moti composti 2a parte (moto del proiettile)
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Moti composti Caduta di un grave con velocità iniziale orizzontale Si esamina nel seguito il moto di un corpo soggetto alla forza di gravità terrestre lanciato orizzontalmente.In tale contesto esso è soggetto a due movimenti uno con accelerazione costante (g) lungo la verticale di caduta (asse y nella figura) ed uno con velocità costante lungo l’orizzontale (asse x). O Nel sistema di riferimento xOy, posto t0=0, x0=0, y0=0, si ha : v0x = v0 , v0y=0 , ax =0 , ay =g . Le leggi orarie dei due movimenti sono date da: (moto lungo l’asse x ) x(t) = v0t (moto lungo l’asse y ) y(t) = 1 gt2 2 L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando la variabile tempo dalle due equazioni . Si ha: t = x(t) v0 La g 2 x2(t) 2 x 1) y t = da cui segue: = 2v0 v0 traiettoria rappresentata dal’equazione 1) è pertanto un arco di parabola. Corso multimediale di fisica Prof Calogero Contrino 18/10/2013 1/8 Moti composti Caduta di un grave con velocità iniziale orizzontale Per determinare in un generico istante t (0 < t < tF ) la velocità del corpo, essendo la velocità costante lungo l’asse x, basterà determinare la sua componente lungo y come segue: vy = g t O Da cui si avrà : v (t) = vx + vy = v0x i + vy j = v0 i + gt j e |v| = vx vx 2 + vy 2 V = arctg Corso multimediale di fisica Prof Calogero Contrino vy vx gt = arctg v 0 vy Con 18/10/2013 2/8 Moti composti Caduta di un grave con velocità iniziale obliqua Si esamina ora il moto di un corpo soggetto alla forza di gravità terrestre lanciato con componenti orizzontale e verticale della velocità. In questo caso il moto sulla verticale avrà una velocità iniziale mentre si ripeterà la situazione del caso precedente lungo l’orizzontale Nel sistema di riferimento xOy, (vedi fig.a lato ) posto t0=0, x0=0, y0=0, si ha : v0x = v0 cos, v0y=v0sen , ax =0 , ay =g . Le leggi orarie dei due moti sono date da: x(t) = v0cost (moto lungo l’asse x) y(t) = ─ 1 gt2 + v0sent (moto lungo l’asse y) 2 O L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando la variabile tempo dalle due equazioni. Dalla prima si ha: t = y = ─ g 2v20 cos2 Corso multimediale di fisica Prof Calogero Contrino x2 x(t) x2(t) 2 e sostituendo nella seconda si ottiene: t = 2 v0 cos v 0 cos2 v0sen Che è l’equazione della traiettoria cercata. x + 1) v0cos 18/10/2013 3/8 Moti composti Caduta di un grave con velocità iniziale obliqua Per t >0 l’equazione 1) rappresenta un arco di parabola la cui concavità è rivolta verso il g basso, risulta infatti: ─ <0 2 2 2v 0 cos Detto G il punto in cui la traiettoria interseca l’asse orizzontale (vedi fig.a lato ),si definisce gittata la distanza OG = xG . Per determinarla si risolve il sistema: y= 0 y= g sen x − x2 2 2 cos 2v0 cos O G g g sen 2 x = 0 da cui segue : x sen − x − x 0 = 2 cos2 2 2 cos 2V cos 0 2v0 cos Si ha quindi: x = 0 → x0 = 0 ( ascissa del punto di lancio ) oppure : g g sen sen 2V02 cos2 sen x x x x = → − =0 → = G= cos cos 2V02 cos2 cos g 2V02 cos2 La risolvente è : Semplificando si ha infine: Corso multimediale di fisica Prof Calogero Contrino 2 2 V sen2 V 2sen cos 0 0 xG = = g g 18/10/2013 4/8 Moti composti Caduta di un grave con velocità iniziale obliqua Per la simmetria della traiettoria , l’ascissa del punto in cui si raggiunge l’altezza massima è : 2sen cos V02 sen2 V02 xHm = xG = = 2 2g 2g L’altezza massima raggiunta dal proiettile si ottiene sostituendo xHm nell’equazione della traiettoria. Pertanto da : y = − g sen 2 x x + cos 2v02cos2 O Si ha successivamente : = Hm =− y sen cos V02 g 2v02cos2 g Hm 2 G xHm sen sen cos V02 + cos = g sen2 V02 sen2 V02 sen2 cos2 V04 sen2 V02 sen2 V02 + + =− =− = g 2g g g2 g 2v02cos2 g Corso multimediale di fisica Prof Calogero Contrino 18/10/2013 5/8 Moti composti Caduta di un grave con velocità iniziale obliqua Si determina ora l’istante tF in cui viene colpito il bersaglio (si noti che avendo posto in precedenza t0 = 0 ne segue che l’intervallo t = tF – t0 = tF , esso è detto tempo di volo ). Dalla relazione : t = x v0x vx vy Sostituendo ad x l’espressione della gittata si avrà successivamente : 2sen cos V02 2senV0 tF = xG = = v0x g V0 cos g Il tempo impiegato per raggiungere l’altezza = massima, pari alla metà di tF, sarà dunque sen V0 O dato da : tHm = tF g G 2 Per determinare in un generico istante t ( 0 < t < tF ) la velocità del proiettile, essendo la velocità costante lungo l’asse x, basterà determinare la sua componente lungo y come segue: Vy = V0y − g t = V0sen − g t e il vettore velocità sarà : V = Vx i + Vy j Con |V| = Vx 2 + Vy 2 e V = arctg Vy Corso multimediale di fisica Prof Calogero Contrino Vx 18/10/2013 6/8 Moti composti Moto del proiettile – parabola di sicurezza Si determina ora l’istante tF in cui viene colpito il bersaglio (si noti che avendo posto in precedenza t0 = 0 ne segue che l’intervallo t = tF – t0 = tF , esso è detto tempo di volo ). Dalla relazione : t = x v0x vx vy Sostituendo ad x l’espressione della gittata si avrà successivamente : 2sen cos V02 2senV0 tF = xG = = v0x g V0 cos g Il tempo impiegato per raggiungere l’altezza = massima, pari alla metà di tF, sarà dunque sen V0 O dato da : tHm = tF g G 2 Per determinare in un generico istante t ( 0 < t < tF ) la velocità del proiettile, essendo la velocità costante lungo l’asse x, basterà determinare la sua componente lungo y come segue: Vy = V0y − g t = V0sen − g t e il vettore velocità sarà : V = Vx i + Vy j Con |V| = Vx 2 + Vy 2 e V = arctg Vy Corso multimediale di fisica Prof Calogero Contrino Vx 18/10/2013 7/8
