Politecnico di Bari - Corsi Ingegneria Gestionale e Architettura

Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Analisi Matematica - Modulo II
A.A. 2013-2014 Prima Prova Parziale di Giugno
Traccia A
Tempo a disposizione: 90 minuti
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
data ____________ Firma: __________________________________________
 arcsen(log( 1  n ))x

1) Si consideri la serie
1
2

1
n
n 1
a) Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
b) Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x) 
4
 arcsen(log( 1  n ))x

1
2

n
 1 , la
n 1
2
funzione somma della serie assegnata, determinare una primitiva di x f(x).
2) Si consideri la seguente funzione
f x, y   e arctg( x
2
4 y 2 )
a) Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
1
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((1,0), f(1,0));
2
c) Per v=(cos , sen ), con =30°, calcolare
f
(1,0) esplicitando quali sono le ipotesi su f che
v
3
consentono di effettuare il calcolo mediante il gradiente di f;
d) Determinare la direzione di massima pendenza della funzione f nel punto di coordinate (1,0)
2
e) Ricercare gli eventuali punti critici della funzione f e stabilirne la natura
4


ex y
3) Si consideri l’insieme    x, y    | 0  x  1, x  y  x e la funzione f ( x, y )  2
x  x 1
2
(ricordare che
2
a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) )
a) Disegnare in un piano cartesiano l’insieme  e verificare che è contenuto nel dominio di f
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
2
2
rispettive espressioni caratterizzanti.

f ( x, y)dxdy
c) Calcolare 
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare laa soluzione del seguente problema di Cauchy
 y' ( x)  f ( x, y)( x 3  1)

 y(0)  e
4
4
Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Analisi Matematica - Modulo II
A.A. 2013-2014 Prima Prova Parziale di Giugno
Traccia B
Tempo a disposizione: 90 minuti
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
data ____________ Firma: __________________________________________

1) Si consideri la serie
 arctg (e
1
n


 1)) x 3  1
n
n 1
a) Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
b) Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x) 

4

1

 arctg (e n  1)) x 3  1 , la funzione
n
n 1
2
somma della serie assegnata, determinare una primitiva di x2 f(x).
f x, y   earctg( 4 x  y
2
2) Si consideri la seguente funzione
2
)
a) Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
1
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((0,1), f(0,1));
2
c) Per v=(cos , sen ), con =60°, calcolare
f
(0,1) esplicitando quali sono le ipotesi su f che
v
3
consentono di effettuare il calcolo mediante il gradiente di f;
d) Determinare la direzione di massima pendenza della funzione f nel punto di coordinate (0,1)
2
e) Ricercare gli eventuali punti critici della funzione f e stabilirne la natura
4
3) Si consideri l’insieme  
x, y   
2

| 0  x  1, x 2  y  x e la funzione f ( x, y ) 
(ricordare che
sin( x) y
x2  x 1
a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) )
a) Disegnare in un piano cartesiano l’insieme  e verificare che è contenuto nel dominio di f
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
2
2
rispettive espressioni caratterizzanti.

f ( x, y)dxdy
c) Calcolare 
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare laa soluzione del seguente problema di Cauchy
 y' ( x)  f ( x, y)( x 3  1)

 y(0)  e
4
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