PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A 7 luglio 2009 - A.A. 2008/2009 Proff. S. Polidoro - C. Benassi Cognome: ........................................ Nome: .............................................. Corsi di Laurea: Matematica e Fisica 1) Si considerino gli insiemi +∞ [ n2 + 2n + 1 2 2 2 A= (x, y) ∈ R | (x − 1) + y = , n2 n=1 B = {(x, 0) | x ∈ Q} , C = (x, y) ∈ R2 | 2y + 1 < 0 . Determinare interno, frontiera, chiusura e punti isolati dell’insieme D = A ∪ B ∪ C. Posto Fα = {(x, y) ∈ R2 | y = α}, per quali α ∈ R si ha che D ∩ Fα è chiuso? 2) Stabilire se la seguente serie è convergente ∞ X k+1 k+1 (−1) log 1 + 3 ; 2k − 1 k=1 3) Sia f : [0, +∞[→ R una funzione continua. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando le risposte: 1. se f (x) sin(x) = 0 per ogni x > 0, allora f (x) = 0 per ogni x > 0; 2. se f (0) = 0 e lim f (x) = 2, allora l’equazione f (x) = sin(x) ammette un x→+∞ numero finito di soluzioni; 3. se lim f (x) = 2, allora è vero che: ∀ε > 1 ∃x tale che |f (x) − 3| < ε ∀ x > x; x→+∞ 4. se, per ogni n ∈ N si ha che [0, 2] ⊂ f ([n, +∞[), allora non esiste lim f (x); x→+∞ 4) Calcolare i seguenti limiti: ex+sin(x) x→+∞ x2 + ex + sin lim , 1 x x 1+3x − sin(x) + x4 ; x→0 x2 (2 + cos(x)) + (e3x cos(2x)) sin(x4 ) lim PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA 7 luglio 2009 - A.A. 2008/2009 Proff. S. Polidoro - C. Benassi Cognome: ........................................ Nome: .............................................. Corso di Laurea: Informatica 1) Si considerino gli insiemi +∞ [ n2 + 2n + 1 A= (x, y) ∈ R | (x − 1) + y = , n2 n=1 B = {(x, 0) | x ∈ Q} , C = (x, y) ∈ R2 | 2y + 1 < 0 . 2 2 2 Determinare interno, frontiera, chiusura e punti isolati dell’insieme D = A ∪ B ∪ C. 2) Stabilire se la seguente serie è convergente ∞ X k+1 k+1 (−1) log 1 + 3 ; 2k − 1 k=1 3) Sia f : [0, +∞[→ R una funzione continua. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando le risposte: 1. se f (x) sin(x) = 0 per ogni x > 0, allora f (x) = 0 per ogni x > 0; 2. se f (0) = 0 e lim f (x) = 2, allora l’equazione f (x) = sin(x) ammette un x→+∞ numero finito di soluzioni; 4) Calcolare i seguenti limiti: ex+sin(x) x→+∞ x2 + ex + sin lim , 1 x x 1+3x − sin(x) + x4 ; x→0 x2 (2 + cos(x)) + (e3x cos(2x)) sin(x4 ) lim 5) Calcolare Z 1 4 √ 2 x dx 4x + 1