremo
P(Testa e Spade e X = 4) =
= P(T) x P(S) x P(4) =
= 1/2 x 10/40 x 1/6 =
= 1/2 x 1/4 x 1/6 =
= 1/48 = 0.0208
Esempio 6
Si vuol conoscere la probabilità di
ottenere testa lanciando una moneta,
estrarre una carta a spade ed ottenere
4 lanciando un dado
I tre eventi sono ovviamente tra loro
indipendenti
3 - Teorema delle probabilità totali per
eventi compatibili
Dati due o più eventi compatibili, ed
indipendenti, la probabilità che si
verifichi uno di essi è data dalla somma
delle probabilità dei singoli eventi, meno
il prodotto delle probabilità dei singoli
eventi
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B)
6
Esempio 7
Perciò avremo
Da un mazzo di carte italiane di vuol
estrarre una carta e calcolare la
probabilità che questa sia una carta a
coppe o una figura
P(Coppe o Figura) =
I due eventi sono ovviamente
compatibili e indipendenti
La logica di tale risultato può essere
confermato con il ricorso ai diagrammi
di Wenz
C
F
= P(C) + P(F) - P(C) x P(F) =
= 10/40 + 12/40 – 10/40 x 12/40 =
= 22/40 – 3/40 = 19/40 = 0.475
4 - Teorema delle probabilità composte
per eventi dipendenti
Dati due o più eventi dipendenti, la
probabilità che si verifichino
congiuntamente è data dal prodotto
delle probabilità condizionate dei
singoli eventi
C∩F
In questa situazione è necessario
tener conto dell’ordine del verificarsi
degli eventi in quanto il primo è in
grado di influenzare il secondo, il
secondo il terzo…
…e così via
P(A e B) = P(A) P(B/A)
Esempio 8
Da un’urna contenente 8 palline rosse
e 12 palline verdi, se ne vogliono
estrarre 2 senza ripetizione (senza
inserire nuovamente nell’urna la prima
estratta), e calcolare la probabilità
che la prima sia rossa e la seconda
verde
7
Poiché la prima pallina estratta non
verrà reimbussolata, la seconda
estrazione sarà affettuata su un
numero di palline inferiore rispetto
alla prima e quindi con una probabilità
diversa, detta condizionata dalla prima
estrazione
Quindi avremo
P(Rossa e Verde) =
= P(R) x P(V/R) =
= 8/20 x 12/19 =
= 0.2526
8