Politecnico di Bari - Corsi Ingegneria Gestionale e Architettura

Facoltà di Ingegneria – Corso di Laurea in Ingegneria Edile
Politecnico di Bari
Corso di Analisi Matematica II (L-Z)
A.A. 2010-2011 Appello di Settembre
Traccia A
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3  Sì
 No
Prova sostenuta per accedere alla
data ____________ Firma: __________________________________________
 Verbalizzazione Diretta (V)
 Prova Orale (O)
( 1) n n
1) Si consideri la serie 
log( x)n
n
e
n 1

a)
O
2,5
2,5
Si No
1
2,5
2,5
1
1
2
2
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
b) Dare la definizione di serie a segno alterno ed enunciare il criterio di convergenza di Leibniz
c)
V
Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x ) 
( 1) n n
log( x)n , la funzione

n
e
n 1

somma della serie assegnata, determinare f’(x).
1
 x3  x  y 2
3
2) Si consideri la seguente funzione f(x,y) =
e
a)
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto ((-1,0), f(-1,0));
c)
Dopo aver dato la definizione di punto estremante per una funzione, stabilire, in base a quanto
ottenuto nei punti precedenti, se il punto (-1,0) può essere un punto estremante per f
Si
No
1
giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) e w=(cos , sen ), scrivere la formula che, in base alla definizione,
consente di calcolare
2 f
( 1,0) esplicitando poi quali sono le ipotesi su f che consentono
wv
2
2
2
2
di effettuare il calcolo mediante la Matrice Hessiana;
e)
Scrivere un’equazione per la curva di livello f(x,y)=1
f)
Richiamare la definizione di funzione differenziabile in un punto e su un insieme. Si forniscano
i rapporti che sussistono tra la nozione di differenziabilità e quella di continuità di una funzione Si No
(di 2 variabili) in un punto.
g) Ricercare gli eventuali punti critici della funzione f e stabilirne la natura
3
3) Si consideri l’insieme
a)
1
3
  x, y   2 | - 1  x  1, 2 x 2  y  1  x 2  e la funzione f ( x, y )  x  2 y
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme 
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone
2
2
2
2
3
3
4
4
le rispettive espressioni caratterizzanti.
c)
Calcolare


f ( x, y)dxdy
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy
e)
N.B.
 y ' ( x )  f ( x, y )

  1
 y   2   0

Illustrare anche con esempi almeno uno dei “metodi ad hoc” per la determinazione di una
soluzione particolare di un’equazione differenziale lineare completa.
Si
No
1
Per gli studenti che intendono sostenere la prova per accedere alla “verbalizzazione diretta” le 4 domande teoriche, che non
prevedono valutazione numerica, sono “bloccanti”: non è possibile sbagliarne più di una e complessivamente non potrà essere
assegnato più di 1/30. Nel caso vi fosse più di una risposta errata, la prova verrà automaticamente valutata per l’accesso alla
“prova orale”.
Facoltà di Ingegneria – Corso di Laurea in Ingegneria Edile
Politecnico di Bari
Corso di Analisi Matematica II (L-Z)
A.A. 2010-2011 Appello di Settembre
Traccia B
Cognome _________________________________ Nome _________________________ N. matricola _____________
Postale esse3  Sì
 No
data ____________ Firma: __________________________________________
 Verbalizzazione Diretta (V)
Prova sostenuta per accedere alla

 ( 1)
1) Si consideri la serie n 1
a)
n
 Prova Orale (O)
log n n log|x|
e
n
O
2,5
2,5
Si No
1
2,5
2,5
1
1
2
2
Determinare l’insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
b) Dare la definizione di serie a segno alterno ed enunciare il criterio di convergenza di Leibniz

c)
V
Sia f : I   , definita ponendo x  I : f ( x ) 
 ( 1)
n 1
n
log n n log|x|
e
, la funzione
n
somma della serie assegnata, determinare, se possibile, f’(x).
2) Si consideri la seguente funzione f(x,y) =
a)
e
1
 x2  y y3
3
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile;
b) Determinare l’equazione del piano tangente il grafico di f nel punto ((0,-1), f(0,-1));
c)
Dopo aver dato la definizione di punto estremante per una funzione, stabilire, in base a quanto
ottenuto nei punti precedenti, se il punto (0,-1) può essere un punto estremante per f
Si
No
1
giustificando la risposta;
d) Per v=(cos , sen ) e w=(cos , sen ), scrivere la formula che, in base alla definizione,
consente di calcolare
2 f
(0,1) , esplicitando poi quali sono le ipotesi su f che consentono
wv
2
2
2
2
di effettuare il calcolo mediante la Matrice Hessiana;
e)
Scrivere un’equazione per la curva di livello f(x,y)= 1
f)
Richiamare la definizione di funzione differenziabile in un punto e su un insieme. Si forniscano
i rapporti che sussistono tra la nozione di differenziabilità e quella di continuità di una funzione Si No
(di 2 variabili) in un punto.
g) Ricercare gli eventuali punti critici della funzione f e stabilirne la natura
3
3) Sia  il triangolo avente per vertici i punti O(0,0), A(1,1) e B(0,1) e la funzione
a)
1
3
f ( x, y )  sen ( y 2 )
Disegnare in un piano cartesiano l’insieme 
b) Dimostrare che  è un insieme “normale” rispetto ad entrambi gli assi coordinati fornendone
1
1
3
3
3
3
4
4
le rispettive espressioni caratterizzanti.

f ( x, y)dxdy
c) Calcolare 
e fornire un’interpretazione geometrica della formula utilizzata
d) Determinare una soluzione del seguente problema di Cauchy
1

(suggerimento: introdurre la variabile ausiliaria z=y2)
e)
N.B.
2
( y )' ( x ) 
f ( x, y )

 y (0)  1

Commentare la sussistenza del risultato di esistenza locale/globale ed unicità della soluzione
del Problema di Cauchy precedente
Si
No
1
Per gli studenti che intendono sostenere la prova per accedere alla “verbalizzazione diretta” le 4 domande teoriche, che non
prevedono valutazione numerica, sono “bloccanti”: non è possibile sbagliarne più di una e complessivamente non potrà essere
assegnato più di 1/30. Nel caso vi fosse più di una risposta errata, la prova verrà automaticamente valutata per l’accesso alla
“prova orale”.