Facoltà di Architettura Politecnico di Bari Corso di Istituzioni di Matematiche II A.A. 2011-2012 Appello di Settembre Traccia C Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________ Postale esse3 Sì No data ____________ Firma: __________________________________________ Secondo Esonero (E) Prova sostenuta Appello (A) 1n e 1 n log n | x | n 1 1) Si consideri la serie a) A E Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge (potrebbe essere ex 1 utile il seguente limite notevole lim 1 ); x 0 x 3 (a k ) kN è una successione di termini positivi e che la successione delle somme b) Sapendo che parziali (s n ) nN ammette maggioranti, cosa si può dire sulla serie 1,5 ak ? k 0 1n n c) Sia f : I , definita ponendo x I : f ( x) e 1 n log | x | , la funzione n 1 1,5 somma della serie assegnata, determinare f’(x). 2) Si consideri la seguente funzione a) f ( x, y) xyex y Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile; b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((1,0), f(1,0)); c) Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (1,0) può essere un punto estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta; d) Per v=(cos , sen ) con 6 , calcolare f (1,0) esplicitando poi quali sono le ipotesi su f v 1 1 1 2 1 1 2 3 che consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente; e) Fornire una primitiva della funzione g(x)=x f(x,1); 2 2 f) Dare la definizione di funzione derivabile in un punto ed in un insieme; 2 2 g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura. 3 4 1 1 3 3 4 6 y ' ( x ) f ( x, y ) 3 4 y 0 4 5 3) Sia a) ( x, y) 2 | 0 x 1 e 0 y 1 ( x 1) 2 ed f ( x, y ) sin( x) 1 y Disegnare in un piano cartesiano l’insieme e verificare che è contenuto nel dominio di f b) Dimostrare che è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le rispettive espressioni caratterizzanti. c) Calcolare f ( x, y)dxdy e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy. Facoltà di Architettura Politecnico di Bari Corso di Istituzioni di Matematiche II A.A. 2011-2012 Appello di Settembre Traccia D Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________ Postale esse3 Sì No Secondo Esonero (E) Prova sostenuta 1) Si consideri la serie n 1 a) data ____________ Firma: __________________________________________ Appello (A) 1 n 1 n log | x | e 1 n A Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge (potrebbe essere utile ex 1 il seguente limite notevole lim 1 ); x 0 x 3 (a k ) kN è una successione di termini positivi e che la successione delle somme b) Sapendo che parziali c) E (s n ) nN non ammette maggioranti, cosa si può dire sulla serie Sia f : I , definita ponendo x I : f ( x) n 1 ak ? 1,5 k 0 1 1 n e 1 log n | x | , la funzione n 1,5 somma della serie assegnata, determinare f’(x). 2) Si consideri la seguente funzione a) f ( x, y) xyex y Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile; b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((0,1), f(0,1)); c) Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (0,1) può essere un punto estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta; d) Per v=(cos , sen ) con 3 , calcolare f (0,1) esplicitando poi quali sono le ipotesi su f v 1 1 1 2 1 1 2 3 che consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente; e) Fornire una primitiva della funzione g(x)= f(x,x); 2 2 f) Dare la definizione di funzione differenziabile in un punto ed in un insieme; 2 2 g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura. 3 4 1 1 3 3 4 6 y ' ( x ) f ( x, y ) 4 y 4 0 5 3) Sia a) ( x, y) 2 | 1 x 2 e 0 y 1 ( x 1) 2 ed f ( x, y ) sin( x) 1 y Disegnare in un piano cartesiano l’insieme e verificare che è contenuto nel dominio di f b) Dimostrare che è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le rispettive espressioni caratterizzanti. c) Calcolare f ( x, y)dxdy e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy.