Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Istituzioni di Matematiche II
Per studenti A.A. 2011-2012
Primo Appello di Febbraio 2015
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3 Sì
No
1) Si consideri la serie
1
data ____________ Firma: __________________________________________
1
n log 1 n sin
n
( x 1)
n 1
a) Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge (ricordare che
log( 1 x) x
b) siano
3
1 2
x o( x 2 ) per x 0 );
2
(an )nN e (bn )nN due successioni di numeri reali strettamente positivi tali che
definitivamente. sapendo che la serie
a
n 0
an
1
bn
1,5
n
è divergente, cosa si può dire della serie
b
n 0
c) Sia f : I , definita ponendo x I : f ( x )
1
1
n log 1 n sin
n
n
?
( x 1) , la funzione
n 1
1,5
somma della serie assegnata, determinare f’(x) ed il suo insieme di definizione.
2) Si consideri la seguente funzione f ( x, y ) xy x y 1
2
2
a) Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
1
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate 1,0, f 1,0 ;
1
c) Stabilire, in base a quanto ottenuto nei punti precedenti, se il punto 1,0 può essere un punto estremante per f
1
(massimo o minimo) giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) con 5 , calcolare f (1,0) esplicitando poi quali sono le ipotesi su f che
6
v
2
consentono di effettuare il calcolo mediante il vettore gradiente;
e) Fornire una primitiva della funzione g ( x) f (1, x) ;
2
f) Dare la definizione di Matrice Hessiana;
2
g) Ricercare gli eventuali punti stremanti della funzione f e stabilirne la natura senza utilizzare la Matrice
Hessiana.
3
3) Sia
( x, y) 2 | 1 x 2, x y x 2
ed f ( x, y ) x log( xy)
a) Disegnare in un piano cartesiano l’insieme e verificare che è contenuto nel dominio di f
b) Dimostrare che è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le rispettive
1
3
espressioni caratterizzanti.
c) Calcolare
f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy.
y ' ( x) 4 yf ( x,1)
y 1 e
4
4
