Elenco delle principali dimostrazioni svolte

CORSO DI ANALISI MATEMATICA II A.A. 2014/2015
ELENCO DELLE PRINCIPALI DIMOSTRAZIONI SVOLTE
CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA DELL’ EDILIZIA,
INGEGNERIA EDILE-ARCHITETTURA
PROF. D. BARTOLUCCI
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Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz;
Teorema di Heine-Borel;
Formula del gradiente per la derivata direzionale;
Formula del polinomio di Taylor al 2o ordine con il resto di Lagrange;
Estremi per funzioni di più variabili: condizioni necessarie del 1o e 2o ordine;
Estremi per funzioni di più variabili: condizioni sufficienti del 2o ordine;
Teorema della funzione implicita per le funzioni di due variabili. Formula della derivata seconda;
Formula dei moltiplicatori di Lagrange per le funzioni di due variabili: dimostrazione basata sul
Teorema della funzione implicita;
Elementi della costruzione dell’ integrale di Riemann per le funzioni di due variabili;
Cenni della dimostrazione della formula del cambiamento di variabili per gli integrali doppi;
Indipendenza della lunghezza di una curva dalla parametrizzazione;
Formula della curvatura di una curva piana in coordinate cartesiane;
Dipendenza dell’ integrale curvilineo di una forma differenziale dal verso della parametrizzazione;
Caratterizzazione delle forme differenziali esatte (implicazione più difficile con un esempio);
Ogni forma differenziale chiusa in un insieme stellato è esatta (in R3 );
Formule di Gauss-Green e Stokes e Teorema della divergenza nel piano: il caso del rettangolo;
Integrali di superficie: definizione della misura (cenni);
Una forma differenziale chiusa in R3 \ {(0, 0, 0)} è esatta (cenni della dimostrazione basati sulla
formula di Stokes);
Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale per successioni uniformemente convergenti su insiemi chiusi e limitati;
Teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy relativo ai sistemi di equazioni
differenziali ordinarie;
Teorema di esistenza globale per il problema di Cauchy relativo ai sistemi di equazioni differenziali
ordinarie; (cenni della dimostrazione: stime a priori);
Condizioni necessarie e sufficienti per la dipendenza/indipendenza lineare di soluzioni di una
equazioni differenziale ordinaria omogenea del secondo ordine: il determinante di Wronski o Wronskiano;
Caratterizzazione dell’ insieme delle soluzioni di una equazioni differenziale ordinaria omogenea
del secondo ordine.
Teoremi di confronto per sopra/sottosoluzioni.
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