Politecnico di Bari - Corsi Ingegneria Gestionale e Architettura

Politecnico di Bari
A.A. 2008-2009 Appello di Febbraio
Traccia A
 Analisi Matematica II per Ingegneria Gestionale
 Istituzioni di Matematiche II per Architettura
Cognome ____________________ Nome ______________________ N. matricola _____________
 Secondo Esonero (E)
Prova sostenuta
 Appello (A)
Data: _________ ora inizio: ________ ora termine: _______Firma: ___________________________________
1) Si consideri la funzione f x, y  
arctg ( y 4 )
x2  y2
A

Determinare e disegnare il dominio D di f
2

Stabilire se (0,0) è punto di accumulazione per D
2

Discutere l’esistenza del
lim
( x , y )( 0, 0)
f x, y  ed eventualmente calcolarlo
E
2
2) Si consideri la seguente funzione f x, y   xye4 y  4 xe4 y  16

Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;

Scrivere l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate
((0,0), f(0,0));

Fornire un’interpretazione geometrica della nozione di differenziabilità di una funzione
in un punto;

Per v=(cos , sen ) con =30° calcolare
f
(0,0) esplicitando quali sono le ipotesi su
v
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
3
4
1
2
4
5
4
5
3
3
f che consentono di effettuare il calcolo utilizzando il gradiente di f;

Calcolare la direzione w lungo la quale la derivata direzionale di f in (0,0) è massima,
calcolare, poi

f
(0,0) .
w
Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (0,0) può essere un
punto estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;

Richiamare gli strumenti teorici utilizzati nella ricerca dei punti estremanti di una
funzione differenziabile

Ricercare gli eventuali punti critici della funzione f e stabilirne la natura


3) Si consideri l’insieme   ( x, y)   2 | 1  x  e 0  y  log x
f ( x, y )  xy
e la funzione

Verificare che  è contenuto nel dominio D di f;

Disegnare in un piano cartesiano l’insieme  e stabilire se  è un insieme “normale”
precisando rispetto a quale asse

f ( x, y)dxdy

Calcolare

Interpretare geometricamente la formula di integrazione utilizzata.
