Tracce Appello del 14 Settembre 2012

Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
A.A. 2011-2012 Appello di Settembre
Traccia A
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3  Sì
 No
 Secondo Esonero (E)
Prova sostenuta

1) Si consideri la serie
2
n
n 1
a)
data ____________ Firma: __________________________________________
 Appello (A)
 1
log 1   x 3n
 n
A
E
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge (potrebbe essere
log( 1  x)
 1);
x 0
x
3
utile il seguente limite notevole lim

a
b) Sapendo che
k 0
c)
k
(a k ) kN ?
1,5
 1
log 1   x 3n , la funzione
 n
1,5
è una serie convergente, cosa si può dire sulla successione
Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x) 

2
n
n 1
somma della serie assegnata, determinare f’(x).
2) Si consideri la seguente funzione
a)
f ( x, y )  arctg ( x 2  y 2  1) 

4
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((1,0), f(1,0));
c)
Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (1,0) può essere un punto
estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con
5
6
 
, calcolare
f
(1,0) esplicitando poi quali sono le ipotesi su
v
1
1
1
2
1
1
2
3
f che consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e)
Fornire una primitiva della funzione g(x)=x f(x,x ;)
2
2
f)
Dare la definizione di funzione continua in un punto ed in un insieme;
2
2
3
4
1
1
3
3
4
6
 y ' ( x )  f ( x, y )

  
4
 y 2   1
  
5
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura.
3) Sia  il triangolo di vertici A (1,1) , B(3,1) e C (1,2) ed f ( x, y )  8 y sin( x)
a)
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme 
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
rispettive espressioni caratterizzanti.
c)
Calcolare


f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy.
Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
A.A. 2011-2012 Appello di Settembre
Traccia B
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3  Sì
 No
data ____________ Firma: __________________________________________
 Secondo Esonero (E)
Prova sostenuta

1) Si consideri la serie
3
n 1
a)
n
 Appello (A)
 1
log 1   x 3n
 n
A
E
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge (potrebbe essere utile
log( 1  x)
 1 );
x 0
x
3
il seguente limite notevole lim
b) Sapendo che la successione
(a k ) kN non ammette limite, cosa si può dire sul carattere della

serie
 a k ? Sapendo che ak  0 per infiniti indici è possibile precisare ulteriormente?
1,5
k 0
c)
Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x) 

3
n
n 1
 1
log 1   x 3n , la funzione
 n
somma della serie assegnata, determinare f’(x).
2) Si consideri la seguente funzione
a)
f ( x, y )  arctg ( x 2  y 2  3 ) 

3
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((0,1), f(0,1));
c)
Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (0,1) può essere un punto
estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con


6
, calcolare
1,5
f
(0,1) esplicitando poi quali sono le ipotesi su f
v
1
1
1
2
1
1
2
3
che consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e)
Fornire una primitiva della funzione g(x)=x f(x,x ;)
2
2
f)
Dare la definizione di funzione derivabile in un punto ed in un insieme;
2
2
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura.
3
4
1
1
3
3
4
6
 y ' ( x )  f ( x, y )

4
 y0  1
5
3) Sia  il triangolo di vertici A (1,1) , B(3,2) e C (1,2) ed f ( x, y )  8 y cos( x)
a)
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme 
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
rispettive espressioni caratterizzanti.
c)
Calcolare


f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy.