Forma trigonometrica di un numero complesso

Forma trigonometrica di un numero complesso
Sia dato il numero complesso z = a + bi, che rappresentiamo col
punto P nel piano di Gauss:
Y
asse
immaginario
P(a,b)  z = a + bi
B(0,b)


O
A(a,0)
XX
asse reale
Figura 1
Nella Figura 1  è il modulo, e  è l’argomento di z. Applicando le
funzioni trigonometriche al triangolo rettangolo OAP si ricavano le
identità:
a =  cos 
e
b =  sen ,
da cui
z =  (cos  + i sen )
che è detta la forma trigonometrica del numero complesso z.
Essa consente di esprimere in maniera particolarmente efficace la
regola del prodotto di due numeri complessi: dati
z1= 1 (cos 1 + i sen 1)
si ha che
e
z2 = 2 (cos 2 + i sen 2),
z1  z2 = 1 2 (cos (1+2) + i sen (1+ 2)).
Per la dimostrazione si veda Il piano di Gauss.
La forma trigonometrica era già usata ben prima che Wessel e
Argand sviluppassero la teoria geometrica dei numeri complessi. In
particolare la si trova presso Eulero e De Moivre. Quest’ultimo la
utilizza, fra l’altro, nelle sue formule per le radici n-esime di un
numero complesso.