GEOMETRIA 4

GEOMETRIA 4
anno accademico 2013-2014
esercizi per la prima prova intermedia
1) Sia X uno spazio topologico localmente euclideo di dimensione n e sia f : X → Y un omeomorfismo
locale suriettivo (per la definizione di omeomorfismo locale si veda [Manetti - p.197].
Dimostrare che Y è localmente euclideo di dimensione n.
2) Sia N lo spazio topologico (nastro di Moebius) quoziente del rettangolo R = [−1, 1] × (−1, 1) ⊂ R2
modulo la relazione di equivalenza che identifica (−1, y) con (1, −y), per −1 < y < 1.
Costruire un atlante differenziabile per N costituito da due sole carte e calcolare esplicitamente la matrice
jacobiana del cambiamento di carta.
3) Per ciascuno dei seguenti spazi topologici stabilire se sia o meno localmente euclideo di dimensione n
e per quale n. Stabilire inotre se sia connesso e se sia compatto.
(a) Il quoziente dello spazio dei mumeri complessi C modulo la relazione di equivalenza che identifica w
e w0 se e solo se w − w0 = ki, con k ∈ Z (i unità immaginaria).
(b) Il quoziente di R2 modulo la contrazione a un punto dell’asse delle ascisse.
(c) Il sottospazio di R3 definito dalle relazioni x2 + y 2 − z 2 = 0 e z ≤ 0.
3
(d) Il quoziente del disco chiuso 3−dimensionale D modulo la relazione di equivalenza antipodale sulla
superficie bordo (ovvero la relazione che identifica P e P 0 se P, P 0 ∈ S 2 e P = −P 0 ).
(e)
Il quoziente di R2 modulo l’azione del gruppo delle rotazioni di centro nell’origine e ampiezza
0, π/4, π/2, 3π/4.
4) (*) Nel piano proiettivo P2 si consideri la conica Γ di equazione x0 x2 − x21 = 0.
Dimostrare che Γ è una varietà differenziabile di dimensione 1, costruendo anche esplicitamente un atlante
di Γ.
5) (*) Mostrare che ciascuna componente connessa dei seguenti due spazi di matrici (sottospazi di
2
M at(n, R) ∼
= Rn ) è una varietà differenziabile.
• GL(n, R) = {A ∈ M at(n, R) | det(A) 6= 0}
• SL(n, R) = {A ∈ M at(n, R) | det(A) = 1}.
6) Sia M = {(x, y, z, t) ∈ R4 | xz + y 2 − z 2 = 2}
Mostrare che M è una varietà differenziabile ed esibire esplicitamente le carte di un suo atlante.
7)Si consideri F : P3 R → P2 R definita da
F (x0 : x1 : x2 : x3 ) = (x20 : x21 : x22 + x23 ).
a)Si verifichi che F è ben definita e che è un’applicazione liscia (effettuando quest’ultima verifica solo
sulla carta U2 = {(x0 : x1 : x2 : x3 ) | x2 6= 0}).
b)Si stabilisca se la fibra F −1 (1 : 1 : 1) è una varietà differenziabile e se è connessa.
8)Si consideri l’applicazione F : R3 → R4 definita da
F (x1 , x2 , x3 ) = (
x21 − x22 x1 x2 x1 x3 x2 x3
,
,
,
).
kxk2 kxk2 kxk2 kxk2
• Verificare che F definisce una mappa liscia Φ : P2 R → R4 .
• Verificare che Φ è un embedding.
9) Si consideri l’applicazione differenziabile f : P1 R → P2 R definita da
f ((x0 : x1 )) = (x20 : x0 x1 : x22 )
Stabilre se f è un’immersione e o un embedding.
10) Superficie Romana di Steiner
Si consideri l’applicazione f : R3 → R3 definita da
f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 x2 , x1 x3 , x2 x3 ).
• Determinare il rango di J(f )p al variare di p in R3 .
• Stabilire in quali punti f è un diffeomorfismo locale e determinare la fibra f −1 (p) al variare di p in R3 .
11) Si consideri l’applicazione F : R3 → R3 definita da
F (x, y, z) = (x, z, xyz).
• Determinare un aperto massimale U di R3 in cui il rango di J(F ) è massimo.
• Determinare un intorno aperto V del punto P = (1, 0, 1) tale che F|V : V → F (V ) sia un diffeomorfismo.
12) Sia P : V = R2 → R3 il foglio semplice di superficie definito da
P (u, v) = (2 + u, v − 2, u2 − v 2 + 2u + 2v).
a) Si determini l’unico punto P0 di S = P (R2 ) tale che il piano tangente a S in P0 sia parallelo al piano
xy.
b) Si consideri la curva Γ tracciata su S definita da Γ(t) = P (−t, t2 ), t ∈ R e si denoti con t un vettore
tangente a Γ in P (−1, 1). Si determini la curvatura normale di S in P (−1, 1) nella direzione di t.
c) Si determinino i valori minimo m e massimo M assunti dalla curvatura normale di S in P (−1, 1). Come
si può costruire una curva su S per P (−1, 1) la cui curvatura in P (−1, 1) valga M?
13) Nel piano y = 0 di R3 è data la curva Γ di equazione z = log(x − 1), x > 1.
Sia Σ il foglio semplice di superficie ottenuto con una rotazione di Γ, attorno all’asse z, di un angolo
v ∈ (0, 2π).
• Si determinino le equazioni parametriche P = P (u, v) e l’equazione cartesiana di Σ.
• Per ogni punto P0 = P (u0 , v0 ) di Σ, si determinino le coordinate del punto di intersezione tra la retta
normale a Σ in P0 e l’asse z.
• Si classifichino i punti di Σ e si determinino in ogni punto le curvature principali e le linee di curvatura.
14)Si consideri l’applicazione differenziabile P : R2 → R3 definita da
P (s, t) = (1 + s(t − 1), 1 + s(t2 − 1), t − st),
(s, t) ∈ R2
.
a) Si determini un aperto massimale U di R2 in cui P è un foglio semplice.
b) Si verifichi che S1 = P (U ) è un foglio semplice di superficie rigata e si scriva l’equazione del piano
tangente TQ (S1 , Q) nei punti Q della linea coordinata corrispondente a t = 0. Si stabilisca se S1 è sviluppabile.
c) Si classifichino i punti di S1 .
Note
• Gli esercizi indicati con (*) hanno un livello di difficoltà superiore agli altri.
• Gli esercizi da 1 a 5 saranno corretti in aula il 16 aprile.
• Gli esercizi da 6 a 11 saranno corretti in aula il 9 aprile