Trigonometria - MATEMATICAeSCUOLA

Trigonometria
Triangolo isoscele e semicirconferenza
Problema
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base BC con il lato AC di misura 2l ed avente gli angoli adiacenti alla base
BC di 30°. Tracciata la semicirconferenza di diametro AC che interseca BC in H, scegliere sull’arco AH un
2

2

punto P in modo che sia soddisfatta la relazione AP  BP  10  4 3 l 2 .
Risposta - L’ampiezza dell’angolo ACP deve essere di 15°.
Soluzione
Analisi del problema e strategia risolutiva
a) Il triangolo AHC è inscritto nella semicirconferenza di diametro AC perciò l’angolo in H è retto,
quindi AH è altezza del triangolo ABC relativa alla base BC, nonché mediana e bisettrice.
b) Indicando con  l’ampiezza dell’angolo ACP, al variare di P sull’arco AH risulta 0°30°. La


relazione che deve sussistere AP  BP  10  4 3 l 2 ha senso per ogni valore di  nell’intervallo
2
2
indicato.
c) Facendo riferimento al triangolo rettangolo APC si possono determinare le misure delle corde AP,
2
PC; dal triangolo BCP si determina la misura BP applicando il teorema del coseno (di Carnot).
Sostituendo i valori trovati nella relazione si otterrà un’equazione goniometrica, risolvendo la quale
si determineranno i valori di  che la verificheranno.
Elaborazioni
Facciamo riferimento alla figura a lato.
1)
AP  ACsen  2lsen ;
PC  AC cos   2l cos  .
2) Notiamo che l’angolo PCH misura 30°-.
3) Determiniamo la misura della base BC
del triangolo ABC.
Osserviamo che BC2HC perché AH è mediana, e dal triangolo rettangolo AHC otteniamo
HC  AC cos30  2l 
3
 l 3 , da cui BC  2l 3 .
2
2
4) Applichiamo il teorema del coseno al triangolo BPC per trovare BP .
BP  BC  PC  2BC  PC cos  30     12l 2  4l 2 cos2   8l 2 3 cos  cos  30    
2
2
2
 3

1
12l 2  4l 2 cos 2   8l 2 3  cos  
cos   sen   12l 2  8l 2 cos2   4l 2 3 cos  sen .
2
 2

5) Relazione da studiare
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
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



AP  BP  10  4 3 l 2  4l 2 sen2  12l 2  8l 2 cos2   4l 2 3 cos  sen  10  4 3 l 2 
2
2
4sen2  4 3 cos  sen  8cos2   2  4 3  0  2sen2  2 3 cos  sen  4cos 2   1  2 3  0
Trasformiamo l’equazione ottenuta in un’equazione omogenea di secondo grado moltiplicando il
termine noto per sen2  cos2  . Si ha


2sen2  2 3 cos  sen  4cos 2   1  2 3  sen2  cos 2    0 
3  2 3  sen   2
2


3 cos  sen  2 3  3 cos 2   0
Risolviamo l’equazione dividendo per cos2, che è diverso da zero perché 0°30°. Si ottiene
l’equazione equivalente
3  2 3  tg   2
3tg  2 3  3  0
il cui /4 è nullo:


4
2
 3   3  2 3  2
2

3  3  3  12  9   0 .
L’equazione ammette l’unica radice doppia
tg 
3
2 3 3


3
3 2 3


1
2 3

 2  3    arctg 2  3  15
2 3 2 3


6) Conclusione. Nel problema in esame la relazione è soddisfatta solo se il punto P sull’arco AH della
semicirconferenza è tale che l’angolo ACP sia di 30°.
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
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