Facoltà di Ingegneria – Corso di Laurea in Ingegneria Edile
Politecnico di Bari
Corso di Analisi Matematica II (L-Z)
A.A. 2010-2011 Appello di Settembre
Traccia A
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3 Sì
No
Prova sostenuta per accedere alla
data ____________ Firma: __________________________________________
Verbalizzazione Diretta (V)
Prova Orale (O)
( 1) n n
1) Si consideri la serie
log( x)n
n
e
n 1
a)
O
2,5
2,5
Si No
1
2,5
2,5
1
1
2
2
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
b) Dare la definizione di serie a segno alterno ed enunciare il criterio di convergenza di Leibniz
c)
V
Sia f : I , definita ponendo x I : f ( x )
( 1) n n
log( x)n , la funzione
n
e
n 1
somma della serie assegnata, determinare f’(x).
1
x3 x y 2
3
2) Si consideri la seguente funzione f(x,y) =
e
a)
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto ((-1,0), f(-1,0));
c)
Dopo aver dato la definizione di punto estremante per una funzione, stabilire, in base a quanto
ottenuto nei punti precedenti, se il punto (-1,0) può essere un punto estremante per f
Si
No
1
giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) e w=(cos , sen ), scrivere la formula che, in base alla definizione,
consente di calcolare
2 f
( 1,0) esplicitando poi quali sono le ipotesi su f che consentono
wv
2
2
2
2
di effettuare il calcolo mediante la Matrice Hessiana;
e)
Scrivere un’equazione per la curva di livello f(x,y)=1
f)
Richiamare la definizione di funzione differenziabile in un punto e su un insieme. Si forniscano
i rapporti che sussistono tra la nozione di differenziabilità e quella di continuità di una funzione Si No
(di 2 variabili) in un punto.
g) Ricercare gli eventuali punti critici della funzione f e stabilirne la natura
3
3) Si consideri l’insieme
a)
1
3
x, y 2 | - 1 x 1, 2 x 2 y 1 x 2 e la funzione f ( x, y ) x 2 y
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme
b) Dimostrare che è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone
2
2
2
2
3
3
4
4
le rispettive espressioni caratterizzanti.
c)
Calcolare
f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy
e)
N.B.
y ' ( x ) f ( x, y )
1
y 2 0
Illustrare anche con esempi almeno uno dei “metodi ad hoc” per la determinazione di una
soluzione particolare di un’equazione differenziale lineare completa.
Si
No
1
Per gli studenti che intendono sostenere la prova per accedere alla “verbalizzazione diretta” le 4 domande teoriche, che non
prevedono valutazione numerica, sono “bloccanti”: non è possibile sbagliarne più di una e complessivamente non potrà essere
assegnato più di 1/30. Nel caso vi fosse più di una risposta errata, la prova verrà automaticamente valutata per l’accesso alla
“prova orale”.
Facoltà di Ingegneria – Corso di Laurea in Ingegneria Edile
Politecnico di Bari
Corso di Analisi Matematica II (L-Z)
A.A. 2010-2011 Appello di Settembre
Traccia B
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3 Sì
No
data ____________ Firma: __________________________________________
Verbalizzazione Diretta (V)
Prova sostenuta per accedere alla
( 1)
1) Si consideri la serie n 1
a)
n
Prova Orale (O)
log n n log|x|
e
n
O
2,5
2,5
Si No
1
2,5
2,5
1
1
2
2
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
b) Dare la definizione di serie a segno alterno ed enunciare il criterio di convergenza di Leibniz
c)
V
Sia f : I , definita ponendo x I : f ( x )
( 1)
n 1
n
log n n log|x|
e
, la funzione
n
somma della serie assegnata, determinare, se possibile, f’(x).
2) Si consideri la seguente funzione f(x,y) =
a)
e
1
x2 y y3
3
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto ((0,-1), f(0,-1));
c)
Dopo aver dato la definizione di punto estremante per una funzione, stabilire, in base a quanto
ottenuto nei punti precedenti, se il punto (0,-1) può essere un punto estremante per f
Si
No
1
giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) e w=(cos , sen ), scrivere la formula che, in base alla definizione,
consente di calcolare
2 f
(0,1) , esplicitando poi quali sono le ipotesi su f che consentono
wv
2
2
2
2
di effettuare il calcolo mediante la Matrice Hessiana;
e)
Scrivere un’equazione per la curva di livello f(x,y)= 1
f)
Richiamare la definizione di funzione differenziabile in un punto e su un insieme. Si forniscano
i rapporti che sussistono tra la nozione di differenziabilità e quella di continuità di una funzione Si No
(di 2 variabili) in un punto.
g) Ricercare gli eventuali punti critici della funzione f e stabilirne la natura
3
3) Sia il triangolo avente per vertici i punti O(0,0), A(1,1) e B(0,1) e la funzione
a)
1
3
f ( x, y ) sen ( y 2 )
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme
b) Dimostrare che è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone
1
1
3
3
3
3
4
4
le rispettive espressioni caratterizzanti.
f ( x, y)dxdy
c) Calcolare
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy
1
(suggerimento: introdurre la variabile ausiliaria z=y2)
e)
N.B.
2
( y )' ( x )
f ( x, y )
y (0) 1
Commentare la sussistenza del risultato di esistenza locale/globale ed unicità della soluzione
del Problema di Cauchy precedente
Si
No
1
Per gli studenti che intendono sostenere la prova per accedere alla “verbalizzazione diretta” le 4 domande teoriche, che non
prevedono valutazione numerica, sono “bloccanti”: non è possibile sbagliarne più di una e complessivamente non potrà essere
assegnato più di 1/30. Nel caso vi fosse più di una risposta errata, la prova verrà automaticamente valutata per l’accesso alla
“prova orale”.
