Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
A.A. 2010-2011 Appello di Giugno
Traccia A
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3 Sì
No
Secondo Esonero (E)
Prova sostenuta
1) Si consideri la serie
1
n
n 1
a)
data ____________ Firma: __________________________________________
4
Appello (A)
(log n)e n log x
A
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
E
3
a
b) Sapendo che
k 0
k
è una serie convergente, cosa si può dire sulla successione delle code
1,5
n
k 0
k 0
d n ak ak ?
c)
Sia f : I , definita ponendo x I : f ( x)
1
n
n 1
4
(log n)e n log x , la funzione
1,5
somma della serie assegnata, determinare f’(x).
2) Si consideri la seguente funzione
a)
f ( x, y) arctg ( xy) y 2
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
1
1
1
2
1
1
2
3
2
2
2
2
3
4
1
1
3
3
4
6
y ' ( x ) f ( x, y )
4
y (0) 1
5
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((0,1), f(0,1));
c)
Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (0,1) può essere un punto
estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con
7
6
, calcolare
f
(0,1) esplicitando poi quali sono le ipotesi su
v
f che consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e)
Fornire una primitiva della funzione g(x)=x f(x,x)
f)
Dare la definizione di funzione differenziabile e enunciare condizioni sufficienti alla
differenziabilità
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura
3) Sia
a)
{( x, y) 2 | 0 x 1, 0 y ( x 1) 2 2} ed f ( x, y ) (1 x)( y 2)
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme
b) Dimostrare che è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
rispettive espressioni caratterizzanti.
c)
Calcolare
f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy.
Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
A.A. 2010-2011 Appello di Giugno
Traccia B
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3 Sì
No
data ____________ Firma: __________________________________________
Secondo Esonero (E)
Prova sostenuta
1) Si consideri la serie
n 1
a)
1
3
n
7
Appello (A)
(log n)e n log(2 x )
A
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
E
3
b
b) Sapendo che
k 0
k 0
c)
è una serie a termini positivi convergente, cosa si può dire sulla serie
1,5
a
k
k
se risulta
0 a k bk definitivamente ?
Sia f : I , definita ponendo x I : f ( x)
n 1
1
3
n7
(log n)e n log(2 x ) , la funzione
1,5
somma della serie assegnata, determinare f’(x).
2) Si consideri la seguente funzione
a)
f ( x, y) arctg ( xy) x 2
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((1,0), f(1,0));
c)
Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (0,1) può essere un punto
estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con
3
4
, calcolare
f
(1,0) esplicitando poi quali sono le ipotesi su
v
1
1
1
2
1
1
2
3
2
2
2
2
3
4
1
1
3
3
4
6
4
5
f che consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e)
Fornire una primitiva della funzione g(x)=x f(x,x);
f)
Dare la definizione di funzione derivabile e sottolineare i rapporti che sussistono con il concetto
di funzione differenziabile;
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura
3) Sia
a)
{( x, y) 2 | 1 x 2, 0 y ( x 1) 2 2} ed f ( x, y ) (1 x)( y 2)
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme
b) Dimostrare che è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
rispettive espressioni caratterizzanti.
c)
Calcolare
f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy.
y ' ( x ) f ( x, y )
y (0) 1
