Politecnico di Bari - Corsi Ingegneria Gestionale e Architettura

Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
Per studenti A.A. 2011-2012
Appello di Settembre 2014
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3  Sì
 No

1) Si consideri la serie

n 1
data ____________ Firma: __________________________________________
1
n arctg  (sin x) n
n
a) Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge;
b) Siano
3
(an )nN e (bn )nN due successioni di numeri reali positivi tali che lim n  

la serie
b
n
n 0
an
 1 . Sapendo che
bn
1,5

a
è convergente, cosa si può dire della serie
n 0


c) Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x ) 
n 1
n
?
1
n arctg  (sin x) n , la funzione somma della
n
1,5
serie assegnata, determinare f’(x) ed il suo insieme di definizione.
2) Si consideri la seguente funzione
f ( x, y )  x 2  y 2  1
a) Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
1
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate
c) Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto

3 ,0

3 ,0, f


3 ,0 ;
 può essere un punto estremante per
1
1
f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con   5  , calcolare f ( 3 ,0) esplicitando poi quali sono le ipotesi su f che
6
v
2
consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e) Fornire una primitiva della funzione g ( x)  xf (0, x) ;
2
f) Dare la definizione di punto di sella per una funzione di due variabili;
2
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura.
3

3) Sia   ( x, y )   | 0  x  1, x  y 
2
1
2

x3
ed
f ( x, y)  ye x
a) Disegnare in un piano cartesiano l’insieme  e verificare che è contenuto nel dominio di f
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le rispettive
1
3
espressioni caratterizzanti.
c) Calcolare


f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy.
 y ' ( x )  f ( x, y )

 y 0  1
4
4