PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A
7 luglio 2009 - A.A. 2008/2009
Proff. S. Polidoro - C. Benassi
Cognome: ........................................
Nome: ..............................................
Corsi di Laurea: Matematica e Fisica
1) Si considerino gli insiemi
+∞
[
n2 + 2n + 1
2
2
2
A=
(x, y) ∈ R | (x − 1) + y =
,
n2
n=1
B = {(x, 0) | x ∈ Q} , C = (x, y) ∈ R2 | 2y + 1 < 0 .
Determinare interno, frontiera, chiusura e punti isolati dell’insieme D = A ∪ B ∪ C.
Posto Fα = {(x, y) ∈ R2 | y = α}, per quali α ∈ R si ha che D ∩ Fα è chiuso?
2) Stabilire se la seguente serie è convergente
∞
X
k+1
k+1
(−1) log 1 + 3
;
2k
−
1
k=1
3) Sia f : [0, +∞[→ R una funzione continua. Stabilire se le seguenti affermazioni sono
vere o false, giustificando le risposte:
1. se f (x) sin(x) = 0 per ogni x > 0, allora f (x) = 0 per ogni x > 0;
2. se f (0) = 0 e lim f (x) = 2, allora l’equazione f (x) = sin(x) ammette un
x→+∞
numero finito di soluzioni;
3. se lim f (x) = 2, allora è vero che: ∀ε > 1 ∃x tale che |f (x) − 3| < ε ∀ x > x;
x→+∞
4. se, per ogni n ∈ N si ha che [0, 2] ⊂ f ([n, +∞[), allora non esiste lim f (x);
x→+∞
4) Calcolare i seguenti limiti:
ex+sin(x)
x→+∞ x2 + ex + sin
lim
,
1
x
x
1+3x
− sin(x) + x4
;
x→0 x2 (2 + cos(x)) + (e3x cos(2x)) sin(x4 )
lim
PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA
7 luglio 2009 - A.A. 2008/2009
Proff. S. Polidoro - C. Benassi
Cognome: ........................................
Nome: ..............................................
Corso di Laurea: Informatica
1) Si considerino gli insiemi
+∞
[
n2 + 2n + 1
A=
(x, y) ∈ R | (x − 1) + y =
,
n2
n=1
B = {(x, 0) | x ∈ Q} , C = (x, y) ∈ R2 | 2y + 1 < 0 .
2
2
2
Determinare interno, frontiera, chiusura e punti isolati dell’insieme D = A ∪ B ∪ C.
2) Stabilire se la seguente serie è convergente
∞
X
k+1
k+1
(−1) log 1 + 3
;
2k
−
1
k=1
3) Sia f : [0, +∞[→ R una funzione continua. Stabilire se le seguenti affermazioni sono
vere o false, giustificando le risposte:
1. se f (x) sin(x) = 0 per ogni x > 0, allora f (x) = 0 per ogni x > 0;
2. se f (0) = 0 e lim f (x) = 2, allora l’equazione f (x) = sin(x) ammette un
x→+∞
numero finito di soluzioni;
4) Calcolare i seguenti limiti:
ex+sin(x)
x→+∞ x2 + ex + sin
lim
,
1
x
x
1+3x
− sin(x) + x4
;
x→0 x2 (2 + cos(x)) + (e3x cos(2x)) sin(x4 )
lim
5) Calcolare
Z
1
4
√
2 x
dx
4x + 1