Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
Per studenti A.A. 2011-2012
Secondo Appello di Febbraio 2014
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3 Sì
No
data ____________ Firma: __________________________________________
2
1
1
1 sin n ( x)
2
n 1
n
1) Si consideri la serie
a) Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge;(potrebbe essere utile il seguente
notevole lim (1 x) 1 , valido per ogni
x 0
x
b) Sapendo che la serie
a
n 0
n
3
0)
è divergente è possibile dire che lim an 0 ?
1,5
n
2
1
1
1 sin n ( x) , la funzione somma della
2
n 1
n
serie assegnata, determinare una primitiva di f(x)cos(x) .
c) Sia f : I , definita ponendo x I : f ( x )
2) Si consideri la seguente funzione
1,5
f ( x, y) arctg (log( 1 x 2 y 2 ))
a) Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
1
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate 0, e 1, f 0, e 1;
1
c) Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto
0,
e 1
può essere un punto estremante
1
per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con , calcolare f 0, e 1 esplicitando poi quali sono le ipotesi su f che
4
v
2
consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e) Fornire una primitiva della funzione g ( x) xtg( f (0, x)) ;
2
f) Dare la definizione di punto di sella per una funzione di due variabili;
2
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura.
3
3) Sia
( x, y) 2 | 0 x 1, x 2 y 2 x
ed
f ( x, y) ye x
a) Disegnare in un piano cartesiano l’insieme e verificare che è contenuto nel dominio di f
b) Dimostrare che è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le rispettive
1
3
espressioni caratterizzanti
c) Calcolare
f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione (non necessariamente in forma esplicita)
del seguente problema di Cauchy.
1
y ' ( x ) f ( x, x )
y
y 0 1
4
4
