IV - Dipartimento di Matematica Tor Vergata

Tutorato di ARC - IV
Corso di Laurea in Matematica - Roma “Tor Vergata”
Roma, 25 ottobre 2016
1) Sia {fk }k∈N una successione di funzioni misurabili definite su un insieme misurabile E ⊂ RN . Supponiamo che esistano φ, f misurabili su E tali che
φ− ∈ L1 (E),
φ ≤ fk ≤ f
allora
∀k ∈ N,
Z
fk −→ f per k → ∞ q.o. in E;
fk →
E
Z
f.
E
2) Sia f : [0, 1] × [0, 1] → R una funzione tale che
(i) y 7→ f (x, y) sia misurabile ∀x ∈ [0, 1]
(ii) x →
7 f (x, y) sia di classe C 1 ([0, 1]) per q.o. y ∈ [0, 1].
Provare che
∂f
(x, y) < e per q.o. y ∈ [0, 1]
∂x
implicano che g(x) =
R1
0
e
|f (0, y)| ≤ π per q.o. y ∈ [0, 1]
f (x, y)dy sia (ben definita e) di classe C 1 ([0, 1], R).
3) Siano A ⊂ Rn , B ⊂ Rm . Verificare che |A × B|e ≤ |A|e · |B|e .
R∞
Per b > 0 reale consideriamo la funzione
4) (Come calcolare 0 (sen x/x)dx )
f : (0, b] × (0, +∞) → R definita da
f (x, y) := e−xy sen x.
a) Si verifichi che la funzione è integrabile in (0, b] × (0, +∞).
b) Applicando il teorema di Fubini ad f si deduca la formula
Z b
Z +∞ −by
sen x
π
e
dx = −
(cos b + y sen b) dy.
x
2
1 + y2
0
0
c) Si verifichi la convergenza
Z +∞ −by
e
(cos b + y sen b) dy = 0.
lim
b→+∞ 0
1 + y2