PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA, CON EFFETTI IMMEDIATI In problemi di questo tipo si opera una scelta tra più alternative , 1 ≤ ℎ ≤ , ma il risultato non dipende dalla volontà di chi effettua la scelta, in quanto ogni alternativa è una variabile casuale1 che può assumere valori diversi in funzione del verificarsi di uno tra gli eventi ad essa collegati. Gli eventi sono tra loro incompatibili (il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi di tutti gli altri) e complementari (la somma delle loro probabilità deve essere uguale a 1, e ciò significa che uno di essi si verifica certamente). Un problema di scelta in condizioni di incertezza con effetti immediati si rappresenta mediante la seguente tabella, detta “ matrice o tabella dei risultati ” dove sono le alternative ed sono gli eventi : …... …… …… …… ……….. ……. …… …… …… …… …… Dall’esame della tabella si può vedere se vi è un’alternativa i cui valori sono migliori dei corrispondenti di tutte le altre, per ogni evento, allora essa è senz’altro quella da preferire (cioè se i suoi valori sono maggiori o uguali dei corrispondenti in caso di massimo o guadagno, minori o uguali in caso di minimo o costo). Analogamente un’alternativa è da scartare se i suoi valori sono peggiori dei corrispondenti di tutte le altre (cioè maggiori o uguali in caso di minimo e minori o uguali in caso di massimo). Una grandezza si dice variabile casuale o aleatoria se assume determinati valori , , ⋯ , in funzione del verificarsi di altrettanti eventi , , ⋯ , tra loro incompatibili e complementari dei quali sono note le probabilità , , ⋯ , . Ovviamente deve essere: ∑ # = 1. 1 Un problema di scelta, in condizioni di incertezza e con effetti immediati, si può risolvere con il “Criterio del valore medio” o della “Speranza matematica”, se agli eventi è associata, o si può associare, una distribuzione di probabilità che verifica la condizione: & = 1 # CRITERIO DEL VALORE MEDIO Se agli eventi non è attribuita alcuna distribuzione di probabilità, si può effettuare una valutazione soggettiva, cioè in base alle proprie convinzioni personali, tenuto conto che l’individuo che ama il rischio sarà portato ad attribuire valori elevati alle probabilità e quello prudente valori piuttosto bassi. Il Criterio del valore medio consiste nel calcolare il valore medio ' di ogni alternativa, per scegliere l’alternativa con valore medio maggiore in caso di massimo, minore in caso di minimo. ' = & # CRITERIO DEL PESSIMISTA Si applica quando alla tabella dei risultati non è associata alcuna distribuzione di probabilità e non la si vuole attribuire soggettivamente. Si parla, in tale caso, anche di scelta in assenza di informazioni. Il criterio del pessimista prende il nome di ” Criterio del maximin” in caso di massimo o di utile (si prendono tutti i minimi e poi tra essi si sceglie il massimo). Invece si parla di “Criterio del minimax” in caso di minimo (si prende il massimo di ogni alternativa e tra essi si sceglie il minimo). Esistono anche altri criteri come il maximax (massimo dei massimi in caso di utile) ed il minimin (minimo dei minimi in caso di costo). Applicazione. Per la produzione di un bene un’impresa può utilizzare due macchine A e B. − La macchina A richiede una spesa fissa mensile per la manutenzione e l’ammortamento di €1.400 e un costo di 2€ per ogni pezzo prodotto. − La macchina B richiede una spesa fissa mensile per la manutenzione e l’ammortamento di 1.100 € e un costo di € 2,2 per ogni prezzo prodotto. Il prezzo di vendita di ogni prezzo prodotto è di 5,6 €. In base ad esperienze precedenti si valuta la seguente probabilità di vendita mensile relativamente al numero dei pezzi. N. pezzi 200 300 400 600 800 1000 1200 1400 1800 Probabilità 0,10 0,15 0,20 0,25 0,12 0,10 0,05 0,02 0,01 Determinare la soluzione più conveniente applicando il criterio del valore medio e, in assenza di informazioni, il criterio del pessimista. Scriviamo le funzioni dell’utile: (A): )*# 2x+1400 +* = 3,6x-1400 200 300 400 600 800 1000 1200 1400 1800 (B): ), = 2,2x+1100 +, = 3,4x- 1100 A B Pi -680 40 760 1480 2200 2920 3640 4360 5080 -420 260 940 1620 2300 2980 3660 4340 5020 0,10 0,15 0,20 0,25 0,12 0,10 0,05 0,02 0,01 MA = - 680 ∙ 0,10 + 40 ∙ 0,15 + 760 ∙ 0,20 + 1480 ∙ 0,25 + 2200 ∙ 0,12 + 2920 ∙ 0,10 + 3640 ∙ 0,05 + 4360 ∙ 0,02 + 5080 ∙ 0,01= - 68 + 6 + 152 + 370 + 264 + 292 + 182 + 87,2 + 50,8 = 1336 89 =420 · 0,10 + 260 · 0,15 + 940 · 0,20 + 1620 · 0,25 + 2300 · 0,12 + 2980 · 0,10 + 3660 · 0,05 + 4340 · 0,02 + 5020 · 0,01 = - 42 + 39 + 188 + 405+ 276 + 198 + 183 + 86,8 + 50,2 = 1484 Conviene l’alternativa B. Maximin Alternativa (A): il minimo è – 680, Alternativa (B): il minimo è – 420, ⇒B