Politecnico di Bari - Corsi Ingegneria Gestionale e Architettura

Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
A.A. 2011-2012 Appello di Settembre
Traccia C
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3  Sì
 No
data ____________ Firma: __________________________________________
 Secondo Esonero (E)
Prova sostenuta
 Appello (A)
 1n

 e  1 n log n | x |



n 1 


1) Si consideri la serie
a)
A
E
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge (potrebbe essere
ex 1
utile il seguente limite notevole lim
 1 );
x 0
x
3
(a k ) kN è una successione di termini positivi e che la successione delle somme
b) Sapendo che

parziali
(s n ) nN ammette maggioranti, cosa si può dire sulla serie
1,5
 ak ?
k 0
 1n

n
c) Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x)    e  1 n log | x | , la funzione


n 1 


1,5
somma della serie assegnata, determinare f’(x).
2) Si consideri la seguente funzione
a)
f ( x, y)  xyex y
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((1,0), f(1,0));
c)
Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (1,0) può essere un punto
estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con


6
, calcolare
f
(1,0) esplicitando poi quali sono le ipotesi su f
v
1
1
1
2
1
1
2
3
che consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e)
Fornire una primitiva della funzione g(x)=x f(x,1);
2
2
f)
Dare la definizione di funzione derivabile in un punto ed in un insieme;
2
2
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura.
3
4
1
1
3
3
4
6
 y ' ( x )  f ( x, y )


3
4
 y 0   4
5
3) Sia
a)


  ( x, y)   2 | 0  x  1 e 0  y  1  ( x  1) 2 ed f ( x, y ) 
sin( x)
1 y
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme  e verificare che  è contenuto nel dominio di f
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
rispettive espressioni caratterizzanti.
c)
Calcolare


f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy.
Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
A.A. 2011-2012 Appello di Settembre
Traccia D
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3  Sì
 No
 Secondo Esonero (E)
Prova sostenuta

1) Si consideri la serie

n 1
a)
data ____________ Firma: __________________________________________
 Appello (A)
1
 n
1  n
 log | x |
e

1

n 

A
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge (potrebbe essere utile
ex 1
il seguente limite notevole lim
 1 );
x 0
x
3
(a k ) kN è una successione di termini positivi e che la successione delle somme
b) Sapendo che

parziali
c)
E
(s n ) nN non ammette maggioranti, cosa si può dire sulla serie
Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x) 


n 1
 ak ?
1,5
k 0
1

1  n
e  1 log n | x | , la funzione

n

1,5
somma della serie assegnata, determinare f’(x).
2) Si consideri la seguente funzione
a)
f ( x, y)  xyex y
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((0,1), f(0,1));
c)
Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (0,1) può essere un punto
estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con


3
, calcolare
f
(0,1) esplicitando poi quali sono le ipotesi su f
v
1
1
1
2
1
1
2
3
che consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e)
Fornire una primitiva della funzione g(x)= f(x,x);
2
2
f)
Dare la definizione di funzione differenziabile in un punto ed in un insieme;
2
2
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura.
3
4
1
1
3
3
4
6
 y ' ( x )  f ( x, y )

  
4
 y 4   0
  
5
3) Sia
a)


  ( x, y)   2 | 1  x  2 e 0  y  1  ( x  1) 2 ed f ( x, y ) 
sin( x)
1 y
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme  e verificare che  è contenuto nel dominio di f
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
rispettive espressioni caratterizzanti.
c)
Calcolare


f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy.