Politecnico di Bari - Corsi Ingegneria Gestionale e Architettura

Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
A.A. 2011-2012 Appello di Luglio
Traccia C
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3  Sì
 No
data ____________ Firma: __________________________________________
 Secondo Esonero (E)
Prova sostenuta

1) Si consideri la serie
 1  cos  (log n) sin
n 1
a)
2
1
n
n
 Appello (A)
( x)
A
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge

a
b) Sapendo che
k 0
k
E
3
è una serie numerica divergente, è possibile asserire che 
lim a
k  
k
 0?
1,5
Giustificare la risposta.
c)
Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x) 

 1  cos  (log n) sin
n 1
1
n
2
n
( x) , la
1,5
funzione somma della serie assegnata, determinare una primitiva di f (x) cos(x).
e1 y
f ( x, y ) 
1  x2
2
2) Si consideri la seguente funzione
a)
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((1,1), f(1,1));
c)
Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (1,1) può essere un punto
estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con
5
6
 
, calcolare
f
(1,1) esplicitando poi quali sono le ipotesi su
v
1
1
1
2
1
1
2
3
f che consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e)
Fornire una primitiva della funzione g(x)=x f(x,0)
2
2
f)
Dare la definizione di funzione integrale di una funzione misurabile secondo Riemann
2
2
3
4
1
1
3
3
4
6
 y ' ( x )  f ( x, y )

4
 y (0)  0
5
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura
3) Sia
a)
  {( x, y)   2 | 0  x  1, x  y   x  2} ed f ( x, y ) 
x 1
( y  1) 2
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme  e verificare che  è contenuto nell’insieme di
definizione di f
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
rispettive espressioni caratterizzanti.
c)
Calcolare


f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy.
Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
A.A. 2011-2012 Appello di Luglio
Traccia D
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3  Sì
 No
data ____________ Firma: __________________________________________
 Secondo Esonero (E)
Prova sostenuta

1) Si consideri la serie
 1  cos  (log n) cos
n 1
a)
2
1
n
n
 Appello (A)
( x)
A
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
E
3

a
b) Sapendo che
k 1
k
è una serie numerica a termini positivi, cosa si può dire sulla serie
1,5

2
k 0
c)
k
a 2k ? Giustificare la risposta.
Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x) 

 1  cos  (log n) cos
n 1
1
n
2
n
( x) , la
1,5
funzione somma della serie assegnata, determinare una primitiva di f (x) sin(x).
e1 x
f ( x, y ) 
1 y2
2
2) Si consideri la seguente funzione
a)
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
1
1
1
2
1
1
2
3
2
2
2
2
3
4
1
1
3
3
4
6
 y ' ( x )  f ( x, y )

4
 y (0)  0
5
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((1,1), f(1,1));
c)
Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (1,1) può essere un punto
estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con
4
3
 
, calcolare
f
(1,1) esplicitando poi quali sono le ipotesi su
v
f che consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e)
Fornire una primitiva della funzione g(x)=x f(0,x)
Dare la definizione di primitiva di una funzione ed enunciare condizioni sufficienti all’esistenza
di primitive
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura
f)
3) Sia
a)
  {( x, y)   2 | 1  x  0, - x  y  2  x} ed f ( x, y ) 
x 1
( y  1) 2
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme  e verificare che  è contenuto nell’insieme di
definizione di f
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
rispettive espressioni caratterizzanti.
c)
Calcolare


f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy.