Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
A.A. 2011-2012 Appello di Luglio
Traccia C
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3 Sì
No
data ____________ Firma: __________________________________________
Secondo Esonero (E)
Prova sostenuta
1) Si consideri la serie
1 cos (log n) sin
n 1
a)
2
1
n
n
Appello (A)
( x)
A
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
a
b) Sapendo che
k 0
k
E
3
è una serie numerica divergente, è possibile asserire che
lim a
k
k
0?
1,5
Giustificare la risposta.
c)
Sia f : I , definita ponendo x I : f ( x)
1 cos (log n) sin
n 1
1
n
2
n
( x) , la
1,5
funzione somma della serie assegnata, determinare una primitiva di f (x) cos(x).
e1 y
f ( x, y )
1 x2
2
2) Si consideri la seguente funzione
a)
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((1,1), f(1,1));
c)
Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (1,1) può essere un punto
estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con
5
6
, calcolare
f
(1,1) esplicitando poi quali sono le ipotesi su
v
1
1
1
2
1
1
2
3
f che consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e)
Fornire una primitiva della funzione g(x)=x f(x,0)
2
2
f)
Dare la definizione di funzione integrale di una funzione misurabile secondo Riemann
2
2
3
4
1
1
3
3
4
6
y ' ( x ) f ( x, y )
4
y (0) 0
5
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura
3) Sia
a)
{( x, y) 2 | 0 x 1, x y x 2} ed f ( x, y )
x 1
( y 1) 2
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme e verificare che è contenuto nell’insieme di
definizione di f
b) Dimostrare che è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
rispettive espressioni caratterizzanti.
c)
Calcolare
f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy.
Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
A.A. 2011-2012 Appello di Luglio
Traccia D
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3 Sì
No
data ____________ Firma: __________________________________________
Secondo Esonero (E)
Prova sostenuta
1) Si consideri la serie
1 cos (log n) cos
n 1
a)
2
1
n
n
Appello (A)
( x)
A
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
E
3
a
b) Sapendo che
k 1
k
è una serie numerica a termini positivi, cosa si può dire sulla serie
1,5
2
k 0
c)
k
a 2k ? Giustificare la risposta.
Sia f : I , definita ponendo x I : f ( x)
1 cos (log n) cos
n 1
1
n
2
n
( x) , la
1,5
funzione somma della serie assegnata, determinare una primitiva di f (x) sin(x).
e1 x
f ( x, y )
1 y2
2
2) Si consideri la seguente funzione
a)
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
1
1
1
2
1
1
2
3
2
2
2
2
3
4
1
1
3
3
4
6
y ' ( x ) f ( x, y )
4
y (0) 0
5
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((1,1), f(1,1));
c)
Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (1,1) può essere un punto
estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con
4
3
, calcolare
f
(1,1) esplicitando poi quali sono le ipotesi su
v
f che consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e)
Fornire una primitiva della funzione g(x)=x f(0,x)
Dare la definizione di primitiva di una funzione ed enunciare condizioni sufficienti all’esistenza
di primitive
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura
f)
3) Sia
a)
{( x, y) 2 | 1 x 0, - x y 2 x} ed f ( x, y )
x 1
( y 1) 2
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme e verificare che è contenuto nell’insieme di
definizione di f
b) Dimostrare che è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
rispettive espressioni caratterizzanti.
c)
Calcolare
f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy.
