I TEOREMI
della
TRIGONOMETRIA PIANA
PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI
La geometria fornisce le seguenti relazioni tra gli elementi dei triangoli scaleni:
A
b
C
La somma degli angoli di un triangolo è uguale
all’angolo piatto: + + = 200c.
In ogni triangolo, ciascun lato è minore della
somma degli altri due e maggiore della loro
differenza (cioè: a < c + b; a > c – b).
c
a
In ogni triangolo, la relazione di uguaglianza o
disuguaglianza che intercorre tra due lati vale anche
per gli angoli rispettivamente opposti (cioè: se a < b,
sarà anche < ).
B
Oltre a queste proprietà, la trigonometria fornisce alcuni teoremi per
risolvere i triangoli scaleni. Con gli attuali strumenti di calcolo sono
indispensabili solo i seguenti due teoremi:
teorema dei seni;
teorema del coseno (o di Carnot).
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TEOREMA DEI SENI
Tracciamo il cerchio circoscritto al triangolo ABC; il suo centro è l’intersezione
degli assi dei suoi lati (corde del cerchio).
Tracciamo il diametro AD passante per A.
C
90°
R
Collegando i punti C e D, l’angolo ADC è uguale
a perché entrambi insistono sull’arco AC.
D
Il triangolo ACD poi, è retto in C (angolo alla
circonferenza che insiste su un diametro).
a
Da questo triangolo possiamo evidenziare il
diametro 2R:
b
O
A
c
B
2R
b
sin
Analogamente per il triangolo retto ABD:
c
2R
sin
Dunque si ha anche :
b
c
sin sin
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TEOREMA DEI SENI
Estendendo il ragionamento e utilizzando un secondo diametro si può ricavare anche:
C
a
c
sin sin
a
Enunciato del Teorema
In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno
dell’angolo opposto è costante, ed è uguale al
diametro del cerchio circoscritto al triangolo.
b
B
a
b
sin sin
c
A
a
b
c
2R
sen sen sen
oppure:
In un triangolo il rapporto tra due lati è uguale al
rapporto tra i valori del seno degli angoli opposti
a sen
b sen
a sen
c sen
b sen
c sen
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TEOREMA DI CARNOT
Consideriamo un triangolo ABC, con di lati a,b, c
Tracciamo l’altezza CH
CH = b sen
C
b
b sen
A
a
AH = b cos
c - b cos
H c
B
BH = AB - AH= c - b cos
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB
a2 = CH2 + BH2 = (b sen)2 + (c - b cos)2
a2 = b2 sen2 + c2 + b2 cos2 -2bc cos
ma: b2 sen2 + b2 cos2 b2 (sen2 + cos2) b2
pertanto:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
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TEOREMA DI CARNOT (o del coseno)
b
C
A
Enunciato del Teorema
a
c
B
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
In un triangolo il quadrato di un lato è uguale
alla somma dei quadrati degli altri due lati,
diminuito del doppio prodotto di questi per il
coseno dell’angolo compreso.
b2 = a2 + c2 - 2ac cos
c2 = a2 + b2 - 2ab cos
Oppure:
b2 c2 - a 2
cos
2bc
a 2 c2 - b2
cos
2ac
a 2 b2 - c2
cos
2ab
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RISOLUZIONE
dei
TRIANGOLI SCALENI
1°CASO: NOTI 2 ANGOLI E 1 LATO
Immaginiamo noti , , c:
b
A
C
a
c
200 - ( )
C
c sin
a
sin
c sin
b
sin
B
poiché 200C
dal teorema dei seni
dal teorema dei seni
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2°CASO: NOTI 2 LATI e L’ANGOLO COMPRESO
immaginiamo noti , b, c:
b
A
C
a b2 c 2 - 2bc cos
a 2 c2 - b2
arccos
2ac
a 2 b2 - c2
arccos
2ab
a
c
B
dal teorema di Carnot
oppure
b
arcsin( sin )
a
oppure
c
arcsin( sin )
a
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3°CASO:
NOTI 2 LATI e UN ANGOLO ADIACENTE A UN LATO INCOGNITO
immaginiamo noti , b, a:
b
A
C
a
c
B
b
arcsin( sin ) dal teorema dei seni
a
200C - ( )
a sin
dal teorema dei seni
c
sin
ATTENZIONE a questa relazione
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DISCUSSIONE di:
b
arcsin( sin )
a
valutando l’argomento della funzione inversa arcoseno,
si possono verificare i seguenti casi:
b/a sen > 1 Il problema è manifestamente impossibile, in quanto non esiste
l’arcoseno di un numero maggiore di 1, dunque non esiste nessun
triangolo con i dati assegnati a,b,.
b/a sen = 1 L’angolo è retto e quindi si tratta di un triangolo rettangolo.
b/a sen < 1 Esistono due valori di compatibili con l’angolo assegnato . Il primo
valore ’ (quello fornito dalla calcolatrice) è acuto, cioè si trova nel Iº
quadrante, il secondo, ”, supplementare del primo, è ottuso e si
trova nel IIº quadrante.
In quest’ultimo caso, poi:
dei due valori ’ e ”, uno è incompatibile con l’angolo assegnato , pertanto il
valore che soddisfa il problema è l’altro (per esempio: se = 120c, e può assumere i
due valori 40c e (200c – 40c) = 160c; il valore 160c è incompatibile con il valore di = 120c; in questo
caso il valore che risolve il problema è = 40c);
i due valori di ’ e ” sono entrambi compatibili con il valore di ; in questo
caso si avranno due soluzioni del problema, che danno luogo a due triangoli
distinti.
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4°CASO: NOTI I 3 LATI
Dunque sono noti a, b, c:
C
b
a
A
c
B
b2 c2 - a 2
arccos
2bc
a c -b
arccos
2ac
2
2
2
a 2 b2 - c2
arccos
2ab
oppure
b
arcsin( sin )
a
oppure
c
arcsin( sin )
a
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QUADRO RIASSUNTIVO DELLA RISOLUZIONE DEI
TRIANGOLI
caso
1
2
schema
geometrico
elementi
noti
Soluzione
- 1 lato
- 2 angoli
200C - )
a sen
a sen
b
c
sen
sen
a;;
- 2 lati
- angolo
compreso
a;b;
3
- 2 lati
- angolo non
compreso
a;b;
4
- 3 lati
a;b;c
c a 2 b 2 - 2 a b cos
b2 c 2 - a 2
arccos
2bc
C
200 - )
b
arcsen sen
a
200C - )
a sen
c
sen
(1)
b2 c2 - a 2
arccos
2bc
a 2 c2 - b2
arccos
2ac
C
200 - )
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ALTEZZE, MEDIANE, BISETTRICI
LE TRE ALTEZZE
Le tre altezze si intersecano in un punto H chiamato ortocentro.
A
b
hc
C
H
ha
c
hb
B
a
Considerando i triangoli retti definiti dalle
tre altezze ha, hb, hc, si può scrivere:
ha = b sen = c sen
hb = c sen = a sen
hc = b sen = a sen
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LE TRE MEDIANE
Le tre mediane si intersecano in un punto G, detto baricentro del triangolo.
b
-2
A
b
-2
c
-2
mc
ma
G
mb
c
-2
a
-2
’
M
C
a
-2
’=200C-
Consideriamo i due triangoli ABM e AMC
a2
c2 = ---- + ma2 - a ma cos
4
a2
b2 = ---- + ma2 + a ma cos
4
Sommando membro a membro:
a2
b2 + c2 = ---- + 2 ma2
2
1
B
Il baricentro G si trova a una distanza
dal vertice corrispondente pari ai 2/3
della mediana, e a 1/3 della mediana
dal punto medio del lato opposto
AG = 2/3 ma - GM = 1/3 ma
ma = ---- 2b2 + 2c2 – a2
2
1
mb = ---- 2a2 + 2c2 – b2
2
1
mc = ---- 2b2 + 2a2 – c2
2
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LE TRE BISETTRICI
Le tre bisettrici si intersecano in un punto O, centro del cerchio inscritto.
Consideriamo l’area del triangolo ABC, ottenuta
come somma di quelle dei due triangoli ABN e ANC
b
A
C
1
bc sen = --- cn sen ---- + --- bn sen ---2
2
2
2
2
Applicando la f. di duplicazione del seno al 1° membro:
1
1
O
nb
c
1
---
nc
na
1
bc sen --- cos --- = --- cn sen ---- + --- bn sen ---2
2
2
2
2
2
N
a
Dividendo per sen(/2):
1
1
1
bc cos --- = --- cn + --- bn = --- n (b + c)
2
2
2
2
B
2bc
n = ------------ cos --c+b
2
2ac
n = ------------ cos --a+c
2
2ab
n = ------------ cos --a+b
2
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LA RETTA DI EULERO
In un triangolo i seguenti punti sono allineati:
baricentro G (intersezione delle tre mediane),
ortocentro H (intersezione delle tre altezze),
circocentro O (intersezione degli assi dei tre lati).
La retta che li congiunge viene detta retta di Eulero.
A
b
C
H
G
c
O
a
B
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