logaritmi - unimi, Crema

LOGARITMI
In matematica conosciamo l’addizione
1 + 1 + 1 = 3.
e la moltiplicazione che la estende
Allo stesso modo se ripetiamo la moltiplicazione
possiamo estenderla nell’esponenziazione:
Poiché viene contato il numero delle moltiplicazioni, gli esponenti
si sommano:
Il numero 2 è detto base dell’esponenziale.
Se si eleva un esponente ad un altro esponente, vengono
moltiplicati i valori:
Questo è il grafico della funzione y = 2x :
Ora consideriamo un numero: vogliamo sapere quanti 2 devono
essere moltiplicati fra loro per dare quel numero.
Ad esempio, quanti 2 devono essere moltiplicati fra loro per dare
32 ?
Dobbiamo risolvere l’equazione
2B = 32.
Sappiamo che B=5.
E’ stata creata una funzione chiamata logaritmo che esprime bene
questo concetto:
ossia “il logaritmo in base 2 di 32 è 5”.
Si tratta della funzione inversa dell’esponenziazione:
Questo è il grafico della funzione logaritmo:
In effetti questo è il grafico dell’esponenziale in cui l’asse x è
scambiato con l’asse y.
In particolare vediamo che
Proprietà del logaritmo.
Noi sappiamo che
E prendendo il logaritmo da ambo le parti deve valere
Ma poiché esponenziale e logaritmo sono una l’inverso dell’altro
si elidono a vicenda, quindi
Ora considerando che si può sempre scrivere
Si arriva a
Ed elidendo di nuovo esponenziale con logaritmo
Proprietà additiva molto utilizzata in teoria dell’informazione.
Proprietà di estrazione:
Torniamo a
Eleviamo ambo i membri ad u:
Che si può scrivere anche
Se ora prendiamo il logaritmo in base 2 di ambo i membri
otteniamo
Come convertire basi diverse
Cominciamo con il porre
ossia
Ora usiamo all’inverso la regola di estrazione:
Ottenendo
a = bx
Usiamo ora il logaritmo in base b:
Ossia
Ma x è quanto sapevamo dall’inizio:
Quindi
Questo significa che possiamo ottenere il logaritmo in base 2
qualunque sia la base che abbiamo a disposizione.
Il logaritmo in base
è difficile da calcolare
a mente, mentre quello in base 2 è semplice:
Vale infatti
2B = M
numero di scelte numero di bit
M
B
1
0
2
1
4
2
8
3
16
4
32
5
64
6
128
7
256
8
512
9
1024
10
Utilizzando questa tabella possiamo fare stime veloci anche dei
logaritmi di numeri più alti.
Infatti
Allora se ad esempio vogliamo conoscere il logaritmo base 2 di
scriviamo
=
=
=
=
2 + 10 + 10
mentre il vero valore è 21.93.
Serie
Sia data la successione
che è come dire la "sequenza" di numeri
. Con essa possiamo costruire la seguente successione detta delle
somme parziali :
La successione
(i puntini significano che si va all'infinito) così
ottenuta si chiama serie e si indica con il simbolo :
ed equivale alla somma di tutti (infiniti) i termini della successione
cui siamo partiti, ovvero :
da
Il problema è adesso quello di vedere se una data serie converge, diverge
od oscilla, cioè se la
somma
tende ad un valore ben preciso, oppure tende a
(diverge
positivamente) o a
(diverge negativamente), oppure ha un andamento
"altalenante".
Vi è un certo numero di serie la cui somma è nota ed alcuni teoremi che
ne regolano il comportamento.
In ogni caso ci si può avvalere dell'aiuto del computer e calcolare il valore
approssimato della somma di una data serie, fermandoci ad un valore
anche molto grande di n .
Le
serie
forniscono
spesso
metodi
generali
per
approssimare una enorme quantità di problemi non analiticamente
(esattamente) risolubili.
Serie notevoli.
Riportiamo ora alcune serie di fondamentale importanza la cui somma è
nota
Serie armonica
la serie armonica diverge positivamente per cui scriveremo :
.
Serie
questa serie converge :
.
Serie geometrica
di ragione q
La serie geometrica converge, diverge od oscilla a seconda del valore della
ragione q . In generale
n
qk 
k
1  q n1
1 q
Abbiamo i seguenti casi :
- se
( |q| è il valore assoluto di q ) allora la serie converge a
- se
allora la serie diverge positivamente
- se
allora la serie oscilla.
Per esempio, se
perché se
, abbiamo :
cadiamo nel primo caso, secondo il quale :
.
Possiamo "vedere geometricamente" questo risultato nel seguente modo :
da cui risulta chiaro che sommando "fette" di valore dimezzato si ottiene al
limite il valore 1 .
Considerazioni.
1. Da quanto mostrato risulta chiaro che se i termini della serie tendono a
zero (al tendere di n all'infinito) si può avere convergenza o divergenza
della serie.
Per esempio le serie
e
hanno entrambe termini tendenti a zero ma la prima serie diverge e la
seconda converge.
Se però avessimo termini non tendenti a zero, allora saremmo sicuri che la
serie non converge.
Per esempio, la serie geometrica di ragione q = 2 , diverge positivamente.
Cioè :
.
2. Le serie di cui si conosce la somma possono essere utilizzate per
dimostrare se una serie data converge o diverge. Per esempio,
consideriamo la serie :
e chiediamoci se essa converge.
Proviamo a confrontare questa serie con la serie nota
convergere.
Siccome per ogni valore di n si ha :
che sappiamo
possiamo dedurre che la serie incognita
converge perché formata da
termini tutti minori di quelli della serie nota
che è
sicuramente convergente. Diremo allora che la serie
della serie
oppure che la serie
è maggiorante
è minorante della serie
.