Teorema del coseno e teoremi dei seni

Lavoro di Antonino Giambò, ex-Ispettore del MPI\28-04-2007
IL TEOREMA DEL COSENO E IL TEOREMA DEI SENI.
Sunto.
Si descrivono due dimostrazioni del teorema del coseno e altrettante del teorema dei seni, diverse da
quelle che tradizionalmente sono riportate dai nostri libri di testo1.
1. Teorema del coseno.
1.1 Consideriamo un triangolo qualsiasi ABC (fig. 1) e tracciamo la sua altezza CH. In virtù del
2
2
2
2
2
2
teorema di Pitagora si ha: BC = CH + HB . D’altronde: CH = AC − AH e HB = AB − AH .
Di conseguenza:
(
)
2
2
2
2
BC =  AC − AH  + AB − AH ;


2
2
2
da cui segue: BC = AC + AB − 2 AB ⋅ AH , e poiché AH = b cos α, si ottiene:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α .
Analoga dimostrazione vale per gli altri angoli, β e γ, e anche se il piede dell’altezza non appartiene
al lato relativo ma ad uno dei suoi prolungamenti.
In definitiva si ricava il seguente gruppo di formule:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α
b 2 = c 2 + a 2 − 2 c a cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ
che esprime il cosiddetto TEOREMA DEL COSENO (detto anche teorema di Carnot2).
fig. 1
fig. 2
1.2 Una seconda dimostrazione del teorema è basata sul calcolo vettoriale. Dato il triangolo ABC
(fig. 2), consideriamo la seguente relazione vettoriale: BC = BA + AC ed eleviamo al quadrato
2
2
2
entrambi i membri. Si ottiene: BC = BA + AC + 2 BA × AC , da cui, dopo aver constatato che
l’angolo dei vettori BA ed AC è il supplementare dell’angolo BÂC , che misura α, segue:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
1
2
Cfr.: Antonino Giambò, Trigonometria piana, Torino, S.E.I., 1984.
Carnot, Lazare, matematico francese, 1753-1823, padre di Sadi (1796-1832), uno dei fondatori della termodinamica.
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Ragionando allo stesso modo sugli altri due lati, si ottengono tutte le relazioni che esprimono il
teorema del coseno.
2. Teorema dei seni.
2.1 Il TEOREMA
uguaglianze:
DEI SENI
(detto anche teorema di Eulero 3), è espresso dalla seguente catena di
a
b
c
=
=
sen α sen β sen γ
Per la sua dimostrazione consideriamo il triangolo ABC (fig. 3) e tracciamo le sue altezze AM e
BN. Prendendo in esame dapprima il triangolo rettangolo AMC e poi il triangolo rettangolo AMB,
si ottiene:
AM = b sen γ e AM = c sen β; perciò: b sen γ = c sen β; da cui segue:
b
c
.
=
sen β sen γ
Analogamente, prendendo in esame i triangoli rettangoli BNA e BNC, si ottiene:
BN = c sen α = a sen γ ; da cui segue:
a
c
.
=
sen α sen γ
In definitiva, come si voleva dimostrare:
a
b
c
.
=
=
sen α sen β sen γ
fig. 3
fig.4
Osserviamo che questa dimostrazione, condotta avendo supposto implicitamente che il triangolo
ABC fosse acutangolo, non cambia sostanzialmente se esso è ottusangolo.
2.2 Una seconda dimostrazione del teorema è basata sul calcolo vettoriale. Dato il triangolo ABC
(fig. 2), consideriamo la seguente relazione vettoriale: AB = AC + CB e moltiplichiamo scalarmente
entrambi i membri per il vettore CH , dove H è il piede dell’altezza relativa al lato AB:
AB × CH = AC + CB × CH ;
(
3
)
Euler, Leonhard, matematico svizzero, 1707-1783.
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da qui, tenendo presente che i vettori AB e CH sono ortogonali e perciò il loro prodotto scalare è
nullo, segue:
AC × CH + CB × CH = 0 .
Osservando adesso che l’angolo dei vettori AC e CH è il supplementare dell’angolo AĈH , che
misura
π
π
− α e che l’angolo dei vettori CB e CH è HĈB , la cui misura è − β , si ha:
2
2

π

π

AC CH cos π −  − α  + CB CH cos − β  = 0 ,
2

2


da cui, dopo qualche semplice elaborazione, segue:
a
b
=
.
sin α sin β
Ragionando in modo analogo su uno degli altri due lati, per esempio BC, si ottiene la relazione:
b
c
=
.
sin β sin γ
In definitiva, come si voleva dimostrare:
a
b
c
.
=
=
sen α sen β sen γ
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