dinamica
pendolo semplice
© 2006
Appunti di fisica
Prof. Calogero Contrino
dinamica:
Pendolo semplice
Il pendolo semplice è un sistema fisico ideale formato da una massa puntiforme m sospesa,
mediante un filo inestensibile privo di massa, ad un punto fisso detto centro di sospensione.
In condizioni normali il sistema a causa della forza peso P è in equilibrio sulla verticale (vedi
figura), con il filo teso che esercita la forza equilibrante T (uguale in modulo alla tensione di
trazione sul filo esercitata dalla forza peso ).
Infatti dal diagramma di corpo libero della massa puntiforme si
ha nel riferimento di figura :
C
T+P=0
→ - T j+ P j = 0
→
-T+P=0
→
C
T=P
T
m
m
O P = mg
y
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21/05/2014
dinamica:
Pendolo semplice
La massa viene quindi spostata dalla sua posizione di equilibrio (p.e come in figura ) di un
angolo rispetto alla verticale . In questa nuova situazione, terminata l’azione esterna che ha
provocato lo spostamento, la forza peso non è più equilibrata dalla reazione vincolare del filo,
pertanto la massa si muoverà verso la posizione di equilibrio sulla verticale con una traiettoria
circolare di raggio pari alla lunghezza l del filo.
Se esaminiamo il comportamento di un sistema reale che approssima il sistema ideale si
osserverà che la massa raggiunta la posizione di equilibrio la supererà raggiungendo una
posizione quasi simmetrica rispetto a quella iniziale nella quale il movimento si inverte quindi il
moto proseguirà con oscillazioni intorno alla verticale che pian piano si smorzeranno fino al
ripristino della situazione di equilibrio sulla verticale .
È facile intuire che lo smorzamento delle oscillazioni è dovuto
alle diverse forme di attrito presenti nel sistema reale :
• attrito per la presenza dell’aria
• attrito interno del filo
• attrito nei punti di ancoraggio tra massa e filo e tra filo e punto di sospensione
Se queste forme di attrito fossero eliminabili il sistema continuerebbe ad
oscillare indefinitamente.
C
l
m
Nel seguito studieremo la specificità del movimento oscillatorio in queste
condizioni ideali con l’ipotesi semplificativa aggiuntiva che l’angolo sia
molto piccolo (4°-5°)
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Pendolo semplice
Si analizza ora nel dettaglio il ruolo delle forze in gioco per spiegare la natura del moto della
massa appesa al filo.
Spostata la massa in modo tale che il filo formi un angolo con la verticale le componenti
della forza peso lungo la direzione del filo e della tangente alla traiettoria (componente radiale
e tangenziale) nel sistema locale di riferimento locale t O’ r sono :
Pr = P cos’
Pt = - P sen’ ed essendo ’ ≅ ne segue : Pr = P cos Pt = P sen
Per l’equilibrio lungo la direzione radiale si ha : - T + Pr = 0 → T = Pr = P cos
lungo la direzione tangenziale agisce
soltanto la componente non equilibrata :
Pt = - P sen
Pertanto, per il secondo principio della
dinamica, si ha un’ accelerazione
tangenziale : a = - Pt / m = - mg sen / m
Da cui a = - g sen
C
C
l
l
m
T
m
x
O
s
O’
x
Pt
Pr
P ’
r
y
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Pendolo semplice
Ma nel triangolo O’OC si ha ( 1° teorema dei triangoli rettangoli): CO’sen= OO’ Da cui segue:
lsen= x → sen = x / l ed infine da a = - g sen si ha: a = - (g / l)x 1
Nell’ipotesi che sia piccolo (4 - 5°) la traiettoria lungo l’arco O"O’ di fatto è quasi coincidente
con il segmento OO’ ; il moto è da considerarsi in pratica rettilineo e la misura s dell’arco O"O’
coincidente con la misura x del segmento OO’.
Tenendo inoltre presente che g ed l sono costanti, l’accelerazione e lo spostamento x sono
direttamente proporzionali ed in opposizione di segno si è cioè, con le dovute approssimazioni,
in presenza di un moto armonico.
Essendo l’equazione caratteristica del
moto armonico :
a = - 2 x
dalla 1 segue 2 = g/l
C
C
l
l
Per cui la pulsazione è :
= √g/l
Il periodo delle oscillazioni è :
T = 2 / = 2 / √g/l = 2 √l /g
m
m
O
T
x
s
O"
O’
x
Pt
Pr
P ’
r
y
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