COMPITI PER LE VACANZE
Prof. Luigi Cai
A.S. 2012 – 2013
CLASSE
II A - II B
Problemi di geometria analitica
1) Calcolare l’area, il perimetro, il circocentro, l’ortocentro , il baricentro e l’incentro dei triangoli
di vertici:
a) A(3,2)
B(10,3) C(6,7)
b) A(-4,-2) B(-3,-1) C(-1,3)
2) Trovare la distanza tra le rette parallele r: 3x+4y+12=0 s: 3x+4y-6=0.
3) Trovare l’equazione r dell’asse del segmento di estremi: A(2,3) B(5,6); Prendere su r un punto
P tale che l’area del triangolo ABP sia 4 cm2.
4) Trovare i vertici e l’area del triangolo i cui lati si trovano sulle rette:
r: y=x+1, s: 11x-3y-21=0 , t: x+3y-3=0;calcolare l’ortocentro del triangolo.
5) Sapendo che A(3,-1), B(1,1), C(7,-2) sono tre vertici consecutivi del parallelogramma ABCD,
determinare: a) le coordinate del vertice D; b) il perimetro e l’area del parallelogramma; c) le
coordinate del punto E simmetrico di C rispetto ad AB.
[a) D(9,-4); b) 2p=4√2+6√5 ; c) A=6; c) E(4,-5)]
6) Dati i tre punti A(4,1/3), B(5,-1) e C(-4,8/3):
a) Determinare l’equazione della retta r passante per A e per B e le equazioni delle rette : s
parallela ad r e p perpendicolare a r, entrambe passanti per C;
b) Determinare le distanze d e d’ di r ed s dall’origine O, nonché la distanza d’’ tra r ed s;
c) Detto D il punto d’intersezione di r e p, E ed F i punti in cui la retta s incontra
rispettivamente gli assi x e y ed M il punto medio del segmento AD, verificare che i
quadrilateri DEFM ed EFAM sono parallelogrammi equivalenti, calcolandone l’area.
[a) r: 4x+3y-17=0; s: 4x+3y+8=0; p: 9x-12y+68=0; b) d=17/5, d’=8/5, d’’=5; c) D(0,17/3),
M(2,3), E(-2,0), F(0,-8/3), Area=50/3]
7) Dopo aver determinato l’equazione della retta r passante per A(-2,-1/2) e B(0,1/2), determinare:
a) l’equazione della retta n passante per C(0,3) e perpendicolare a r;
b) il punto D di intersezione fra r ed n;
c) l’area del triangolo ADC;
d) il quarto vertice E del rettangolo ADCE.
[r: x-2y+1=0; a) n: y=-2x+3 ; b) D(1,1) ; c) Area=15/4; d) E(-3,3/2) ]
Disequazioni
8) (x-1)4(x2-2x-15)<0
10)
2 x + 11
>1
x
[-3<x<5, x≠1 ]
[x>-11/3, x≠0 ]
9) (x2-2x-4)x2<-x2
11)
1− x
3x + 2
<2
[ -1<x<0 v 0<x<3 ]
[x<-2/3 v x>-3/7 ]
12)
13)
x+2
2
<
2
4x −1 3
[x<
3 − 256
3 + 256
∪x>
]
16
16
1
5x −1
−3 ≤ 2 [ x ≥ ]
2
x +1
3 − 2x
< x+2
15) 4 x + 1
x 2 − x + 2 > 0
6 − x 2 < 1
14)
[√5<x<√7 ]
2 x + x 3 > 0
[
− 11 − 137
8
< x < −1 ∪ x > 2 ]
16)
x 4 + 2x 2 − 3 ≥ 0
3
2
3x + x − 8 x + 4 ≥ 0
2x − 3 > x + 1
x +1 2
<
x
−
1
x
16
>3
17)
2
x
−
5
3
x −5
3 − x−5 > 0
[ − 2 ≤ x ≤ −1 ∪ x > 4 ]
[5/2<x<5]
(
18)
)
3
19) 8 − 3 − 2 x 5 ⋅ 3 x 3 − 2 − 4 < 0
21)
24)
25)
2
1
<
6
16
x
3x − 1 − x
x 2 +1 − x + 2
22)
3x − 1 − 3x 2 − 4 x − 7
3
x4 − 2
5
<
2
−3
3x − x 2 − 4 x
)
≤0
3x 2 − 5 x 4 + 2
≤0
x 6 − 10 x 3 + 9
1
81
23) 15x4-34x3+34x-15>0
7 + 13
1+ 5
∪x>
x <
18
2
≤0
x+3 + x −3
20)
( x − 2 − 3)⋅ (4 − x
>0
x+3 + x −3
>0
3x − 1 − 3x 2 − 4 x − 7
27)
3
3x − 4 − 2 ≤ 0
2 − 1− x
7
< x < 3∪ x > 4
3
7/3<x<3 v x>4
26)
1− x + x 2 + x + 2
[x<-1/5 v x>1 ]
2x +1
1−
x
28)
6 − x − x +1
x
<0
Goniometria
29) Trasforma tutto in seno : a)
4tgα + cos α
1
⋅
2
1 − 2tg α
cos α
b)
1 + sen 2α
4
+ 1 − cos 2 α +
2
tg α
sen 2α
sen 3α − senα
sen 2α
1
tg 2α
sen 2α
2
30) Semplifica : a)
− sen α +
+ 2tgα +
b) cos α +
tgα
2
1 + tg 2α
2 ⋅ cos α ⋅ tg 2α
cos α
31) Rappresenta graficamente e calcola le restanti funzioni goniometriche :
2 π
1 3π
5 π
a) senα =
<α <π
b) cos α =
< α < 2π
c) tgα = −
<α <π
4
3
2
3
2
2
32) Calcola il valore delle espressioni:
π
π
π
π
π
3
a) 2 cos − 4 sen + 16 sen cos + cos − sen − π
6
4
4
6
3
2
2
b)
c)
π
π
π
π
⋅ sen + cos − sen − 2 cos
3
4
2
4
3
3
6
2
5
13
5
3sen π − cos π − 2tg − π + tg π
3
3
3
6
3sen
π
− 2 cos
π
+ cos
π
2
2
Geometria euclidea
Ripasso delle proprietà geometriche fondamentali :Asse di un segmento ; bisettrice di un
angolo ; punti notevoli dei triangoli (incentro, baricentro, circocentro, ortocentro) ; teoremi di
Euclide; teorema di Pitagora; teorema di Talete; teoremi della bisettrice; similitudine dei triangoli
(in particolare i teoremi: le basi stanno fra loro come due lati omologhi; i perimetri stanno tra loro
come due lati omologhi; le aree stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi); teoremi delle
corde; teorema delle secanti; teorema della secante e della tangente; figure particolari; sezione
aurea; relazione tra i lati e i raggi dei poligoni regolari inscritti. Geometrie non euclidee (vedi
appunti del primo anno).
