Esame di Stato_Sessione Ordinaria 2006-PNI- QUESTIONARIO
Quesito_7 (probabilità)
7. Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del secolo scorso, del
quale ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda: “che cos’è la
probabilità?” era solito rispondere: “La probabilità non esiste!”. Quale significato puoi
attribuire a tale risposta? E’ possibile collegarla ad una delle diverse definizioni di
probabilità che sono state storicamente proposte?
Soluzione
Occupandosi di eventi aleatori ciascuno tende ad esprimere con un numero p non negativo
compreso tra zero ed uno la possibilità che questo si realizzi. In alcuni casi due persone diverse
dovendo scommettere sulla realizzabilità di una certa ipotesi, rischiando in solido (per esempio
dichiarandosi disponibili a perdere una certa somma), non è detto che attribuiscano all’ipotesi fatta
uguale “probabilità” che la stessa si verifichi e ciò perché ciascuno valuta autonomamente le
informazioni di cui dispone e decide quale sia il grado di realizzabilità dell’ipotesi fatta. Dunque,
persone diverse possono attribuire valori diversi (probabilità diverse) al verificarsi di un stesso
evento. In altri casi le due persone sono concordi nell’attribuire ad un evento la stessa probabilità
che si verifichi. Facciamo alcuni esempi per chiarire il concetto.
a) Se si lancia una moneta non truccata e si chiede a due persone si valutare la probabilità che
nel lancio si verifichi l’evento E=”Il risultato sarà testa”, non c’è alcun dubbio che entrambe
assegneranno probabilità p=0,5.
b) Si chiede a due persone A, B di valutare la probabilità dell’evento E=”Nell’ incontro di
calcio del 22-08-06 tra la Stella Rossa di Belgrado ed il Milan il risultato sarà un
pareggio”(1). Difficilmente A e B assegneranno all’evento la stessa probabilità p; ciascuna
studierà la verificabilità dell’evento valutando autonomamente le diverse informazioni di cui
dispone (situazione ambientale, stato fisico dei calciatori, …) e che ritiene importanti ai fini
del risultato della partita. Se si chiedesse alle due persone di scommettere una somma S=p €
euro per ricevere in cambio 1€ nel caso si verifichi l’evento indicato, molto probabilmente le
due persone rischierebbero somme diverse, pA, pB; la somma rischiata da ciascuna è tanto
più alta quanto maggiore è il grado di fiducia che l’evento su cui scommette si possa
verificare.
c) Nella notte del 10-agosto di ogni anno (notte di San Lorenzo), molti osservano il cielo nella
speranza di vedere qualche “stella cadente”. Si chiede a due persone A, B, che normalmente
hanno l’abitudine di osservare il cielo la notte indicata, di attribuire una probabilità
all’evento: E=” Nella notte del prossimo 10-agosto si vedranno almeno 10 stelle cadenti
nella località L”.
Nell’attribuire la probabilità all’evento ciascuna delle due terrà conto delle esperienze
vissute negli anni precedenti, delle condizioni meteorologiche (il cielo sarà limpido o
nuvoloso), … e ritengo che difficilmente saranno concordi sulla previsione da fare.
d) Dovendo estrarre una carta da un mazzo di carte napoletane si chiede a due persone di
valutare la probabilità di ciascuno dei seguenti eventi:
E1=”la carta estratta sarà di denari”;
E2=”la carta estratta sarà una figura”
E3=”la carta estratta non sarà un asso”.
In questo caso, poiché si conosce la composizione del mazzo di carte, le due persone, con
semplici considerazioni di carattere logico, sono portate ad attribuire a ciascuno degli eventi
indicati la stessa probabilità di verificarsi. La previsioni dovrebbero essere
P(E1)=10/40=0,25;
P(E2)=12/40=0,3;
P(E3)=36/40=0,9.
(1)
Nel momento in cui scrivo queste note, 15-agosto-2006, si è già svolta la partita di andata Milan-Stella Rossa a
Milano il 9-08-06, finita con il risultato di 1-0.
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
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e) Un arciere si è esercitato a lungo, in più riprese, ed ha calcolato ogni volta il rapporto tra il
numero f dei centri realizzati ed il numero n di tiri effettuati. Il valore medio dei rapporti è
risultato essere 0,6. Ora si appresta a scagliare una freccia. Valutare la probabilità
dell’evento E=”L’arciere farà centro”. In questo caso due diverse persone assegnerebbero al
verificarsi dell’evento la probabilità p=0,6 solo se sapessero che il lancio avverrebbe nelle
stesse condizioni ambientali, fisiche e tecniche presenti durante le prove di esercitazione
dell’arciere.
La risposta di B. De Finetti: “La probabilità non esiste!”
Con la risposta fornita De Finetti tendeva a precisare che per uno stesso evento aleatorio non esiste
un parametro, denominato probabilità, che lo possa caratterizzare in modo tale che ciascun soggetto
razionale possa condividerlo. L’attribuzione della probabilità al verificarsi di un evento in molti casi
è frutto esclusivamente di valutazioni soggettiva, una previsione su cui il singolo soggetto è
disposto a rischiare qualcosa di proprio, sostenendo la tesi della verificabilità, con la promessa di
ricevere una posta prestabilita in caso di previsione esatta. E’ questa l’impostazione soggettivista
della teoria della probabilità.
Altre teorie sono la teoria classica e la teoria frequentista.
La teoria classica basa la definizione di probabilità di un evento definendola come il rapporto tra i
casi favorevoli ed i casi possibili (esempi a) e d) indicati sopra).
La concezione frequentista fonda il concetto di probabilità di un evento sull’ipotesi che lo stesso
sia ripetibile (e non tutti gli eventi lo sono, la partita Stella Rossa -Milan è un evento unico),
tenendo conto del numero f (frequenza) di volte che si verifica su n prove effettuate. La probabilità
dell’evento è posta uguale al rapporto f / n .
Esempi
1) Possiamo lanciare n volte la stessa moneta nelle stesse condizioni e contare quante volte
si presenta testa (f = numero di teste uscite).
2) Potremmo osservare gli n pezzi prodotti in serie da una certa macchina (ad esempio un
tornio a controllo numerico) impostata ad eseguire le operazioni necessarie sempre nello stesso
modo (algoritmo di lavorazione) e verificare quanti di quei pezzi sono buoni(2) (f = numero di pezzi
buoni). La probabilità che la macchina produca un nuovo pezzo buono, secondo la teoria
frequentista è p=f / n.
Concludiamo ricordando che per un evento ripetibile il valore della probabilità attribuita secondo la
teoria frequentista, con l’aumentare del numero delle prove tende al valore definito per lo stesso
secondo la teoria classica (legge dei grandi numeri).
(2)
In questo caso, entrano in giogo altre cause che incidono sulla qualità della produzione, come la qualità del materia
prima da lavorare, le condizioni tecniche in cui la lavorazione avviene,… per cui il rapporto tra il numero di pezzi buoni
e quello dei pezzi prodotti può variare per diverse sessioni di lavoro.Non riteniamo, comunque, di doverci ulteriormente
soffermare su questi aspetti in questa sede.
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
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