Il "Principio di Induzione Completa"
Si indica con questo nome un metodo di dimostrazione per proprietà che debbano valere per tutti i numeri
naturali {0, 1, 2, …..}. Esso consiste di due passi:
1. si dimostra direttamente la proprietà richiesta per il numero 0
2. si dimostra che, supposta la proprietà vera per un generico numero n (si dice "ipotesi induttiva"), la
proprietà è vera per il successivo n + 1
Se si è riusciti a compiere questi due passi, si può concludere che la proprietà è vera per tutti i numeri
naturali. Infatti, se così non fosse e quindi esistesse qualche numero per cui la proprietà è falsa, consideriamo
il più piccolo di tali numeri, detto n0. Il numero n0 non può essere 0, a causa del passo 1, quindi ha un
predecessore n0 – 1, per il quale la proprietà sarebbe vera. Ma allora il passo 2 permette di concludere che la
proprietà è vera anche per n0 , contro l'ipotesi.
E' del tutto ovvio che, se il passo 1 è modificato nel dimostrare direttamente la proprietà non per 0, ma per un
certo numero m, la proprietà resta dimostrata per tutti i numeri a partire da m stesso.
Avvertiamo che in certe trattazioni dei fondamenti dell'aritmetica, il Principio di Induzione Completa assume
il ruolo di un vero e proprio assioma, da cui si possono dedurre le proprietà dei numeri naturali.
Logaritmo e elevazione a potenza nel campo complesso (aggiunta al termine par. 4.12 pag 13)
La giustificazione della definizione di esponenziale complesso con base e (formula 4.15) è basata sugli
sviluppi in serie di potenze, che saranno coperti dal corso di Analisi Matematica II.
Avendo così definito l'esponenziale, è naturale definire il logaritmo naturale ln(z) nel campo complesso come
quel numero, se esiste, che dato come esponente a e produce come risultato z. Per dimostrarne l'esistenza e
trovarne l'espressione, poniamo
z = x + iy
ln(z) = u + iv
e cerchiamo di determinare u e v in modo tale che eu+iv = z.
Usando la (4.15) tale condizione diventa
eu (cos v + i sin v) = x + iy
e quindi, separando parte reale e parte immaginaria
eu cos v = x
eu sin v = y
Le ultime due equazioni si risolvono facilmente rispetto alle incognite u e v (quadrando e sommando si
elimina v e si trova u):
u = ln (x2 + y2)1/2 = ln (|z|)
v = Arg(z)
dove ora con "ln" si intende l'ordinario logaritmo naturale del numero reale non negativo |z|.
In definitiva si ha la formula per il logaritmo naturale nel campo complesso:
ln(z) = ln (|z|) + i Arg(z)
dove (attenzione!) a primo membro "ln" è il logaritmo complesso, mentre a secondo membro "ln" è
l'ordinario logaritmo reale.
Ne segue che il logaritmo nel campo complesso esiste sempre, con la sola eccezione dello 0, e ha infiniti
valori (uno per ognuna delle infinite determinazioni di Arg(z).
A questo punto si può concludere definendo la potenza con base qualsiasi z complessa e esponente qualsiasi
w complesso attraverso la relazione
zw = e w ln z
Quindi anche la potenza nel campo complesso ha, in generale, infiniti valori.
