Politecnico di Bari
A.A. 2008-2009 Appello di Febbraio
Traccia A
Analisi Matematica II per Ingegneria Gestionale
Istituzioni di Matematiche II per Architettura
Cognome ____________________ Nome ______________________ N. matricola _____________
Secondo Esonero (E)
Prova sostenuta
Appello (A)
Data: _________ ora inizio: ________ ora termine: _______Firma: ___________________________________
1) Si consideri la funzione f x, y
arctg ( y 4 )
x2 y2
A
Determinare e disegnare il dominio D di f
2
Stabilire se (0,0) è punto di accumulazione per D
2
Discutere l’esistenza del
lim
( x , y )( 0, 0)
f x, y ed eventualmente calcolarlo
E
2
2) Si consideri la seguente funzione f x, y xye4 y 4 xe4 y 16
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
Scrivere l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate
((0,0), f(0,0));
Fornire un’interpretazione geometrica della nozione di differenziabilità di una funzione
in un punto;
Per v=(cos , sen ) con =30° calcolare
f
(0,0) esplicitando quali sono le ipotesi su
v
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
3
4
1
2
4
5
4
5
3
3
f che consentono di effettuare il calcolo utilizzando il gradiente di f;
Calcolare la direzione w lungo la quale la derivata direzionale di f in (0,0) è massima,
calcolare, poi
f
(0,0) .
w
Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto (0,0) può essere un
punto estremante per f (massimo o minimo) giustificando la risposta;
Richiamare gli strumenti teorici utilizzati nella ricerca dei punti estremanti di una
funzione differenziabile
Ricercare gli eventuali punti critici della funzione f e stabilirne la natura
3) Si consideri l’insieme ( x, y) 2 | 1 x e 0 y log x
f ( x, y ) xy
e la funzione
Verificare che è contenuto nel dominio D di f;
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme e stabilire se è un insieme “normale”
precisando rispetto a quale asse
f ( x, y)dxdy
Calcolare
Interpretare geometricamente la formula di integrazione utilizzata.
