GEOMETRIA III (febbraio 2008)
1) Si consideri la seguente famiglia di curve algebriche Ck
dipendenti dal
parametro reale k:
(k–2)y3 – kx2 + 2(k–1)y2 = 0.
a) Si determinino le curve riducibili e le curve non ridotte
della famiglia.
b) Per tutti i valori di k per cui Ck è ridotta ed irriducibile si
determinino
e si studino gli eventuali punti singolari di Ck.
c) Si studi C3 e se ne tracci un diagramma qualitativo.
d) Si determinino tutti i punti di intersezione, con la relativa
molteplicità,
fra C1 e la curva di equazione: x2 – y3 – 2y2 = 0.
2) Si consideri l’applicazione P: R2 R3,(u,v) (x,y,z), tale che:
P(u,v) = (vsen(u), u + vcos(u), u3).
a) Si determini il minimo valore u0 di u per cui la restrizione di
P
all’insieme A={(u,v)R2| u > u0} definisce un foglio semplice di
superficie S.
Si determini poi la natura dei punti di S.
b) Si consideri la curva , tracciata su S, di equazioni u = t, v
= sen(t),
con t R, t > 0. Per ogni punto di corrispondente al valore t del
parametro, si indichi con K(t) la curvatura di Gauss di S in quel
punto. Si calcoli il minimo tra K(π/2) e K(π).
c) Si stabilisca se è una linea asintotica e se è una linea di
curvatura. Si determinino i punti H di tali che il piano tangente
ad S in H passa per (0,1,1).
d) Si calcoli il limite di K(t) per t
3) Sia P = P(s) una curva fortemente regolare di E3 riferita ad un
suo parametro naturale s[1,+). Si consideri la curva Q(s) = P(s) +
s2n(s), dove n(s) è il versore normale principale per P. Si provi che
Q(s) è una curva regolare.
