Traccia Appello del 27 Febbraio 2014

Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
Per studenti A.A. 2011-2012
Secondo Appello di Febbraio 2014
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3  Sì
 No
data ____________ Firma: __________________________________________
2


1
1

 1 sin n ( x)


2 
n 1 

 n 

1) Si consideri la serie
a) Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge;(potrebbe essere utile il seguente

notevole lim (1  x)  1   , valido per ogni
x 0
x

b) Sapendo che la serie
a
n 0
n
3
  0)
è divergente è possibile dire che lim an  0 ?
1,5
n
2


1
1

 1 sin n ( x) , la funzione somma della




2
n 1 
 n 

serie assegnata, determinare una primitiva di f(x)cos(x) .
c) Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x ) 
2) Si consideri la seguente funzione

1,5
f ( x, y)  arctg (log( 1  x 2  y 2 ))
a) Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
1
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate 0, e  1, f 0, e  1;
1
c) Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto
0,
e 1
 può essere un punto estremante
1
per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;


d) Per v=(cos , sen ) con    , calcolare f 0, e  1 esplicitando poi quali sono le ipotesi su f che
4
v
2
consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e) Fornire una primitiva della funzione g ( x)  xtg( f (0, x)) ;
2
f) Dare la definizione di punto di sella per una funzione di due variabili;
2
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura.
3
3) Sia


  ( x, y)  2 | 0  x  1, x 2  y  2  x
ed
f ( x, y)  ye x
a) Disegnare in un piano cartesiano l’insieme  e verificare che è contenuto nel dominio di f
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le rispettive
1
3
espressioni caratterizzanti
c) Calcolare


f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione (non necessariamente in forma esplicita)
del seguente problema di Cauchy.
1

 y ' ( x )  f ( x, x )
y

 y 0  1

4
4