Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Analisi Matematica - Modulo II
A.A. 2013-2014 Prima Prova Parziale di Giugno
Traccia A
Tempo a disposizione: 90 minuti
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
data ____________ Firma: __________________________________________
arcsen(log( 1 n ))x
1) Si consideri la serie
1
2
1
n
n 1
a) Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
b) Sia f : I , definita ponendo x I : f ( x)
4
arcsen(log( 1 n ))x
1
2
n
1 , la
n 1
2
funzione somma della serie assegnata, determinare una primitiva di x f(x).
2) Si consideri la seguente funzione
f x, y e arctg( x
2
4 y 2 )
a) Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
1
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((1,0), f(1,0));
2
c) Per v=(cos , sen ), con =30°, calcolare
f
(1,0) esplicitando quali sono le ipotesi su f che
v
3
consentono di effettuare il calcolo mediante il gradiente di f;
d) Determinare la direzione di massima pendenza della funzione f nel punto di coordinate (1,0)
2
e) Ricercare gli eventuali punti critici della funzione f e stabilirne la natura
4
ex y
3) Si consideri l’insieme x, y | 0 x 1, x y x e la funzione f ( x, y ) 2
x x 1
2
(ricordare che
2
a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 ) )
a) Disegnare in un piano cartesiano l’insieme e verificare che è contenuto nel dominio di f
b) Dimostrare che è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
2
2
rispettive espressioni caratterizzanti.
f ( x, y)dxdy
c) Calcolare
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare laa soluzione del seguente problema di Cauchy
y' ( x) f ( x, y)( x 3 1)
y(0) e
4
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Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura
Politecnico di Bari
Corso di Analisi Matematica - Modulo II
A.A. 2013-2014 Prima Prova Parziale di Giugno
Traccia B
Tempo a disposizione: 90 minuti
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
data ____________ Firma: __________________________________________
1) Si consideri la serie
arctg (e
1
n
1)) x 3 1
n
n 1
a) Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
b) Sia f : I , definita ponendo x I : f ( x)
4
1
arctg (e n 1)) x 3 1 , la funzione
n
n 1
2
somma della serie assegnata, determinare una primitiva di x2 f(x).
f x, y earctg( 4 x y
2
2) Si consideri la seguente funzione
2
)
a) Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
1
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto di coordinate ((0,1), f(0,1));
2
c) Per v=(cos , sen ), con =60°, calcolare
f
(0,1) esplicitando quali sono le ipotesi su f che
v
3
consentono di effettuare il calcolo mediante il gradiente di f;
d) Determinare la direzione di massima pendenza della funzione f nel punto di coordinate (0,1)
2
e) Ricercare gli eventuali punti critici della funzione f e stabilirne la natura
4
3) Si consideri l’insieme
x, y
2
| 0 x 1, x 2 y x e la funzione f ( x, y )
(ricordare che
sin( x) y
x2 x 1
a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 ) )
a) Disegnare in un piano cartesiano l’insieme e verificare che è contenuto nel dominio di f
b) Dimostrare che è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone le
2
2
rispettive espressioni caratterizzanti.
f ( x, y)dxdy
c) Calcolare
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare laa soluzione del seguente problema di Cauchy
y' ( x) f ( x, y)( x 3 1)
y(0) e
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