Traccia Appello del 26 Settembre 2013

Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
A.A. 2012-2013 Secondo Appello di Settembre 2013
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3  Sì
 No

1) Si consideri la serie
4
n 1
data ____________ Firma: __________________________________________
 2n
n
log( n)
( x  3) n
a) Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge;
b) Sia
3
(an )nN una successione di numeri reali tale che, definitivamente, risulti an 
1
. Cosa si può
n(n  1)
1,5

dire sulla convergenza della serie
a
n 0
n
?
c) Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x ) 


 2n
n 1
n3
(3x  2) n , la funzione somma della
1,5
serie assegnata, determinare f’(x).
2) Si consideri la seguente funzione
f ( x, y)  (e  x 2  y 2 ) log( e  x 2 )
a) Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
1
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate 0,1, f 0,1 ;
1
c) Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto 0,1 può essere un punto estremante per f
1
(massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con

3
, calcolare
4
f
0,1 esplicitando poi quali sono le ipotesi su f che
v
2
consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e) Fornire una primitiva della funzione g ( x)  xf ( x,0) su [1,[ ;
2
f) Dare la definizione di derivata direzionale di una funzione in un punto e stabilire i rapporti con la nozione di
derivata parziale in un punto;
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura.
2


3) Sia   ( x, y )   | 1  x  3,
2
3
1
1

x  y  4  ( x  2) 2  ed f ( x, y )  2
3
y

a) Disegnare in un piano cartesiano l’insieme  e verificare che è contenuto nel dominio di f
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le rispettive
1
3
espressioni caratterizzanti.
c) Calcolare


f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione (anche in forma implicita) del seguente
problema di Cauchy.
 y ' ( x)  f ( x, y ) log( x)

 y1  3
4
4