Liceo Scientifico “G. Galilei” Anno Scolastico 2014
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Liceo Scientifico “G. Galilei” Anno Scolastico 2014/2015 PROGRAMMA DI MATEMATICA Classe II C Libri di testo: M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Algebra.blu con Statistica, Vol.2, Zanichelli. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Geometria.blu, Zanichelli. ALGEBRA Ripasso di questioni fondamentali del programma di Algebra della Classe I - Concetti di identità ed equazione. Concetto di valore che soddisfa (verifica) una uguaglianza. Concetti di incognita (variabile), membri di un’equazione. Classificazione delle equazioni: equazioni numeriche e letterali, intere e fratte. Significato delle lettere (parametri) nelle equazioni letterali. Concetti di soluzione e risoluzione di un’equazione. Distinzione del concetto di soluzione a seconda del numero di variabili dell’equazione. Classificazione di un’equazione rispetto alle soluzioni: equazione determinata, indeterminata, impossibile. - Equazioni equivalenti. Principi di equivalenza. Principio di addizione e sottrazione. Regola del trasporto. Regola di cancellazione. Principio di moltiplicazione e di divisione. Regola del cambiamento di segno. Regola di eliminazione del minimo comun denominatore. Semplificazione di un’equazione mediante divisione con M.C.D. dei coefficienti numerici. - Equazioni in una variabile. Forma normale e riduzione in forma normale. Grado di un'equazione. - Equazioni in una variabile lineari. Forma normale. Risoluzione di equazioni in una variabile lineari intere numeriche. - Ripasso ed approfondimenti nella risoluzione e discussione di equazioni lineari intere letterali: discussione a seconda della presenza o meno della/delle lettera/e nel coefficiente della variabile e/o al denominatore di frazioni. - Ripasso ed approfondimenti nella risoluzione di equazioni lineari razionali fratte numeriche: condizioni di esistenza, verifica dell’accettabilità delle soluzioni. - Ripasso ed approfondimenti nella risoluzione di equazioni lineari razionali fratte letterali: condizioni di esistenza, discussione, verifica dell’accettabilità delle soluzioni (anche con lettera contenuta nella soluzione e/o nelle condizioni di esistenza). - Problemi di primo grado in una variabile. Disequazioni algebriche in una incognita. Disequazioni lineari - Disuguaglianze numeriche. Proprietà ed osservazioni relative. - Disequazioni algebriche in una incognita. Classificazione delle disequazioni algebriche: disequazioni algebriche numeriche e letterali, intere e fratte. Concetti di soluzione e risoluzione di una disequazione in una incognita. Disequazioni algebriche impossibili. Rappresentazione delle soluzioni in forma algebrica, grafica, insiemistica e con intervalli. - Disequazioni algebriche equivalenti. Principi di equivalenza. Principio di addizione e sottrazione. Regola del trasporto. Regola di cancellazione. Principio di moltiplicazione e di divisione. Regola del cambiamento di segno. Regola di eliminazione del minimo comun denominatore numerico. Semplificazione di un’equazione mediante divisione con M.C.D. dei coefficienti numerici. - Forma normale e grado di una disequazione algebrica intera. Forma normale di una disequazione algebrica fratta. - Disequazioni algebriche lineari in una incognita. Forma normale. Disequazioni algebriche lineari intere numeriche. Disequazioni algebriche lineari intere letterali: risoluzione e discussione in presenza di una o più lettere nel coefficiente della variabile e/o al denominatore di frazioni. Disequazioni algebriche razionali fratte numeriche: condizioni di esistenza, prodotto dei segni. Disequazioni algebriche razionali fratte - letterali: risoluzione e discussione. Disequazioni algebriche solubili per scomposizione. Disequazioni frazionarie con termini di grado superiore al secondo scomponibili: prodotto dei segni a tre o più fattori. Disequazioni algebriche aventi a primo membro una potenza, a seconda che l’esponente sia pari o dispari. Sistemi di disequazioni algebriche lineari intere e fratte, numeriche e letterali o per scomposizione. Problemi risolvibili mediante disequazioni algebriche. Sistemi lineari - Richiami su equazioni in due o più incognite. Grado e soluzione di un’equazione di due o più variabili. Equazioni determinate, indeterminate, impossibili. - Retta: richiami ed equazione. Interpretazione geometrica delle soluzioni (eventuali) di un’equazione lineare di due incognite numerica come coordinate dei punti appartenenti alla retta che essa rappresenta. Equazione di una retta generica in forma implicita ed esplicita. Coefficiente angolare e ordinata all’origine di una retta: significato geometrico e determinazione da entrambe le forme. Segno e variazione del coefficiente angolare di una retta obliqua. Condizioni di parallelismo (parallele distinte o coincidenti) e incidenza di due rette, da entrambe le forme (tre formulazioni equivalenti a partire dalla forma implicita) (dimostrazione). Condizione di perpendicolarità da entrambe le forme. Determinazione della posizione reciproca di due rette e delle coordinate dell’eventuale punto di intersezione. Equazioni di rette in posizione particolare: 1. Passanti per l’origine; 2. Parallele all’asse x (equazione dell’asse x); 3. Parallele all’asse y (equazione dell’asse y). Introduzione di 2. e 3. come luoghi geometrici e osservazioni sui relativi coefficienti angolari. Determinazione dell’equazione di una retta passante per due punti. - Sistemi di due o più equazioni in due o più incognite. Forma normale e riduzione di sistemi a forma normale. Sistemi interi e fratti, numerici e letterali. Grado di un sistema. Soluzione e risoluzione di un sistema. Sistemi determinati, indeterminati, impossibili. Interpretazione geometrica della soluzione di un sistema lineare di due equazioni e due incognite intero numerico determinato e di sistemi lineari di due equazioni e due incognite interi numerici indeterminati o impossibili. Metodo per stabilire se un sistema è determinato, indeterminato, impossibile a partire dalla forma normale (dimostrazione in base a condizioni di parallelismo e incidenza dimostrate per rette). - Sistemi equivalenti. Principi di equivalenza di sistemi. Principio di sostituzione. Metodo di sostituzione. Risoluzione di un sistema con il metodo di sostituzione. Metodo di confronto. Risoluzione di un sistema con il metodo di confronto. Principio di riduzione. Metodo di riduzione. Risoluzione di un sistema con il metodo di riduzione. Concetto di matrice. Matrici rettangolari e relative dimensioni, matrici quadrate e relativo ordine. Matrici associate ad un sistema: matrice dei coefficienti o incompleta, matrice dei termini noti, matrice completa. Determinante di matrici quadrate di ordine due o tre (regola di Sarrus). Metodo di Cramer per sistemi lineari di due equazioni e due incognite (dimostrazione). Metodo di Cramer per sistemi lineari di tre equazioni e tre incognite. - Sistemi lineari interi numerici di due (risp. tre, quattro) equazioni in due (risp. tre, quattro) incognite: risoluzione. Sistemi fratti numerici di due (risp. tre) equazioni in due (risp. tre) incognite: condizioni di esistenza, verifica dell’accettabilità delle soluzioni. Sistemi lineari interi letterali di due (risp. tre) equazioni in due (risp. tre) incognite: risoluzione e discussione a seconda che la/le lettera/e sia/siano o meno nel coefficiente di una variabile e/o al denominatore di frazioni. Sistemi fratti letterali di due (risp. tre) equazioni in due (risp. tre) incognite: condizioni di esistenza, discussione, verifica dell’accettabilità delle soluzioni. - Problemi risolvibili con sistemi di due (risp. tre) equazione e due (risp. tre) incognite. Radicali - Successivi ampliamenti di insiemi numerici al fine di ottenere insiemi chiusi rispetto a particolari operazioni: richiami. Rappresentazione dei numeri razionali sotto forma decimale e relative tipologie. Osservazione: l’insieme dei numeri razionali non è chiuso rispetto all’operazione di “estrazione” da radice quadrata (o ma). Teorema: Dati e , esiste ed è unico , tale che . Numero irrazionale: definizione. Insieme dei numeri reali. Cenno all’insieme dei numeri complessi. - Radicali aritmetici: definizione, terminologia. Condizioni di esistenza di radicali aritmetici. Osservazione: l’insieme dei radicali aritmetici è sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri irrazionali. - Richiami ed approfondimenti sul valore assoluto. Definizione e proprietà del valore assoluto di un numero reale o di un’espressione algebrica in (definizione per casi). Funzione valore assoluto e relativo grafico: esempi ed osservazioni relative. Funzioni definite per casi. Funzione valore assoluto composta con un’espressione algebrica in , relativo grafico a partire da quello di . Esempi relativi. - Radicali aritmetici. Proprietà elementari. Proprietà invariantiva. Radicali irriducibili. Semplificazione di radicali. Utilizzo del valore assoluto nella semplificazione di radicali sulla base delle condizioni di esistenza. Riduzione di più radicali allo stesso indice. Confronto di radicali. - - Operazioni con i radicali: moltiplicazione e divisione di radicali. Teorema del prodotto (dimostrazione). Teorema del quoziente (dimostrazione). Regole inverse. Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice: discussione sul segno del fattore. Trasporto di un fattore sotto il segno di radice: discussione del segno del fattore e utilizzo del valore assoluto. Potenza di radicali. Teorema relativo (dimostrazione). Radice di un radicale. Teorema relativo (dimostrazione). Radicali simili. Addizione e sottrazione di radicali simili. Razionalizzazione del denominatore di una frazione nei casi: 1. , 2. , 3. , 4. . Radicali quadratici doppi. Prodotti e prodotti notevoli con radicali. Espressioni con tutte le operazioni tra radicali aritmetici introdotte, anche con prodotti notevoli. Scomposizioni in fattori con i radicali. Semplificazione di frazioni algebriche contenenti radicali. Potenze con esponente razionale e relative proprietà. Espressioni con potenze con esponenti razionali positivi o negativi. Radicali in R: definizione e condizioni di esistenza. Proprietà ed eccezioni. Semplificazione, riduzione allo stesso indice, operazioni. Radicali algebrici: definizione. Regole di calcolo. Proprietà. Confronto tra le tre tipologie di radicali introdotti. Equazioni a coefficienti irrazionali, intere e frazionarie. Equazioni di secondo grado - Equazioni intere di 2° grado: forma normale e riduzione in forma normale. Primo, secondo e terzo coefficiente (termine noto). Equazioni di secondo grado complete ed incomplete. - Equazioni incomplete. Equazioni pure: forma normale e metodo di risoluzione. Equazioni spurie: forma normale e metodo di risoluzione con la legge di annullamento del prodotto. Equazioni monomie: forma normale e metodo di risoluzione. Equazioni riconducibili ad equazioni pure, spurie, monomie attraverso l’uso di un’incognita ausiliaria. - Equazioni complete. Discriminante di una equazione di 2° grado. Regola risolutiva delle equazioni di 2° grado complete (dimostrazione). Formula risolutiva (dimostrazione). Regola risolutiva e formula risolutiva ridotta di una equazione di 2° grado (dimostrazione). Equazioni di 2° grado intere numeriche: risoluzione. Equazioni di 2° grado numeriche fratte: condizioni di esistenza e verifica dell’accettabilità delle soluzioni. Equazioni di 2° grado intere letterali: risoluzione e discussione a seconda che la/le lettera/e sia/siano o meno nel coefficiente della variabile e/o al denominatore di frazioni. Equazioni di 2° grado letterali fratte: condizioni di esistenza, discussione, verifica dell’accettabilità delle soluzioni. - Problemi di 2° grado in una incognita. - Relazioni tra i coefficienti e le soluzioni (eventuali) di un’equazione di 2° grado intera (dimostrazione). Problemi relativi, in particolare: 1. Trovare soluzioni di un’equazione di secondo grado senza risolverla (o trovare una soluzione sapendo l’altra); 2. Determinazione dell’equazione di 2° grado avente come soluzione due numeri dati; 3. Trovare due numeri sapendo la loro somma ed il loro prodotto; 4. Regola di Cartesio; 5. Scomposizione di un trinomio di 2° grado (dimostrazione). Semplificazione di frazioni algebriche contenenti trinomi di 2° grado. - Equazioni parametriche. Equazioni parametriche di secondo grado intere. Determinazione del parametro sotto varie condizioni, in particolare: 1. L’equazione ha due soluzioni reali; 2. L’equazione ha due soluzioni reali distinte; 3. L’equazione ha due soluzioni reali coincidenti; 4. L’equazione è impossibile; 5. L’equazione ha una soluzione data; 6. Le soluzioni hanno somma data; 7. Le soluzioni hanno prodotto dato; 8. Le soluzioni sono opposte; 9. Le soluzioni sono reciproche; 10. La somma dei reciproci delle soluzioni è data; 11. La somma dei quadrati delle soluzioni è data. Ulteriori condizioni: soluzioni concordi, entrambe positive o negative, discordi. Disequazioni di secondo grado - Parabola. Richiami sulla parabola con vertice nell'origine. Asse di simmetria, concavità, apertura e sua variazione. Funzione quadratica nel caso generale e parabola (con asse parallelo all’asse ) in posizione generica rispetto agli assi: asse di simmetria, vertice, concavità e variazione apertura. Coordinate del vertice, equazione dell’asse di simmetria e concavità, coordinate del punto di intersezione con l’asse , rappresentazione grafica a partire dai coefficienti dell’equazione. Posizioni reciproche tra parabola e asse x (secante, tangente, esterno) o discussione dell'esistenza o meno di intersezioni con l'asse con relativa determinazione in caso affermativo a seconda della concavità e del segno dell’ordinata del vertice. Zeri della parabola (e, più in generale, di una funzione) e relativa determinazione. Parabola associata ad un’equazione di secondo grado. Interpretazione geometrica delle (eventuali) soluzioni di un’equazione di 2° grado intera numerica come ascisse dei punti di intersezione della parabola associata con l’asse (zeri della parabola). Posizione particolare della parabola a seconda che nell’equazione , siano e/o . Segno del trinomio a partire dal grafico della parabola associata. - Disequazioni algebriche di 2° grado in una incognita. Forma normale. Equazione e parabola associate. - - Relazione tra il segno del discriminante ed il segno dell’ordinata del vertice della parabola con conseguente posizione della parabola rispetto all’asse delle . Regola risolutiva delle disequazioni algebriche di 2° grado intere numeriche attraverso l’uso della parabola (dimostrazione). Risoluzione grafica di disequazioni algebriche di secondo grado intere. Risoluzione algebrica di disequazioni algebriche di 2°grado intere. Disequazioni numeriche fratte: condizioni di esistenza. Disequazioni algebriche di grado superiore al secondo solubili mediante scomposizione in fattori primi. Disequazioni binomie, biquadratiche, trinomie: relative regole/metodi risolutivi. Sistemi di disequazioni algebriche intere o fratte. Equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni irrazionali. Equazioni in valore assoluto - Equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni binomie, biquadratiche, trinomie: relativa forma normale e metodo di risoluzione. Equazioni solubili mediante scomposizione e legge di annullamento del prodotto. Relazioni fra equazioni pure, biquadratiche, binomie e trinomie. Equazioni reciproche di terzo o quarto grado: scomposizione mediante raccoglimento parziale o regola di Ruffini (dimostrazione). - Equazioni irrazionali. Definizione. Relazioni tra le soluzioni di un’equazione e le soluzioni dell’equazione da essa ottenuta elevando al quadrato o ad pari (risp. al cubo o ad dispari) ambedue i membri. Teoremi relativi (dimostrazione nei casi e ). Risoluzione di equazioni irrazionali con un radicale di indice pari sia con verifica finale dell’accettabilità delle soluzioni sia con condizioni di esistenza iniziali. Risoluzione di un’equazioni irrazionale con un radicale di indice dispari. Risoluzione di equazioni irrazionali contenenti più radicali quadratici o cubici o radicali con indice diverso. - Equazioni in valore assoluto. Definizione. Risoluzione di equazioni con un valore assoluto del tipo ( e espressioni algebriche in ) e del tipo con . Equazioni con due valori assoluti, intere o frazionarie. Sistemi di secondo grado e di grado superiore al secondo - Risoluzione di sistemi di 2° grado di due (risp. tre) equazioni e due (risp. tre) incognite, interi e fratti. Sistemi simmetrici e relativa risoluzione. - Risoluzione di sistemi di grado superiore al secondo di due equazioni e due incognite. - Interpretazione geometrica delle eventuali soluzioni di un sistema di secondo grado o di grado superiore al secondo di due equazioni e due incognite come coordinate degli eventuali punti di intersezione delle curve rappresentate dalle equazioni del sistema (cenni all’equazione di una circonferenza, con centro in un generico punto o nell’origine). GEOMETRIA Ripasso di questioni fondamentali del programma di Geometria della Classe I Fascio proprio ed improprio di rette. Punti e segmenti corrispondenti in un fascio di rette improprio tagliato da due trasversali: corrispondenza di Talete (ripasso del concetto di corrispondenza biunivoca). Teorema di Talete (per segmenti congruenti): Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale (dimostrazione). Corollario (Teorema della parallela al lato di un triangolo): La retta passante per il punto medio di un lato e parallela ad un secondo lato di un triangolo incontra il terzo lato nel suo punto medio (dimostrazione). Teorema inverso: La retta passante per i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo. Inoltre il segmento che ha per estremi tali punti medi è congruente alla metà del terzo lato (dimostrazione). Teorema: In un trapezio, il segmento congiungente i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle sue basi e congruente alla loro semisomma (dimostrazione). Luoghi geometrici - Luoghi geometrici. Asse di un segmento e proprietà caratteristica (dimostrazione). Bisettrice di un angolo e proprietà caratteristica (dimostrazione). Circonferenza e cerchio - La circonferenza ed il cerchio. Raggio, corda, diametro, punto interno e punto esterno. Teorema: Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza (dimostrazione). - Parti della circonferenza: arco, semicirconferenza (arco sotteso da una corda). Parti del cerchio: angolo al centro (angolo che insiste su un arco), settore circolare, semicerchio, segmento circolare ad una base, segmento circolare a due basi. Angoli al centro e figure ad essi corrispondenti (arco, settore circolare, - - - - - - - segmento circolare). Teorema: Data una circonferenza, se si verifica una delle seguenti congruenze: fra due angoli al centro o fra due archi o fra due settori circolari o fra due segmenti circolari allora sono congruenti anche le restanti figure corrispondenti a quelle considerate. Teoremi sulle corde. Teorema: In una circonferenza, ogni diametro è maggiore di qualunque altra corda non passante per il centro (dimostrazione). Teorema: Se in una circonferenza un diametro è perpendicolare a una corda, allora la corda, l’angolo al centro e l’arco corrispondenti risultano divisi a metà da tale diametro (dimostrazione). Teorema: Se in una circonferenza un diametro interseca una corda non passante per il centro nel suo punto medio, allora il diametro è perpendicolare alla corda (dimostrazione). Teorema: In una circonferenza, corde congruenti sono equidistanti dal centro (dimostrazione). Teorema (inverso): In una circonferenza, corde equidistanti dal centro sono congruenti (dimostrazione). Teorema: Se in una circonferenza due corde non sono congruenti, non sono equidistanti dal centro e la corda maggiore ha distanza minore (dimostrazione). Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza. Teorema: Una retta ed una circonferenza che si intersecano non possono avere più di due punti in comune (dimostrazione). Posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza: retta secante, tangente ed esterna ad una circonferenza. Teorema: Una retta è esterna (risp. tangente, secante) ad una circonferenza se e soltanto se la distanza del centro della circonferenza dalla retta è maggiore (risp. uguale, minore) del raggio (dimostrazione). Tangente ad una circonferenza in un suo punto. Tangenti ad una circonferenza condotte da un punto esterno. Teorema: Se una retta è tangente a una circonferenza di centro O in un suo punto H, allora è perpendicolare al raggio OH (dimostrazione). Teorema (inverso): Se una retta è perpendicolare al raggio di una circonferenza nel suo estremo H, allora è tangente in H alla circonferenza (dimostrazione). Teorema: Se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono le due rette ad essa tangenti, allora i segmenti di tangente, aventi ciascuno un estremo nel punto P e l’altro nel punto di tangenza, sono congruenti, la semiretta di origine P passante per il centro è bisettrice dell’angolo formato dalle tangenti, la semiretta di origine O e passante per P è bisettrice dell’angolo al centro i cui lati passano per i punti di tangenza e la retta OP è asse della corda avente per estremi i punti di tangenza (dimostrazione). Posizioni reciproche di due circonferenze. Circonferenze secanti, tangenti (internamente o esternamente), esterne, interne (circonferenze concentriche). Caratterizzazione della posizione reciproca di due circonferenze in base al confronto tra la distanza tra i rispettivi centri e la somma/differenza dei rispettivi raggi (dimostrazione). Asse dei centri e relative proprietà a seconda che le due circonferenze siano secanti o tangenti. Asse radicale. Angoli alla circonferenza. Teorema: Un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro (dimostrazione). Corollario 1: Nella stessa circonferenza, angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (o su archi congruenti) sono congruenti (dimostrazione). Corollario 2: Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza è retto (dimostrazione). Problemi relativi. Poligoni inscritti e circoscritti, inscrittibili e circoscrittibili ad una circonferenza. Teorema: Se gli assi dei lati di un poligono si incontrano in uno stesso punto allora il poligono è inscrittibile in una circonferenza (dimostrazione). Teorema (inverso): Gli assi dei lati di un poligono inscritto in una circonferenza si incontrano in uno stesso punto (dimostrazione). Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché un poligono sia inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei lati si incontrino in uno stesso punto. Teorema: Se le bisettrici degli angoli di un poligono si incontrano in uno stesso punto allora il poligono è circoscrittibile ad una circonferenza (dimostrazione). Teorema (inverso): Le bisettrici degli angoli di un poligono circoscritto ad una circonferenza si incontrano in uno stesso punto (dimostrazione). Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché un poligono sia circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici degli angoli si incontrino in uno stesso punto. Punti notevoli di un triangolo. Teorema: Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in un punto (dimostrazione). Circocentro. Corollario: Ogni triangolo è inscrittibile in una circonferenza avente per centro il circocentro del triangolo. Teorema: Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un punto (dimostrazione). Incentro. Corollario: Ogni triangolo è circoscrittibile a una circonferenza avente per centro l’incentro del triangolo. Teorema: Le bisettrici di due angoli esterni di un triangolo e la bisettrice dell’angolo interno non adiacente ad essi si intersecano in uno stesso punto. Excentro. Teorema: Le altezze di un triangolo (o i loro prolungamenti) si incontrano in un punto (dimostrazione). Ortocentro. Teorema: Le mediane di un triangolo si incontrano in un punto. Il punto di intersezione divide ogni mediana in due parti tali che quella avente per estremo un vertice è doppia dell’altra (dimostrazione). Baricentro. Teorema: Un triangolo rettangolo è inscrittibile in una semicirconferenza (dimostrazione). Problemi relativi. Quadrilateri inscritti e circoscritti. Quadrilateri inscritti. Teorema: In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono supplementari (dimostrazione). Teorema (inverso): Un quadrilatero avente una coppia di angoli opposti supplementari è inscrittibile in una circonferenza (dimostrazione). Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrittibile in una circonferenza è che abbia gli angoli opposti supplementari. Corollario: Ogni rettangolo, quadrato o trapezio isoscele è inscrittibile in una circonferenza (dimostrazione). Quadrilateri circoscritti. Teorema: In un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due (dimostrazione). Teorema (inverso): Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due, allora il quadrilatero è circoscrittibile a una circonferenza (dimostrazione). Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia circoscrittibile a una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia congruente alla somma degli altri due. Corollario: Un rombo è sempre circoscrittibile ad una circonferenza. Se il rombo è un quadrato i punti di tangenza coincidono con i punti medi dei lati. Poligoni regolari. Teorema: Un poligono regolare è inscrittibile in una circonferenza e circoscrittibile ad un’altra. Le due circonferenze hanno lo stesso centro (dimostrazione). Elementi notevoli nei poligoni regolari: centro, apotema, raggio. Teorema: Se una circonferenza è divisa in tre o più archi congruenti, allora: il poligono inscritto che si ottiene congiungendo i punti di suddivisione è regolare; il poligono circoscritto che si ottiene tracciando le tangenti alla circonferenza nei punti di suddivisione è regolare. Teorema: Una circonferenza è suddivisibile in n archi congruenti, dai: vertici dei poligoni regolari inscritti in essa; punti di tangenza dei poligoni regolari circoscritti. Teorema: Il lato dell’esagono regolare inscritto in una circonferenza è congruente al raggio della circonferenza (dimostrazione). Problemi relativi. Equivalenza di superfici piane - Concetti di superficie piana limitata e di estensione superficiale di una superficie piana. Superfici (figure) equivalenti. Figure prevalenti e suvvalenti. Postulato 1: Due superfici congruenti sono equivalenti. Postulato 2: L’equivalenza di superfici gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva (è relazione di equivalenza). Somma di superfici e relative proprietà. Differenza di superfici. Postulato 3: Superfici ottenute come somme di superfici rispettivamente congruenti o equivalenti sono equivalenti. Postulato 4 Superfici ottenute come differenze di superfici rispettivamente congruenti o equivalenti sono equivalenti. Postulato 5 (di De Zolt): Ogni superficie è prevalente a una sua parte. Figure equicomposte (equiscomponibili). Teorema: Poligoni equicomposti sono equivalenti. - Equivalenza di poligoni. Teorema: Due parallelogrammi aventi congruenti le basi e le relative altezze sono equivalenti (dimostrazione). Corollario: Un parallelogramma ed un rettangolo aventi congruenti le basi e le relative altezze sono equivalenti (dimostrazione). Teorema: Un triangolo è equivalente a un parallelogramma avente altezza congruente a quella del triangolo e base congruente alla metà della base del triangolo (dimostrazione). Corollario: Due triangoli aventi congruenti le basi e le relative altezze sono equivalenti (dimostrazione). Teorema: Un triangolo è equivalente a un parallelogramma avente base congruente a quella del triangolo e altezza congruente alla metà dell’altezza del triangolo. Teorema: Un parallelogramma con base ed altezza congruenti a quelle di un triangolo è equivalente al suo doppio (dimostrazione). Teorema: Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente altezza congruente a quella del trapezio e base congruente alla somma delle basi del trapezio (dimostrazione). Teorema: Un poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza (apotema del poligono) (dimostrazione). Corollario: Un poligono regolare è equivalente ad un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all’apotema (dimostrazione). Problemi relativi. - Teoremi di Pitagora ed Euclide. Primo Teorema di Euclide (dimostrazione). Teorema di Pitagora (dimostrazione). Teorema inverso: Un triangolo nel quale la somma dei quadrati costruiti su due lati è equivalente al quadrato costruito sul terzo lato è rettangolo. Secondo Teorema di Euclide (dimostrazione). Problemi relativi. Misura e grandezze proporzionali - Lunghezze, ampiezze (angolo orientato) e aree. Concetto di classe di grandezze. Grandezze omogenee. Insiemi delle lunghezze di segmenti, ampiezze di angoli orientati, aree di superfici piane come classi di grandezze. Grandezze multiple e sottomultiple. Postulati di Eudosso-Archimede. Grandezze commensurabili e incommensurabili. Teorema: La diagonale ed il lato di un quadrato sono incommensurabili (dimostrazione). - Misura di una grandezza rispetto ad un’altra fra loro commensurabili. Generalizzazione al caso di grandezze incommensurabili. Unità di misura. Proprietà della misura. Postulato di continuità. Classi contigue. Cenni all'assioma di continuità nell'insieme dei numeri reali quale unico assioma che distingue tale insieme (definito assiomaticamente) dall'insieme dei numeri razionali. - Rapporto di due grandezze omogenee. Teorema fondamentale sui rapporti (dimostrazione). - Proporzioni tra grandezze. Terminologia relativa. Teorema fondamentale sulle proporzioni tra grandezze. Proprietà delle proporzioni tra grandezze. Teorema (esistenza ed unicità della quarta proporzionale): Date due grandezze omogenee e , e una terza grandezza ( non nulle), esiste ed è unica una quarta grandezza , omogenea a , che con le prime tre forma la proporzione . - Corrispondenza biunivoca tra classi di grandezze (funzione biettiva). Classi di grandezze direttamente proporzionali. Criterio di proporzionalità diretta. Teorema: I rettangoli di uguale altezza sono proporzionali alle rispettive basi (dimostrazione). Teorema: I rettangoli di uguale base sono proporzionali alle rispettive altezze (dimostrazione). Teorema: In una circonferenza, gli angoli al centro sono direttamente proporzionali ai corrispondenti archi (dimostrazione). Osservazione: In una circonferenza, angoli al centro e corde - - - corrispondenti sono direttamente proporzionali, mentre gli angoli alla circonferenza e i corrispondenti angoli al centro o le corde e i corrispondenti archi non sono direttamente proporzionali. Classi di grandezze inversamente proporzionali. Teorema di Talete: Un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali individua su di esse due insiemi di segmenti direttamente proporzionali (dimostrazione). Teorema inverso. La retta parallela al lato di un triangolo. Teorema: Una retta parallela al lato di un triangolo divide gli altri due, o i loro prolungamenti, in segmenti proporzionali (dimostrazione). Teorema (inverso): Una retta che determina su due lati del triangolo, o sui loro prolungamenti, segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato. La bisettrice di un angolo interno di un triangolo. Teorema: In un triangolo, la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti direttamente proporzionali agli altri due lati (dimostrazione). Teorema (inverso): Se in un triangolo un punto di un lato lo divide in parti direttamente proporzionali agli altri due lati, allora la congiungente questo punto con il vertice dell’angolo opposto è bisettrice di tale angolo. Aree dei poligoni. Area di un rettangolo (dimostrazione). Area di un parallelogramma (dimostrazione). Area di un quadrato (dimostrazione). Area di un triangolo qualsiasi e di un triangolo rettangolo (dimostrazione). Area di un trapezio (dimostrazione). Area di un quadrilatero con le diagonali perpendicolari (in particolare di un rombo) (dimostrazione). Area di un poligono circoscritto ad una circonferenza (dimostrazione). Area di un poligono regolare (dimostrazione). Relazioni tra le misure degli elementi di un triangolo rettangolo. Espressione metrica dei teoremi di Pitagora e di Euclide. Formule derivate (dirette ed inverse). Relazioni metriche tra lato (di misura ) e altezza (di misura ) di un triangolo equilatero (tra ipotenusa e cateto adiacente all’angolo di 30° di un triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60°): , (dimostrazione). Relazioni metriche tra lato (di misura ) e diagonale (di misura ) di un quadrato (tra ipotenusa e cateto di un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 45°): , (dimostrazione). Trasformazioni geometriche - Concetto di trasformazione geometrica. Punto unito. Composizione di trasformazioni. Isometrie e relative proprietà invarianti. Traslazione, rotazione, simmetria centrale, simmetria assiale: relative proprietà, punti e figure unite, composizioni. Omotetia e relative proprietà. Similitudine - Similitudine. Figure simili. Angoli (interni), vertici e lati omologhi (corrispondenti) in figure simili. Proprietà della similitudine: 1. Figure congruenti sono simili: 2. La similitudine è una relazione di equivalenza. - Similitudine fra triangoli. Criteri di similitudine dei triangoli. Primo criterio di similitudine (dimostrazione). Corollario 1: Due triangoli equilateri sono simili (dimostrazione). Corollario 2: Due triangoli rettangoli aventi un angolo acuto congruente sono simili (dimostrazione). Corollario 3: Due triangoli isosceli aventi l’angolo al vertice, ovvero un angolo alla base congruenti sono simili (dimostrazione). Secondo criterio di similitudine (dimostrazione). Corollario: Due triangoli rettangoli aventi i due cateti in proporzione sono simili (dimostrazione). Terzo criterio di similitudine (dimostrazione). - Applicazione dei criteri di similitudine. Teorema: In due triangoli simili le basi stanno tra loro come le rispettive altezze (dimostrazione). Teorema: In due triangoli simili le altezze relative a due lati omologhi sono proporzionali ad una qualsiasi coppia di lati omologhi (dimostrazione). Teorema: In due triangoli simili le mediane relative a due lati omologhi sono proporzionali ad una qualsiasi coppia di lati omologhi (dimostrazione). Teorema: In due triangoli simili le bisettrici di due angoli omologhi sono proporzionali ad una qualsiasi coppia di lati omologhi (dimostrazione). Primo teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la propria proiezione sull’ipotenusa (dimostrazione). Secondo teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa (dimostrazione). - La similitudine nella circonferenza. Teorema delle corde: Se in una circonferenza due corde si intersecano, i segmenti che si formano sulla prima corda e quelli che si formano sulla seconda sono, rispettivamente, i medi e gli estremi di una stessa proporzione (dimostrazione). Teorema delle secanti: Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti e si considerano i segmenti che hanno un estremo in e l’altro in ciascuno dei punti di intersezione, i segmenti sulla prima secante sono gli estremi e i segmenti sulla seconda i medi di una stessa proporzione (dimostrazione). Teorema della secante e della tangente: Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una secante ed una tangente, il segmento di tangente che ha per estremi ed il punto di contatto è medio proporzionale fra i segmenti di secante che hanno per estremi e ciascuno dei punti di intersezione (dimostrazione). Sezione aurea di un segmento. Teorema: Il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta al decagono. - Poligoni simili. Condizione sufficiente per la similitudine di due poligoni con lo stesso numero di lati. Corollario: Due poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono simili (dimostrazione). Teorema: I - - perimetri di due poligoni simili stanno fra loro come due lati omologhi (dimostrazione). Teorema: I perimetri di due poligoni regolari con lo stesso numero di lati stanno tra loro come i rispettivi apotemi e come i raggi delle rispettive circonferenze circoscritte (dimostrazione). Teorema: Le aree di due triangoli simili stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi (dimostrazione). Estensione del teorema al caso di due poligoni simili qualsiasi. Circonferenza rettificata. Lunghezza di una circonferenza. Teorema: Le misure delle lunghezze di due circonferenze sono proporzionali alle misure dei rispettivi raggi (dimostrazione). Teorema (misura della lunghezza di una circonferenza): Osservazione: Il rapporto fra la misura della lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro è costante e precisamente uguale a . La misura della lunghezza di una circonferenza è uguale al prodotto della misura del diametro per . Area del cerchio. Teorema: Un cerchio è equivalente a un triangolo che ha base congruente alla circonferenza rettificata ed altezza congruente al raggio (dimostrazione). Teorema (misura dell’area di un cerchio): La misura dell’area di un cerchio è uguale al prodotto di per il quadrato della misura del raggio. Cenni al concetto di radiante. Misura della lunghezza di un arco di circonferenza (dimostrazione). Misura dell’area di un settore circolare (dimostrazione). Teorema: La misura della lunghezza del raggio del cerchio inscritto in un triangolo è uguale al rapporto tra la misura dell’area e la misura del semiperimetro del triangolo (dimostrazione). Teorema: La misura della lunghezza del raggio del cerchio circoscritto ad un triangolo è uguale al rapporto tra il prodotto delle misure delle lunghezze dei lati ed il quadruplo della misura dell’area del triangolo (dimostrazione). Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo sapendo le misure delle lunghezze dei suoi lati (dimostrazione). I lati di poligoni regolari. Altezza, lato e area di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Lato, diagonale e area di un quadrato inscritto in una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Lato di un esagono regolare inscritto in una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Altezza, lato e area di un triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Lato, diagonale e area di un quadrato circoscritto ad una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Lato di un esagono regolare circoscritto ad una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Problemi relativi. Siena, 6 giugno 2015 Liceo Scientifico “G. Galilei” Anno Scolastico 2014/2015 PROGRAMMA DI MATEMATICA Classe II D Libri di testo: M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Algebra.blu con Statistica, Vol.2, Zanichelli. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Geometria.blu, Zanichelli. ALGEBRA Ripasso di questioni fondamentali del programma di Algebra della Classe I - Concetti di identità ed equazione. Concetto di valore che soddisfa (verifica) una uguaglianza. Concetti di incognita (variabile), membri di un’equazione. Classificazione delle equazioni: equazioni numeriche e letterali, intere e fratte. Significato delle lettere (parametri) nelle equazioni letterali. Concetti di soluzione e risoluzione di un’equazione. Distinzione del concetto di soluzione a seconda del numero di variabili dell’equazione. Classificazione di un’equazione rispetto alle soluzioni: equazione determinata, indeterminata, impossibile. - Equazioni equivalenti. Principi di equivalenza. Principio di addizione e sottrazione. Regola del trasporto. Regola di cancellazione. Principio di moltiplicazione e di divisione. Regola del cambiamento di segno. Regola di eliminazione del minimo comun denominatore. Semplificazione di un’equazione mediante divisione con M.C.D. dei coefficienti numerici. - Equazioni in una variabile. Forma normale e riduzione in forma normale. Grado di un'equazione. - Equazioni in una variabile lineari. Forma normale. Risoluzione di equazioni in una variabile lineari intere numeriche. - Ripasso ed approfondimenti nella risoluzione e discussione di equazioni lineari intere letterali: discussione a seconda della presenza o meno della/delle lettera/e nel coefficiente della variabile e/o al denominatore di frazioni. - Ripasso ed approfondimenti nella risoluzione di equazioni lineari razionali fratte numeriche: condizioni di esistenza, verifica dell’accettabilità delle soluzioni. - Ripasso ed approfondimenti nella risoluzione di equazioni lineari razionali fratte letterali: condizioni di esistenza, discussione, verifica dell’accettabilità delle soluzioni (anche con lettera contenuta nella soluzione e/o nelle condizioni di esistenza). - Problemi di primo grado in una variabile. Disequazioni algebriche in una incognita. Disequazioni lineari - Disuguaglianze numeriche. Proprietà ed osservazioni relative. - Disequazioni algebriche in una incognita. Classificazione delle disequazioni algebriche: disequazioni algebriche numeriche e letterali, intere e fratte. Concetti di soluzione e risoluzione di una disequazione in una incognita. Disequazioni algebriche impossibili. Rappresentazione delle soluzioni in forma algebrica, grafica, insiemistica e con intervalli. - Disequazioni algebriche equivalenti. Principi di equivalenza. Principio di addizione e sottrazione. Regola del trasporto. Regola di cancellazione. Principio di moltiplicazione e di divisione. Regola del cambiamento di segno. Regola di eliminazione del minimo comun denominatore numerico. Semplificazione di un’equazione mediante divisione con M.C.D. dei coefficienti numerici. - Forma normale e grado di una disequazione algebrica intera. Forma normale di una disequazione algebrica fratta. - Disequazioni algebriche lineari in una incognita. Forma normale. Disequazioni algebriche lineari intere numeriche. Disequazioni algebriche lineari intere letterali: risoluzione e discussione in presenza di una o più lettere nel coefficiente della variabile e/o al denominatore di frazioni. Disequazioni algebriche razionali fratte numeriche: condizioni di esistenza, prodotto dei segni. Disequazioni algebriche razionali fratte - letterali: risoluzione e discussione. Disequazioni algebriche solubili per scomposizione. Disequazioni frazionarie con termini di grado superiore al secondo scomponibili: prodotto dei segni a tre o più fattori. Disequazioni algebriche aventi a primo membro una potenza, a seconda che l’esponente sia pari o dispari. Sistemi di disequazioni algebriche lineari intere e fratte, numeriche e letterali o per scomposizione. Problemi risolvibili mediante disequazioni algebriche. Sistemi lineari - Richiami su equazioni in due o più incognite. Grado e soluzione di un’equazione di due o più variabili. Equazioni determinate, indeterminate, impossibili. - Retta: richiami ed equazione. Interpretazione geometrica delle soluzioni (eventuali) di un’equazione lineare di due incognite numerica come coordinate dei punti appartenenti alla retta che essa rappresenta. Equazione di una retta generica in forma implicita ed esplicita. Coefficiente angolare e ordinata all’origine di una retta: significato geometrico e determinazione da entrambe le forme. Segno e variazione del coefficiente angolare di una retta obliqua. Condizioni di parallelismo (parallele distinte o coincidenti) e incidenza di due rette, da entrambe le forme (tre formulazioni equivalenti a partire dalla forma implicita) (dimostrazione). Condizione di perpendicolarità da entrambe le forme. Determinazione della posizione reciproca di due rette e delle coordinate dell’eventuale punto di intersezione. Equazioni di rette in posizione particolare: 1. Passanti per l’origine; 2. Parallele all’asse x (equazione dell’asse x); 3. Parallele all’asse y (equazione dell’asse y). Introduzione di 2. e 3. come luoghi geometrici e osservazioni sui relativi coefficienti angolari. Determinazione dell’equazione di una retta passante per due punti. - Sistemi di due o più equazioni in due o più incognite. Forma normale e riduzione di sistemi a forma normale. Sistemi interi e fratti, numerici e letterali. Grado di un sistema. Soluzione e risoluzione di un sistema. Sistemi determinati, indeterminati, impossibili. Interpretazione geometrica della soluzione di un sistema lineare di due equazioni e due incognite intero numerico determinato e di sistemi lineari di due equazioni e due incognite interi numerici indeterminati o impossibili. Metodo per stabilire se un sistema è determinato, indeterminato, impossibile a partire dalla forma normale (dimostrazione in base a condizioni di parallelismo e incidenza dimostrate per rette). - Sistemi equivalenti. Principi di equivalenza di sistemi. Principio di sostituzione. Metodo di sostituzione. Risoluzione di un sistema con il metodo di sostituzione. Metodo di confronto. Risoluzione di un sistema con il metodo di confronto. Principio di riduzione. Metodo di riduzione. Risoluzione di un sistema con il metodo di riduzione. Concetto di matrice. Matrici rettangolari e relative dimensioni, matrici quadrate e relativo ordine. Matrici associate ad un sistema: matrice dei coefficienti o incompleta, matrice dei termini noti, matrice completa. Determinante di matrici quadrate di ordine due o tre (regola di Sarrus). Metodo di Cramer per sistemi lineari di due equazioni e due incognite (dimostrazione). Metodo di Cramer per sistemi lineari di tre equazioni e tre incognite. - Sistemi lineari interi numerici di due (risp. tre, quattro) equazioni in due (risp. tre, quattro) incognite: risoluzione. Sistemi fratti numerici di due (risp. tre) equazioni in due (risp. tre) incognite: condizioni di esistenza, verifica dell’accettabilità delle soluzioni. Sistemi lineari interi letterali di due (risp. tre) equazioni in due (risp. tre) incognite: risoluzione e discussione a seconda che la/le lettera/e sia/siano o meno nel coefficiente di una variabile e/o al denominatore di frazioni. Sistemi fratti letterali di due (risp. tre) equazioni in due (risp. tre) incognite: condizioni di esistenza, discussione, verifica dell’accettabilità delle soluzioni. - Problemi risolvibili con sistemi di due (risp. tre) equazione e due (risp. tre) incognite. Radicali - Successivi ampliamenti di insiemi numerici al fine di ottenere insiemi chiusi rispetto a particolari operazioni: richiami. Rappresentazione dei numeri razionali sotto forma decimale e relative tipologie. Osservazione: l’insieme dei numeri razionali non è chiuso rispetto all’operazione di “estrazione” da radice quadrata (o ma). Teorema: Dati e , esiste ed è unico , tale che . Numero irrazionale: definizione. Insieme dei numeri reali. Cenno all’insieme dei numeri complessi. - Radicali aritmetici: definizione, terminologia. Condizioni di esistenza di radicali aritmetici. Osservazione: l’insieme dei radicali aritmetici è sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri irrazionali. - Richiami ed approfondimenti sul valore assoluto. Definizione e proprietà del valore assoluto di un numero reale o di un’espressione algebrica in (definizione per casi). Funzione valore assoluto e relativo grafico: esempi ed osservazioni relative. Funzioni definite per casi. Funzione valore assoluto composta con un’espressione algebrica in , relativo grafico a partire da quello di . Esempi relativi. - Radicali aritmetici. Proprietà elementari. Proprietà invariantiva. Radicali irriducibili. Semplificazione di radicali. Utilizzo del valore assoluto nella semplificazione di radicali sulla base delle condizioni di esistenza. Riduzione di più radicali allo stesso indice. Confronto di radicali. - - Operazioni con i radicali: moltiplicazione e divisione di radicali. Teorema del prodotto (dimostrazione). Teorema del quoziente (dimostrazione). Regole inverse. Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice: discussione sul segno del fattore. Trasporto di un fattore sotto il segno di radice: discussione del segno del fattore e utilizzo del valore assoluto. Potenza di radicali. Teorema relativo (dimostrazione). Radice di un radicale. Teorema relativo (dimostrazione). Radicali simili. Addizione e sottrazione di radicali simili. Razionalizzazione del denominatore di una frazione nei casi: 1. , 2. , 3. , 4. . Radicali quadratici doppi. Prodotti e prodotti notevoli con radicali. Espressioni con tutte le operazioni tra radicali aritmetici introdotte, anche con prodotti notevoli. Scomposizioni in fattori con i radicali. Semplificazione di frazioni algebriche contenenti radicali. Potenze con esponente razionale e relative proprietà. Espressioni con potenze con esponenti razionali positivi o negativi. Radicali in R: definizione e condizioni di esistenza. Proprietà ed eccezioni. Semplificazione, riduzione allo stesso indice, operazioni. Radicali algebrici: definizione. Regole di calcolo. Proprietà. Confronto tra le tre tipologie di radicali introdotti. Equazioni a coefficienti irrazionali, intere e frazionarie. Equazioni di secondo grado - Equazioni intere di 2° grado: forma normale e riduzione in forma normale. Primo, secondo e terzo coefficiente (termine noto). Equazioni di secondo grado complete ed incomplete. - Equazioni incomplete. Equazioni pure: forma normale e metodo di risoluzione. Equazioni spurie: forma normale e metodo di risoluzione con la legge di annullamento del prodotto. Equazioni monomie: forma normale e metodo di risoluzione. Equazioni riconducibili ad equazioni pure, spurie, monomie attraverso l’uso di un’incognita ausiliaria. - Equazioni complete. Discriminante di una equazione di 2° grado. Regola risolutiva delle equazioni di 2° grado complete (dimostrazione). Formula risolutiva (dimostrazione). Regola risolutiva e formula risolutiva ridotta di una equazione di 2° grado (dimostrazione). Equazioni di 2° grado intere numeriche: risoluzione. Equazioni di 2° grado numeriche fratte: condizioni di esistenza e verifica dell’accettabilità delle soluzioni. Equazioni di 2° grado intere letterali: risoluzione e discussione a seconda che la/le lettera/e sia/siano o meno nel coefficiente della variabile e/o al denominatore di frazioni. Equazioni di 2° grado letterali fratte: condizioni di esistenza, discussione, verifica dell’accettabilità delle soluzioni. - Problemi di 2° grado in una incognita. - Relazioni tra i coefficienti e le soluzioni (eventuali) di un’equazione di 2° grado intera (dimostrazione). Problemi relativi, in particolare: 1. Trovare soluzioni di un’equazione di secondo grado senza risolverla (o trovare una soluzione sapendo l’altra); 2. Determinazione dell’equazione di 2° grado avente come soluzione due numeri dati; 3. Trovare due numeri sapendo la loro somma ed il loro prodotto; 4. Regola di Cartesio; 5. Scomposizione di un trinomio di 2° grado (dimostrazione). Semplificazione di frazioni algebriche contenenti trinomi di 2° grado. - Equazioni parametriche. Equazioni parametriche di secondo grado intere. Determinazione del parametro sotto varie condizioni, in particolare: 1. L’equazione ha due soluzioni reali; 2. L’equazione ha due soluzioni reali distinte; 3. L’equazione ha due soluzioni reali coincidenti; 4. L’equazione è impossibile; 5. L’equazione ha una soluzione data; 6. Le soluzioni hanno somma data; 7. Le soluzioni hanno prodotto dato; 8. Le soluzioni sono opposte; 9. Le soluzioni sono reciproche; 10. La somma dei reciproci delle soluzioni è data; 11. La somma dei quadrati delle soluzioni è data. Ulteriori condizioni: soluzioni concordi, entrambe positive o negative, discordi. Disequazioni di secondo grado - Parabola. Richiami sulla parabola con vertice nell'origine. Asse di simmetria, concavità, apertura e sua variazione. Funzione quadratica nel caso generale e parabola (con asse parallelo all’asse ) in posizione generica rispetto agli assi: asse di simmetria, vertice, concavità e variazione apertura. Coordinate del vertice, equazione dell’asse di simmetria e concavità, coordinate del punto di intersezione con l’asse , rappresentazione grafica a partire dai coefficienti dell’equazione. Posizioni reciproche tra parabola e asse x (secante, tangente, esterno) o discussione dell'esistenza o meno di intersezioni con l'asse con relativa determinazione in caso affermativo a seconda della concavità e del segno dell’ordinata del vertice. Zeri della parabola (e, più in generale, di una funzione) e relativa determinazione. Parabola associata ad un’equazione di secondo grado. Interpretazione geometrica delle (eventuali) soluzioni di un’equazione di 2° grado intera numerica come ascisse dei punti di intersezione della parabola associata con l’asse (zeri della parabola). Posizione particolare della parabola a seconda che nell’equazione , siano e/o . Segno del trinomio a partire dal grafico della parabola associata. - Disequazioni algebriche di 2° grado in una incognita. Forma normale. Equazione e parabola associate. - - Relazione tra il segno del discriminante ed il segno dell’ordinata del vertice della parabola con conseguente posizione della parabola rispetto all’asse delle x. Regola risolutiva delle disequazioni algebriche di 2° grado intere numeriche attraverso l’uso della parabola (dimostrazione). Risoluzione grafica di disequazioni algebriche di secondo grado intere. Risoluzione algebrica di disequazioni algebriche di 2°grado intere. Disequazioni numeriche fratte: condizioni di esistenza. Disequazioni algebriche di grado superiore al secondo solubili mediante scomposizione in fattori primi. Disequazioni binomie, biquadratiche, trinomie: relative regole/metodi risolutivi. Sistemi di disequazioni algebriche intere o fratte. Equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni irrazionali. Equazioni in valore assoluto - Equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni binomie, biquadratiche, trinomie: relativa forma normale e metodo di risoluzione. Equazioni solubili mediante scomposizione e legge di annullamento del prodotto. Relazioni fra equazioni pure, biquadratiche, binomie e trinomie. Cenni ad equazioni reciproche di terzo o quarto grado: scomposizione mediante raccoglimento parziale. - Equazioni irrazionali. Definizione. Relazioni tra le soluzioni di un’equazione e le soluzioni dell’equazione da essa ottenuta elevando al quadrato o ad pari (risp. al cubo o ad dispari) ambedue i membri. Teoremi relativi (dimostrazione nei casi e ). Risoluzione di equazioni irrazionali con un radicale di indice pari sia con verifica finale dell’accettabilità delle soluzioni sia con condizioni di esistenza iniziali. Risoluzione di un’equazioni irrazionale con un radicale di indice dispari. Risoluzione di equazioni irrazionali contenenti più radicali quadratici o cubici o radicali con indice diverso. - Equazioni in valore assoluto. Definizione. Risoluzione di equazioni con un valore assoluto del tipo ( e espressioni algebriche in ) e del tipo con . Equazioni con due valori assoluti, intere o frazionarie. Sistemi di secondo grado e di grado superiore al secondo - Risoluzione di sistemi di 2° grado di due (risp. tre) equazioni e due (risp. tre) incognite, interi e fratti. Sistemi simmetrici e relativa risoluzione. - Risoluzione di sistemi di grado superiore al secondo di due equazioni e due incognite. - Interpretazione geometrica delle eventuali soluzioni di un sistema di secondo grado o di grado superiore al secondo di due equazioni e due incognite come coordinate degli eventuali punti di intersezione delle curve rappresentate dalle equazioni del sistema (cenni all’equazione di una circonferenza o di una parabola con asse parallelo all’asse ). GEOMETRIA Ripasso di questioni fondamentali del programma di Geometria della Classe I Fascio proprio ed improprio di rette. Punti e segmenti corrispondenti in un fascio di rette improprio tagliato da due trasversali: corrispondenza di Talete (ripasso del concetto di corrispondenza biunivoca). Teorema di Talete (per segmenti congruenti): Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale (dimostrazione). Corollario (Teorema della parallela al lato di un triangolo): La retta passante per il punto medio di un lato e parallela ad un secondo lato di un triangolo incontra il terzo lato nel suo punto medio (dimostrazione). Teorema inverso: La retta passante per i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo. Inoltre il segmento che ha per estremi tali punti medi è congruente alla metà del terzo lato (dimostrazione). Teorema: In un trapezio, il segmento congiungente i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle sue basi e congruente alla loro semisomma (dimostrazione). Luoghi geometrici - Luoghi geometrici. Asse di un segmento e proprietà caratteristica (dimostrazione). Bisettrice di un angolo e proprietà caratteristica (dimostrazione). Circonferenza e cerchio - La circonferenza ed il cerchio. Raggio, corda, diametro, punto interno e punto esterno. Teorema: Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza (dimostrazione). - Parti della circonferenza: arco, semicirconferenza (arco sotteso da una corda). Parti del cerchio: angolo al centro (angolo che insiste su un arco), settore circolare, semicerchio, segmento circolare ad una base, segmento circolare a due basi. Angoli al centro e figure ad essi corrispondenti (arco, settore circolare, - - - - - - - segmento circolare). Teorema: Data una circonferenza, se si verifica una delle seguenti congruenze: fra due angoli al centro o fra due archi o fra due settori circolari o fra due segmenti circolari allora sono congruenti anche le restanti figure corrispondenti a quelle considerate. Teoremi sulle corde. Teorema: In una circonferenza, ogni diametro è maggiore di qualunque altra corda non passante per il centro (dimostrazione). Teorema: Se in una circonferenza un diametro è perpendicolare a una corda, allora la corda, l’angolo al centro e l’arco corrispondenti risultano divisi a metà da tale diametro (dimostrazione). Teorema: Se in una circonferenza un diametro interseca una corda non passante per il centro nel suo punto medio, allora il diametro è perpendicolare alla corda (dimostrazione). Teorema: In una circonferenza, corde congruenti sono equidistanti dal centro (dimostrazione). Teorema (inverso): In una circonferenza, corde equidistanti dal centro sono congruenti (dimostrazione). Teorema: Se in una circonferenza due corde non sono congruenti, non sono equidistanti dal centro e la corda maggiore ha distanza minore (dimostrazione). Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza. Teorema: Una retta ed una circonferenza che si intersecano non possono avere più di due punti in comune (dimostrazione). Posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza: retta secante, tangente ed esterna ad una circonferenza. Teorema: Una retta è esterna (risp. tangente, secante) ad una circonferenza se e soltanto se la distanza del centro della circonferenza dalla retta è maggiore (risp. uguale, minore) del raggio (dimostrazione). Tangente ad una circonferenza in un suo punto. Tangenti ad una circonferenza condotte da un punto esterno. Teorema: Se una retta è tangente a una circonferenza di centro O in un suo punto H, allora è perpendicolare al raggio OH (dimostrazione). Teorema (inverso): Se una retta è perpendicolare al raggio di una circonferenza nel suo estremo H, allora è tangente in H alla circonferenza (dimostrazione). Teorema: Se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono le due rette ad essa tangenti, allora i segmenti di tangente, aventi ciascuno un estremo nel punto P e l’altro nel punto di tangenza, sono congruenti, la semiretta di origine P passante per il centro è bisettrice dell’angolo formato dalle tangenti, la semiretta di origine O e passante per P è bisettrice dell’angolo al centro i cui lati passano per i punti di tangenza e la retta OP è asse della corda avente per estremi i punti di tangenza (dimostrazione). Posizioni reciproche di due circonferenze. Circonferenze secanti, tangenti (internamente o esternamente), esterne, interne (circonferenze concentriche). Caratterizzazione della posizione reciproca di due circonferenze in base al confronto tra la distanza tra i rispettivi centri e la somma/differenza dei rispettivi raggi (dimostrazione). Asse dei centri e relative proprietà a seconda che le due circonferenze siano secanti o tangenti. Asse radicale. Angoli alla circonferenza. Teorema: Un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro (dimostrazione). Corollario 1: Nella stessa circonferenza, angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (o su archi congruenti) sono congruenti (dimostrazione). Corollario 2: Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza è retto (dimostrazione). Problemi relativi. Poligoni inscritti e circoscritti, inscrittibili e circoscrittibili ad una circonferenza. Teorema: Se gli assi dei lati di un poligono si incontrano in uno stesso punto allora il poligono è inscrittibile in una circonferenza (dimostrazione). Teorema (inverso): Gli assi dei lati di un poligono inscritto in una circonferenza si incontrano in uno stesso punto (dimostrazione). Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché un poligono sia inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei lati si incontrino in uno stesso punto. Teorema: Se le bisettrici degli angoli di un poligono si incontrano in uno stesso punto allora il poligono è circoscrittibile ad una circonferenza (dimostrazione). Teorema (inverso): Le bisettrici degli angoli di un poligono circoscritto ad una circonferenza si incontrano in uno stesso punto (dimostrazione). Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché un poligono sia circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici degli angoli si incontrino in uno stesso punto. Punti notevoli di un triangolo. Teorema: Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in un punto (dimostrazione). Circocentro. Corollario: Ogni triangolo è inscrittibile in una circonferenza avente per centro il circocentro del triangolo. Teorema: Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un punto (dimostrazione). Incentro. Corollario: Ogni triangolo è circoscrittibile a una circonferenza avente per centro l’incentro del triangolo. Teorema: Le bisettrici di due angoli esterni di un triangolo e la bisettrice dell’angolo interno non adiacente ad essi si intersecano in uno stesso punto. Excentro. Teorema: Le altezze di un triangolo (o i loro prolungamenti) si incontrano in un punto (dimostrazione). Ortocentro. Teorema: Le mediane di un triangolo si incontrano in un punto. Il punto di intersezione divide ogni mediana in due parti tali che quella avente per estremo un vertice è doppia dell’altra (dimostrazione). Baricentro. Teorema: Un triangolo rettangolo è inscrittibile in una semicirconferenza (dimostrazione). Problemi relativi. Quadrilateri inscritti e circoscritti. Quadrilateri inscritti. Teorema: In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono supplementari (dimostrazione). Teorema (inverso): Un quadrilatero avente una coppia di angoli opposti supplementari è inscrittibile in una circonferenza (dimostrazione). Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrittibile in una circonferenza è che abbia gli angoli opposti supplementari. Corollario: Ogni rettangolo, quadrato o trapezio isoscele è inscrittibile in una circonferenza (dimostrazione). Quadrilateri circoscritti. Teorema: In un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due (dimostrazione). Teorema (inverso): Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due, allora il quadrilatero è circoscrittibile a una circonferenza (dimostrazione). Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia circoscrittibile a una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia congruente alla somma degli altri due. Corollario: Un rombo è sempre circoscrittibile ad una circonferenza. Se il rombo è un quadrato i punti di tangenza coincidono con i punti medi dei lati. Poligoni regolari. Teorema: Un poligono regolare è inscrittibile in una circonferenza e circoscrittibile ad un’altra. Le due circonferenze hanno lo stesso centro (dimostrazione). Elementi notevoli nei poligoni regolari: centro, apotema, raggio. Teorema: Se una circonferenza è divisa in tre o più archi congruenti, allora: il poligono inscritto che si ottiene congiungendo i punti di suddivisione è regolare; il poligono circoscritto che si ottiene tracciando le tangenti alla circonferenza nei punti di suddivisione è regolare. Teorema: Una circonferenza è suddivisibile in n archi congruenti, dai: vertici dei poligoni regolari inscritti in essa; punti di tangenza dei poligoni regolari circoscritti. Teorema: Il lato dell’esagono regolare inscritto in una circonferenza è congruente al raggio della circonferenza (dimostrazione). Problemi relativi. Equivalenza di superfici piane - Concetti di superficie piana limitata e di estensione superficiale di una superficie piana. Superfici (figure) equivalenti. Figure prevalenti e suvvalenti. Postulato 1: Due superfici congruenti sono equivalenti. Postulato 2: L’equivalenza di superfici gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva (è relazione di equivalenza). Somma di superfici e relative proprietà. Differenza di superfici. Postulato 3: Superfici ottenute come somme di superfici rispettivamente congruenti o equivalenti sono equivalenti. Postulato 4 Superfici ottenute come differenze di superfici rispettivamente congruenti o equivalenti sono equivalenti. Postulato 5 (di De Zolt): Ogni superficie è prevalente a una sua parte. Figure equicomposte (equiscomponibili). Teorema: Poligoni equicomposti sono equivalenti. - Equivalenza di poligoni. Teorema: Due parallelogrammi aventi congruenti le basi e le relative altezze sono equivalenti (dimostrazione). Corollario: Un parallelogramma ed un rettangolo aventi congruenti le basi e le relative altezze sono equivalenti (dimostrazione). Teorema: Un triangolo è equivalente a un parallelogramma avente altezza congruente a quella del triangolo e base congruente alla metà della base del triangolo (dimostrazione). Corollario: Due triangoli aventi congruenti le basi e le relative altezze sono equivalenti (dimostrazione). Teorema: Un triangolo è equivalente a un parallelogramma avente base congruente a quella del triangolo e altezza congruente alla metà dell’altezza del triangolo. Teorema: Un parallelogramma con base ed altezza congruenti a quelle di un triangolo è equivalente al suo doppio (dimostrazione). Teorema: Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente altezza congruente a quella del trapezio e base congruente alla somma delle basi del trapezio (dimostrazione). Teorema: Un poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza (apotema del poligono) (dimostrazione). Corollario: Un poligono regolare è equivalente ad un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all’apotema (dimostrazione). Problemi relativi. - Teoremi di Pitagora ed Euclide. Primo Teorema di Euclide (dimostrazione). Teorema di Pitagora (dimostrazione). Teorema inverso: Un triangolo nel quale la somma dei quadrati costruiti su due lati è equivalente al quadrato costruito sul terzo lato è rettangolo. Secondo Teorema di Euclide (dimostrazione). Problemi relativi. Misura e grandezze proporzionali - Lunghezze, ampiezze (angolo orientato) e aree. Concetto di classe di grandezze. Grandezze omogenee. Insiemi delle lunghezze di segmenti, ampiezze di angoli orientati, aree di superfici piane come classi di grandezze. Grandezze multiple e sottomultiple. Postulati di Eudosso-Archimede. Grandezze commensurabili e incommensurabili. Teorema: La diagonale ed il lato di un quadrato sono incommensurabili (dimostrazione). - Misura di una grandezza rispetto ad un’altra fra loro commensurabili. Generalizzazione al caso di grandezze incommensurabili. Unità di misura. Proprietà della misura. Postulato di continuità. Classi contigue. Cenni all'assioma di continuità nell'insieme dei numeri reali quale unico assioma che distingue tale insieme (definito assiomaticamente) dall'insieme dei numeri razionali. - Rapporto di due grandezze omogenee. Teorema fondamentale sui rapporti (dimostrazione). - Proporzioni tra grandezze. Terminologia relativa. Teorema fondamentale sulle proporzioni tra grandezze. Proprietà delle proporzioni tra grandezze. Teorema (esistenza ed unicità della quarta proporzionale): Date due grandezze omogenee e , e una terza grandezza ( non nulle), esiste ed è unica una quarta grandezza , omogenea a , che con le prime tre forma la proporzione . - Corrispondenza biunivoca tra classi di grandezze (funzione biettiva). Classi di grandezze direttamente proporzionali. Criterio di proporzionalità diretta. Teorema: I rettangoli di uguale altezza sono proporzionali alle rispettive basi (dimostrazione). Teorema: I rettangoli di uguale base sono proporzionali alle rispettive altezze (dimostrazione). Teorema: In una circonferenza, gli angoli al centro sono direttamente proporzionali ai corrispondenti archi (dimostrazione). Osservazione: In una circonferenza, angoli al centro e corde - - - corrispondenti sono direttamente proporzionali, mentre gli angoli alla circonferenza e i corrispondenti angoli al centro o le corde e i corrispondenti archi non sono direttamente proporzionali. Classi di grandezze inversamente proporzionali. Teorema di Talete: Un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali individua su di esse due insiemi di segmenti direttamente proporzionali (dimostrazione). Teorema inverso. La retta parallela al lato di un triangolo. Teorema: Una retta parallela al lato di un triangolo divide gli altri due, o i loro prolungamenti, in segmenti proporzionali (dimostrazione). Teorema (inverso): Una retta che determina su due lati del triangolo, o sui loro prolungamenti, segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato. La bisettrice di un angolo interno di un triangolo. Teorema: In un triangolo, la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti direttamente proporzionali agli altri due lati (dimostrazione). Teorema (inverso): Se in un triangolo un punto di un lato lo divide in parti direttamente proporzionali agli altri due lati, allora la congiungente questo punto con il vertice dell’angolo opposto è bisettrice di tale angolo. Aree dei poligoni. Area di un rettangolo (dimostrazione). Area di un parallelogramma (dimostrazione). Area di un quadrato (dimostrazione). Area di un triangolo qualsiasi e di un triangolo rettangolo (dimostrazione). Area di un trapezio (dimostrazione). Area di un quadrilatero con le diagonali perpendicolari (in particolare di un rombo) (dimostrazione). Area di un poligono circoscritto ad una circonferenza (dimostrazione). Area di un poligono regolare (dimostrazione). Relazioni tra le misure degli elementi di un triangolo rettangolo. Espressione metrica dei teoremi di Pitagora e di Euclide. Formule derivate (dirette ed inverse). Relazioni metriche tra lato (di misura ) e altezza (di misura ) di un triangolo equilatero (tra ipotenusa e cateto adiacente all’angolo di 30° di un triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60°): , (dimostrazione). Relazioni metriche tra lato (di misura ) e diagonale (di misura ) di un quadrato (tra ipotenusa e cateto di un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 45°): , (dimostrazione). Trasformazioni geometriche - Concetto di trasformazione geometrica. Punto unito. Composizione di trasformazioni. Isometrie e relative proprietà invarianti. Traslazione, rotazione, simmetria centrale, simmetria assiale: relative proprietà, punti e figure unite, composizioni. Omotetia e relative proprietà. Similitudine - Similitudine. Figure simili. Angoli (interni), vertici e lati omologhi (corrispondenti) in figure simili. Proprietà della similitudine: 1. Figure congruenti sono simili: 2. La similitudine è una relazione di equivalenza. - Similitudine fra triangoli. Criteri di similitudine dei triangoli. Primo criterio di similitudine (dimostrazione). Corollario 1: Due triangoli equilateri sono simili (dimostrazione). Corollario 2: Due triangoli rettangoli aventi un angolo acuto congruente sono simili (dimostrazione). Corollario 3: Due triangoli isosceli aventi l’angolo al vertice, ovvero un angolo alla base congruenti sono simili (dimostrazione). Secondo criterio di similitudine (dimostrazione). Corollario: Due triangoli rettangoli aventi i due cateti in proporzione sono simili (dimostrazione). Terzo criterio di similitudine (dimostrazione). - Applicazione dei criteri di similitudine. Teorema: In due triangoli simili le basi stanno tra loro come le rispettive altezze (dimostrazione). Teorema: In due triangoli simili le altezze relative a due lati omologhi sono proporzionali ad una qualsiasi coppia di lati omologhi (dimostrazione). Teorema: In due triangoli simili le mediane relative a due lati omologhi sono proporzionali ad una qualsiasi coppia di lati omologhi (dimostrazione). Teorema: In due triangoli simili le bisettrici di due angoli omologhi sono proporzionali ad una qualsiasi coppia di lati omologhi (dimostrazione). Primo teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la propria proiezione sull’ipotenusa (dimostrazione). Secondo teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa (dimostrazione). - La similitudine nella circonferenza. Teorema delle corde: Se in una circonferenza due corde si intersecano, i segmenti che si formano sulla prima corda e quelli che si formano sulla seconda sono, rispettivamente, i medi e gli estremi di una stessa proporzione (dimostrazione). Teorema delle secanti: Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti e si considerano i segmenti che hanno un estremo in e l’altro in ciascuno dei punti di intersezione, i segmenti sulla prima secante sono gli estremi e i segmenti sulla seconda i medi di una stessa proporzione (dimostrazione). Teorema della secante e della tangente: Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una secante ed una tangente, il segmento di tangente che ha per estremi ed il punto di contatto è medio proporzionale fra i segmenti di secante che hanno per estremi e ciascuno dei punti di intersezione (dimostrazione). Sezione aurea di un segmento. Teorema: Il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta al decagono. - Poligoni simili. Condizione sufficiente per la similitudine di due poligoni con lo stesso numero di lati. Corollario: Due poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono simili (dimostrazione). Teorema: I - - perimetri di due poligoni simili stanno fra loro come due lati omologhi (dimostrazione). Teorema: I perimetri di due poligoni regolari con lo stesso numero di lati stanno tra loro come i rispettivi apotemi e come i raggi delle rispettive circonferenze circoscritte (dimostrazione). Teorema: Le aree di due triangoli simili stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi (dimostrazione). Estensione del teorema al caso di due poligoni simili qualsiasi. Circonferenza rettificata. Lunghezza di una circonferenza. Teorema: Le misure delle lunghezze di due circonferenze sono proporzionali alle misure dei rispettivi raggi (dimostrazione). Teorema (misura della lunghezza di una circonferenza): Osservazione: Il rapporto fra la misura della lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro è costante e precisamente uguale a . La misura della lunghezza di una circonferenza è uguale al prodotto della misura del diametro per . Area del cerchio. Teorema: Un cerchio è equivalente a un triangolo che ha base congruente alla circonferenza rettificata ed altezza congruente al raggio (dimostrazione). Teorema (misura dell’area di un cerchio): La misura dell’area di un cerchio è uguale al prodotto di per il quadrato della misura del raggio. Cenni al concetto di radiante. Misura della lunghezza di un arco di circonferenza (dimostrazione). Misura dell’area di un settore circolare (dimostrazione). Teorema: La misura della lunghezza del raggio del cerchio inscritto in un triangolo è uguale al rapporto tra la misura dell’area e la misura del semiperimetro del triangolo (dimostrazione). Teorema: La misura della lunghezza del raggio del cerchio circoscritto ad un triangolo è uguale al rapporto tra il prodotto delle misure delle lunghezze dei lati ed il quadruplo della misura dell’area del triangolo (dimostrazione). Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo sapendo le misure delle lunghezze dei suoi lati (dimostrazione). I lati di poligoni regolari. Altezza, lato e area di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Lato, diagonale e area di un quadrato inscritto in una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Lato di un esagono regolare inscritto in una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Altezza, lato e area di un triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Lato, diagonale e area di un quadrato circoscritto ad una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Lato di un esagono regolare circoscritto ad una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Problemi relativi. Siena, 6 giugno 2015 Liceo Scientifico “G. Galilei” Anno Scolastico 2014/2015 PROGRAMMA DI MATEMATICA Classe IV D Libro di testo: M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Matematica blu, Vol. 4, Zanichelli. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Manuale blu 2.0 di Matematica, Vol.4, Zanichelli. GONIOMETRIA – TRIGONOMETRIA: Ripasso ed approfondimenti - - Formule goniometriche. Espressioni razionali della formula di bisezione della tangente (dimostrazione). Formule parametriche (dimostrazione). Trigonometria: teorema della corda, teoremi sui triangoli rettangoli e qualsiasi e relative applicazioni. Problemi di trigonometria. Equazioni goniometriche elementari. Equazioni monomie di prima specie (con tutte e quattro le funzioni goniometriche) o ad esse riconducibili mediante l’uso di una incognita ausiliaria per l’argomento. Equazioni di secondo grado in una determinata funzione goniometrica. Equazioni monomie di seconda specie (con tutte e quattro le funzioni goniometriche). Equazioni lineari in seno e coseno, omogenee e non omogenee. Equazioni di secondo grado in seno e coseno, omogenee e non omogenee. Sistemi di equazioni goniometriche. Disequazioni goniometriche elementari (con tutte e quattro le funzioni goniometriche): metodo della circonferenza goniometrica o del grafico della funzione goniometrica. Disequazioni di secondo grado in una determinata funzione goniometrica. Disequazioni goniometriche risolubili per scomposizione. Disequazioni goniometriche frazionarie. Sistemi di disequazioni goniometriche. GEOMETRIA DELLO SPAZIO - - - Postulati nello spazio. Posizione reciproca di due rette nello spazio. Posizione reciproca di due piani nello spazio. Posizione reciproca di una retta e di un piano nello spazio. Teorema: Se per un punto P di una retta s si mandano due rette a e b perpendicolari a s, allora s è perpendicolare a ogni altra retta r passante per P e giacente sul piano delle rette a e b (dimostrazione). Teorema: Le perpendicolari ad una retta s condotte per un suo punto P giacciono tutte sullo stresso piano (dimostrazione). Rette perpendicolari ad un piano. Teorema: Due rette perpendicolari a uno stesso piano sono parallele tra loro. Teorema: Dati un piano ed un punto, esiste ed è unica la retta passante per il punto e perpendicolare al piano. Teorema: Se due piani sono perpendicolari a una stessa retta in punti distinti, allora sono paralleli. Teorema: Le intersezioni tra un piano e due piani paralleli sono due rette parallele. Teorema delle tre perpendicolari (dimostrazione). Proiezione ortogonale di un punto (segmento, retta) su un piano. Teorema: Sia dato un piano ed un punto non appartenente ad esso: a) il segmento di perpendicolare condotto da al piano è minore di ogni segmento obliquo; b) due segmenti obliqui che hanno proiezioni congruenti sono congruenti e viceversa; c) due segmenti obliqui che hanno proiezioni disuguali sono disuguali ed è maggiore quello la cui proiezione è maggiore e viceversa. Distanza di un punto da un piano. Distanza fra retta e piano paralleli. Distanza di due rette sghembe. Distanza fra due piani paralleli. Teorema di Talete nello spazio (dimostrazione). Diedri. Sezione di un diedro. Teorema: Sezioni parallele di uno stesso diedro sono congruenti (dimostrazione). Sezione normale di un diedro. Ampiezza di un diedro. Diedro retto, acuto, ottuso. Piani perpendicolari. Angolo tra una retta ed un piano. Poliedri. Terminologia. Prisma. Terminologia. Prisma indefinito. Prisma definito. Teorema: Le intersezioni tra due piani paralleli ed un prisma indefinito sono due poligoni congruenti (dimostrazione). Prismi particolari: prisma retto, prisma regolare, parallelepipedo. Teorema: Le facce opposte di un parallelepipedo, ossia quelle che non hanno vertici in comune, sono congruenti e parallele (dimostrazione). Teorema: Le diagonali di un parallelepipedo si incontrano in uno stesso punto che le divide in due segmenti congruenti (dimostrazione). Parallelepipedo rettangolo. Misura della diagonale di un parallelepipedo rettangolo a partire dalle misure delle dimensioni dei suoi spigoli (dimostrazione). Cubo. Misura della diagonale di un cubo a - - - - - partire dalla misura del suo spigolo (dimostrazione). Angoloide e triedro. Terminologia. Teorema: In ogni angoloide di vertice , la somma degli angoli in delle facce è minore di un angolo giro (dimostrazione). Teorema: In ogni angoloide l’angolo di una faccia è minore della somma degli angoli delle rimanenti. Teorema: In ogni triedro l’angolo di una faccia è maggiore della differenza degli angoli delle altre due. Piramide. Terminologia. Piramidi particolari. Piramide retta. Teorema: In una piramide retta le altezze delle facce laterali passano per i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenza inscritta e sono tra loro congruenti (dimostrazione). Piramide regolare. Tronco di piramide. Teorema: Se si taglia una piramide di vertice con un piano parallelo alla base si ha: 1. La sezione e la base sono poligoni simili; 2. I lati ed i perimetri di tali poligoni sono proporzionali alle distanze del loro piano dal vertice ; 3. Le misure delle superfici sono proporzionali ai quadrati delle misure di queste distanze (dimostrazione). Tronco di piramide retto o regolare. Poliedri regolari. Dimostrazione dell’esistenza di solo cinque poliedri regolari. Solidi di rotazione. Cilindro. Cono. Terminologie relative. Teorema: In un cono le misure delle aree del cerchio di base e del cerchio ottenuto da una sezione parallela al piano di base stanno fra loro come i quadrati delle misure delle loro distanze dal vertice (dimostrazione). Sfera. Aree di solidi notevoli. Superficie di un poliedro. Prisma retto. Teorema: La misura dell’area della superficie laterale di un prisma retto è uguale al prodotto della misura del perimetro di base per la misura dell’altezza del prisma (dimostrazione). Misura dell’area della superficie di base e totale di un prisma retto. Parallelepipedo rettangolo: misura dell’area della superficie laterale, di base e totale. Cubo: misura dell’area della superficie di base e totale. Piramide retta. Teorema: La misura dell’area della superficie laterale di una piramide retta è uguale al prodotto della misura del semiperimetro di base per la misura dell’apotema della piramide (dimostrazione). Misura dell’area della superficie di base e totale di una piramide retta. Tronco di piramide retta. Teorema: La misura dell’area della superficie laterale del tronco di piramide retta è uguale al prodotto della somma delle misure dei semiperimetri delle due basi per la misura dell’apotema (dimostrazione). Misura dell’area della superficie di base e totale di un tronco di piramide retta. Cilindro. Superficie laterale di un cilindro. Teorema: La misura dell’area della superficie laterale di un cilindro è uguale al prodotto delle misure delle lunghezze della circonferenza di base e dell’altezza del cilindro (dimostrazione). Misura dell’area della superficie di base e totale di un cilindro. Cono. Superficie laterale di un cono. Teorema: La misura dell’area della superficie laterale di un cono è uguale al prodotto delle misure delle lunghezze della semicirconferenza di base e dell’apotema del cono (dimostrazione). Misura dell’area della superficie di base e totale di un cono. Tronco di cono. Superficie laterale di un tronco di cono. Teorema: La misura dell’area della superficie laterale di un tronco di cono è uguale al prodotto delle misure della somma delle lunghezze delle semicirconferenze di base e dell’apotema (dimostrazione). Misura dell’area della superficie di base e totale di un tronco di cono. Misura dell’area della superficie sferica. Misura dell’area delle parti della superficie sferica: calotta, zona sferica, fuso sferico (relative dimostrazioni). Estensione dei solidi. Volume di un solido. Equivalenza dei solidi. Postulati sull’equivalenza dei solidi. Solidi equicomposti. Teorema: Due solidi equicomposti sono equivalenti (dimostrazione). Principio di Cavalieri. Equivalenza dei solidi. Teorema: Se due prismi hanno basi equivalenti e altezze congruenti, allora sono equivalenti (dimostrazione). Teorema: Se due piramidi hanno basi equivalenti e altezze congruenti, allora sono equivalenti (dimostrazione). Teorema: Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma che abbia la stessa base e la stessa altezza (dimostrazione). Teorema: Un prisma ed un cilindro che hanno basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti (dimostrazione). Teorema: Una piramide ed un cono che hanno basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti (dimostrazione). Anticlessidra. Teorema: La sfera è equivalente alla sua anticlessidra (dimostrazione). Volumi di solidi notevoli. Parallelepipedo rettangolo. Teorema: I volumi dei parallelepipedi rettangoli che hanno basi congruenti sono proporzionali alle rispettive altezze. Teorema: La misura del volume del parallelepipedo rettangolo è uguale al prodotto delle misure delle sue dimensioni (dimostrazione). Cubo. Teorema: La misura del volume di un cubo è uguale alla misura del suo spigolo elevato alla terza potenza. Prisma, piramide, tronco di piramide. Teorema: La misura del volume di un prisma è uguale al prodotto della misura dell’area di base per la misura dell’altezza (dimostrazione). Teorema: La misura del volume di una piramide è uguale alla terza parte del prodotto della misura dell’area di base per la misura dell’altezza (dimostrazione). Teorema: La misura del volume di un tronco di piramide è uguale alla terza parte del prodotto della misura dell’altezza per la somma delle misure delle aree delle due basi e della radice quadrata del loro prodotto (dimostrazione). Volumi dei solidi di rotazione. Teorema: La misura del volume di un cilindro è uguale al prodotto della misura dell’area del cerchio di base per la misura dell’altezza (dimostrazione). Teorema: La misura del volume di un cono è uguale alla terza parte del prodotto della misura dell’area del cerchio di base per la misura dell’altezza (dimostrazione). Teorema: La misura del volume di un tronco di cono è uguale alla terza parte del prodotto di π per la misura dell’altezza del tronco e per la somma avente per addendi i quadrati delle misure dei raggi dei cerchi di base e il prodotto delle misure degli stessi (dimostrazione). Teorema: La misura del volume della sfera è uguale al prodotto di 4/3 π per la misura del raggio della sfera elevato al cubo (dimostrazione). Area della superficie sferica. Teorema: La misura dell’area della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo cerchio massimo (dimostrazione). Volume delle parti di una sfera: segmento sferico (a una base o a due basi), spicchio sferico, anello sferico (dimostrazioni). CALCOLO COMBINATORIO - Raggruppamenti. Proprietà fondamentale del contare. Disposizioni semplici. Numero delle disposizioni semplici (dimostrazione). Disposizioni con ripetizione. Numero delle disposizioni con ripetizione (dimostrazione). Permutazioni semplici. Numero delle permutazioni semplici (dimostrazione). Permutazioni con ripetizione. Numero delle permutazioni con ripetizione. La funzione fattoriale e relative proprietà. Espressione del numero delle disposizioni semplici attraverso la funzione fattoriale. Combinazioni semplici. Numero delle combinazioni semplici (dimostrazione). Combinazioni con ripetizione. Numero delle combinazioni con ripetizione. Coefficienti binomiali e relative proprietà (dimostrazione). Potenze di un binomio: binomio di Newton. Triangolo di Tartaglia (dimostrazione). CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - Eventi. Eventi certi ed impossibili. Evento aleatorio. Esperimento aleatorio. Evento elementare o campione. Universo degli eventi e spazio campionario. Concezione classica della probabilità. Probabilità classica. Probabilità dell’evento contrario. Concezione statistica della probabilità. Frequenza relativa. Legge empirica del caso. Probabilità statistica. Concezione soggettiva della probabilità. Probabilità soggettiva. Impostazione assiomatica della probabilità. Spazio dei campioni. Evento. Spazio degli eventi. Evento contrario, evento unione (somma logica), evento intersezione (prodotto logico). Definizione assiomatica di probabilità. Probabilità della somma logica di eventi (compatibili ed incompatibili). Teorema della somma logica di due eventi. Teorema della probabilità totale. Probabilità condizionata. Eventi stocasticamente indipendenti e dipendenti (correlati positivamente o negativamente). Teorema sulla probabilità condizionata. Probabilità del prodotto logico di eventi. Teorema della probabilità composta. Problema delle prove ripetute. Teorema-Schema delle prove ripetute (o di Bernoulli). Teorema di Bayes: evento che deve accadere (disintegrazione), evento accaduto. COMPLEMENTI DI ALGEBRA - - Potenze con esponente reale. Successioni approssimanti per difetto e per eccesso l'esponente reale e relative reciproche proprietà. Successioni approssimanti per difetto e per eccesso la potenza ed esponente reale e relative proprietà. Definizione di potenza ad esponente reale, sia con base , sia con base . Proprietà delle potenze con esponente reale. Teorema relativo alla crescenza/decrescenza di potenze ad esponente reale a seconda della base. Funzione esponenziale. Relativo grafico. Proprietà della funzione esponenziale, anche deducibili dal grafico. Relazione tra i grafici di funzioni esponenziali aventi base reciproca. Funzione elevata a funzione: condizioni di esistenza. Equazioni esponenziali. Disequazioni esponenziali. Sistemi di equazioni e sistemi di disequazioni esponenziali. Logaritmi. Relative proprietà (dimostrazione). Formula del cambiamento di base (dimostrazione). Funzione logaritmica. Relativo grafico. Proprietà della funzione logaritmica, anche deducibili dal grafico. Relazione tra i grafici di funzioni logaritmiche aventi base reciproca. Reciproca inversità di funzioni logaritmiche e funzioni esponenziali aventi una stessa base. Relazione tra i grafici di funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche aventi una stessa base. Equazioni logaritmiche. Disequazioni logaritmiche. Sistemi di equazioni e sistemi di disequazioni logaritmiche. Applicazione dei logaritmi nella risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali. ANALISI MATEMATICA - - Funzioni, funzioni numeriche, funzioni reali di una variabile reale: richiami ed approfondimenti. Dominio, campo di esistenza, codominio, immagine, grafico e rappresentazione cartesiana del grafico di funzioni numeriche o reali di una variabile reale (insiemi discreti e continui). Classificazione delle funzioni reali di una variabile reale. Relative condizioni di esistenza. Proprietà delle funzioni: funzioni iniettive, suriettive, biettive, crescenti, decrescenti, monotone, periodiche, pari e dispari. Cenni a funzioni composte ed inverse. Determinazione del campo di esistenza, delle eventuali simmetrie, delle eventuali intersezioni con gli assi cartesiani, del segno di una funzione reale di una variabile reale. Relativa rappresentazione nel piano cartesiano. Osservazioni 1. Ha senso ricercare eventuali simmetrie di una funzione solo se il relativo campo di esistenza è un insieme simmetrico rispetto all’origine degli assi; 2. Il punto di intersezione di una funzione con l’asse , se esiste, è unico; 3. Ha sempre senso ricercare eventuali punti di intersezione di una funzione - - - - - - - con l’asse . Ha senso ricercare il punto di intersezione con l’asse y solo se appartiene al campo di esistenza; 4. Le ascisse di punti di intersezione con gli assi o valori per cui la funzione è positiva o negativa devono essere accettabili in base alle condizioni di esistenza (ossia devono appartenere al campo di esistenza). Grafico probabile di una funzione. Topologia della retta. Intervalli in R. Intervalli limitati ed illimitati, aperti, chiusi, semiaperti o semichiusi. Intorno completo di un punto. Intorno circolare di centro un punto e relativa caratterizzazione attraverso il valore assoluto. Intorno destro e sinistro di un punto. Intorno di più infinito, meno infinito, infinito. Massimo e minimo di un insieme numerico. Maggiorante (limitazione superiore) e minorante (limitazione inferiore) di un insieme numerico: osservazioni relative. Insieme numerico limitato superiormente o inferiormente, insieme limitato. Estremo superiore ed inferiore di un insieme numerico e relativa caratterizzazione simbolica. Esistenza ed unicità del massimo/minimo di un insieme numerico. Esistenza ed unicità dell’estremo superiore/estremo inferiore di un insieme numerico. Punti di accumulazione. Punti isolati. Successioni a valori reali. Studio dell’esistenza di eventuali massimo/minimo, estremo superiore/estremo inferiore. Successioni limitate superiormente/inferiormente o limitate. Limiti. Limite finito in un punto: idea intuitiva, esempio con calcolo numerico del limite, definizione e relativa rappresentazione grafica. Limite destro e sinistro in un punto: idea intuitiva, esempio con calcolo numerico del limite, definizione e relativa rappresentazione grafica. Limite per difetto e per eccesso. Osservazione: Il limite di una funzione in un punto esiste finito e vale l, l R se e soltanto se esistono finiti i limiti destro e sinistro della funzione in quel punto e coincidono entrambi con l. Relativa rappresentazione grafica. Esempi di non esistenza del limite generale. Verifiche di limite relative. Limite (più/meno) infinito in un punto: idea intuitiva, esempio con calcolo numerico del limite, definizione e relativa rappresentazione grafica. Osservazione: 1. Il limite di una funzione in un punto esiste ed è più (risp. meno) infinito se e soltanto se esistono e sono più (risp. meno) infinito i limiti destro e sinistro della funzione in quel punto. 2. Il limite di una funzione in un punto esiste ed è infinito se e soltanto se esistono i limiti destro e sinistro della funzione in quel punto e sono infinito di segno opposto. Rappresentazione grafica relativa. Esempi relativi. Asintoto verticale. Verifiche di limite relative. Limite finito per x tendente a (più/meno) infinito: idea intuitiva, esempio con calcolo numerico del limite, definizione e relativa rappresentazione grafica. Osservazione: Il limite di una funzione per tendente all’infinito esiste finito e vale l, l R se e soltanto se esistono finiti i limiti della funzione per tendente a più infinito e meno infinito e coincidono entrambi con l. Rappresentazione grafica relativa. Esempi relativi. Asintoto orizzontale. Verifiche di limite relative. Limite (più/meno) infinito per tendente a (più/meno) infinito: idea intuitiva, definizione e relativa rappresentazione grafica. Esempi relativi. Verifiche di limite relative. Deduzione di campo di esistenza, eventuali simmetrie, eventuali intersezioni con gli assi, segno, limiti di una funzione dalla rappresentazione cartesiana del grafico della funzione. Funzione continua in un punto. Funzione continua a destra (risp. a sinistra) in un punto. Relativo significato geometrico. Funzione continua in un intervallo, anche limitato e chiuso. Relativo significato geometrico. Osservazione: Tutte le funzioni elementari sono continue nel relativo campo di esistenza. Dimostrazione analitica e rappresentazione grafica nel caso di funzioni costanti e lineari. Deduzione della continuità nel relativo campo di esistenza dalla rappresentazione grafica per le funzioni potenza, valore assoluto, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Punti di discontinuità di prima, seconda, terza specie. Relativa rappresentazione grafica ed esempi. Definizione delle funzioni somma, differenza prodotto, quoziente di due funzioni reali di una variabile reale. Teoremi sulle funzioni continue per il calcolo di limiti finiti. Teorema: Le funzioni somma, differenza, prodotto, quoziente (purché il denominatore non si annulli) di funzioni continue in un punto o in un intervallo sono continue in quel punto o in quell’intervallo. Teorema Date due funzioni reali di una variabile reale, e , se è continua in un punto e è continua in , allora la funzione composta è continua in . Applicazioni relative nel calcolo di limiti finiti. Teoremi sul calcolo di limiti finiti (operazioni con i limiti). Date due funzioni reali di una variabile reale e con punto di accumulazione per il dominio di entrambe, se e , con , allora: 1. ; 2. ; 3. , se ; 4. , se appartiene al dominio di . Applicazioni relative nel calcolo di limiti finiti. Teoremi sul calcolo di limiti con l’infinito per tendente ad un punto: aritmetizzazione del simbolo infinito (scritture simboliche per i corrispondenti teoremi). Forme indeterminate. Estensione dei suddetti teoremi al calcolo di limiti destri/sinistri in un punto, limiti per tendente a più infinito, meno infinito, infinito. Applicazioni relative nel calcolo di limiti con l’infinito. Limiti delle funzioni elementari agli estremi del relativo dominio non inclusi in esso. Siena, 6 giugno 2015
