LOGARITMI In matematica conosciamo l’addizione 1 + 1 + 1 = 3. e la moltiplicazione che la estende Allo stesso modo se ripetiamo la moltiplicazione possiamo estenderla nell’esponenziazione: Poiché viene contato il numero delle moltiplicazioni, gli esponenti si sommano: Il numero 2 è detto base dell’esponenziale. Se si eleva un esponente ad un altro esponente, vengono moltiplicati i valori: Questo è il grafico della funzione y = 2x : Ora consideriamo un numero: vogliamo sapere quanti 2 devono essere moltiplicati fra loro per dare quel numero. Ad esempio, quanti 2 devono essere moltiplicati fra loro per dare 32 ? Dobbiamo risolvere l’equazione 2B = 32. Sappiamo che B=5. E’ stata creata una funzione chiamata logaritmo che esprime bene questo concetto: ossia “il logaritmo in base 2 di 32 è 5”. Si tratta della funzione inversa dell’esponenziazione: Questo è il grafico della funzione logaritmo: In effetti questo è il grafico dell’esponenziale in cui l’asse x è scambiato con l’asse y. In particolare vediamo che Proprietà del logaritmo. Noi sappiamo che E prendendo il logaritmo da ambo le parti deve valere Ma poiché esponenziale e logaritmo sono una l’inverso dell’altro si elidono a vicenda, quindi Ora considerando che si può sempre scrivere Si arriva a Ed elidendo di nuovo esponenziale con logaritmo Proprietà additiva molto utilizzata in teoria dell’informazione. Proprietà di estrazione: Torniamo a Eleviamo ambo i membri ad u: Che si può scrivere anche Se ora prendiamo il logaritmo in base 2 di ambo i membri otteniamo Come convertire basi diverse Cominciamo con il porre ossia Ora usiamo all’inverso la regola di estrazione: Ottenendo a = bx Usiamo ora il logaritmo in base b: Ossia Ma x è quanto sapevamo dall’inizio: Quindi Questo significa che possiamo ottenere il logaritmo in base 2 qualunque sia la base che abbiamo a disposizione. Il logaritmo in base è difficile da calcolare a mente, mentre quello in base 2 è semplice: Vale infatti 2B = M numero di scelte numero di bit M B 1 0 2 1 4 2 8 3 16 4 32 5 64 6 128 7 256 8 512 9 1024 10 Utilizzando questa tabella possiamo fare stime veloci anche dei logaritmi di numeri più alti. Infatti Allora se ad esempio vogliamo conoscere il logaritmo base 2 di scriviamo = = = = 2 + 10 + 10 mentre il vero valore è 21.93. Serie Sia data la successione che è come dire la "sequenza" di numeri . Con essa possiamo costruire la seguente successione detta delle somme parziali : La successione (i puntini significano che si va all'infinito) così ottenuta si chiama serie e si indica con il simbolo : ed equivale alla somma di tutti (infiniti) i termini della successione cui siamo partiti, ovvero : da Il problema è adesso quello di vedere se una data serie converge, diverge od oscilla, cioè se la somma tende ad un valore ben preciso, oppure tende a (diverge positivamente) o a (diverge negativamente), oppure ha un andamento "altalenante". Vi è un certo numero di serie la cui somma è nota ed alcuni teoremi che ne regolano il comportamento. In ogni caso ci si può avvalere dell'aiuto del computer e calcolare il valore approssimato della somma di una data serie, fermandoci ad un valore anche molto grande di n . Le serie forniscono spesso metodi generali per approssimare una enorme quantità di problemi non analiticamente (esattamente) risolubili. Serie notevoli. Riportiamo ora alcune serie di fondamentale importanza la cui somma è nota Serie armonica la serie armonica diverge positivamente per cui scriveremo : . Serie questa serie converge : . Serie geometrica di ragione q La serie geometrica converge, diverge od oscilla a seconda del valore della ragione q . In generale n qk k 1 q n1 1 q Abbiamo i seguenti casi : - se ( |q| è il valore assoluto di q ) allora la serie converge a - se allora la serie diverge positivamente - se allora la serie oscilla. Per esempio, se perché se , abbiamo : cadiamo nel primo caso, secondo il quale : . Possiamo "vedere geometricamente" questo risultato nel seguente modo : da cui risulta chiaro che sommando "fette" di valore dimezzato si ottiene al limite il valore 1 . Considerazioni. 1. Da quanto mostrato risulta chiaro che se i termini della serie tendono a zero (al tendere di n all'infinito) si può avere convergenza o divergenza della serie. Per esempio le serie e hanno entrambe termini tendenti a zero ma la prima serie diverge e la seconda converge. Se però avessimo termini non tendenti a zero, allora saremmo sicuri che la serie non converge. Per esempio, la serie geometrica di ragione q = 2 , diverge positivamente. Cioè : . 2. Le serie di cui si conosce la somma possono essere utilizzate per dimostrare se una serie data converge o diverge. Per esempio, consideriamo la serie : e chiediamoci se essa converge. Proviamo a confrontare questa serie con la serie nota convergere. Siccome per ogni valore di n si ha : che sappiamo possiamo dedurre che la serie incognita converge perché formata da termini tutti minori di quelli della serie nota che è sicuramente convergente. Diremo allora che la serie della serie oppure che la serie è maggiorante è minorante della serie .