1 Tema d`Esame di Calcolo I Ing. Aerospaziale 15-06

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Tema d’Esame di Calcolo I Ing. Aerospaziale 15-06-09
Scritto Fila A
1. (Punti 8) Studiare il grafico della funzione
|x+1|
e( |x−1| ) .
(1)
(2 punti Facoltativo) Studiare il segno della derivata seconda. Nel caso in cui
non si riesca a determinare il segno della derivata seconda. Lo studio della
concavità si farà considerando il minimo numero di flessi compatibile con il
resto delle informazioni ottenute fino allo studio della derivata prima.
R
dt. Poi calcolare l’inte2. (Punti 5) Calcolare l’integrale indefinito arctg(3t+1)
(t−1)2
R 3 arctg(3t+1)
grale definito 2 (t−1)2 dt.
3. (Punti 2) Determinare se esiste, il seguente limite:
p
p
x(x2 + y 2 ) + 1 − log(1 + x2 + y 2 )
log
p
,
lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
e descriverne il campo di definizione D in R2 .
4. (Punti 1) Dire se D è aperto, chiuso, limitato, compatto.
5. (Punti 2) Studiare il carattere della serie seguente
+∞
X
π
ei 4
p
n=2
(n3 + 1)log(n + 1)
.
Stabilire inoltre se essa è assolutamente convergente. Giustificare le risposte.
6. *(Punti 2) Dimostrare che in uno spazio metrico un sottoinsieme compatto è
chiuso.
7. *(Punti 3) Determinare il carattere della seguente serie
1
X log 1 + n(3−x
2 )2
n
log(log( n3 + 2))
al variare di x in R.
8. (Punti 1) Determinare
ilraggio di convergenza della seguente serie di potenze
n
P+∞
3n2 +1
n
xn .
(−1)
1
n=0
sin(
)
7n2 +1
9. (a) (Punti 1) Sia data la funzione f (t) = log(cosh( 2t )) + 1, dare uno sviluppo
asintotico al secondo ordine di f (t) nel punto 0.
2
(b) (Punti 1) Integrare
tale sviluppo per ottenere uno sviluppo al terzo ordine
Rx
di F (x) = 0 f (t)dt.
(c) *(Punti 3) Dedurre uno sviluppo al terzo ordine in un intorno dell’ origine
0 per F −1 (x).
10. (Punti 2) Sia f : R → R dotata di derivata terza, tale che f (x) = f 000 (x)
per ogni x ∈ R ed inoltre f (0) 6= 0, 0 < f 00 (0). Allora: (i): f non negativa
implica f strettamente convessa in [0, +∞[; o (ii): f non negativa implica f
strettamente concava in [0, +∞[; o (iii): f ha un flesso in x = 0; o (iv): f 0 ha
un flesso in x = 0. (v): nessuna delle precedenti è vera.