#1 Lo strano caso di

e
#1
5 Novembre 2016
Lo strano caso di
Team 1
Il numero e, pur essendo della
stessa specie di π e del numero
d’oro (sezione aurea), non è
molto noto al di fuori
dell’ambiente matematico, ma
ciononostante è un numero che
gioca un ruolo fondamentale in
tanti altri ambiti e applicazioni.
Ad esempio nello studio del
decadimento radioattivo, della
crescita di una popolazione,
della magnitudo di un terremoto,
della diffusione di un’epidemia
e soprattutto di problemi
economici.
Certamente è più semplice
afferrare il significato di π, ma
visti gli svariati usi di e
proviamo a capire qualcosa
anche di questo numero: per
farlo dobbiamo partire dalle sue
radici storiche, dalle
Ai modesti o vanitosi
2,718
ai violenti o timorosi
2818
do, cantando gaio ritmo, 2845
logaritmo…
9…
Qui sopra riportiamo una poesia in cui il numero di lettere di
ogni parola coincide col numero decimale e non del numero e.
applicazioni a problemi
economici, dai primi che si sono
chiesti quale potesse essere il
miglior investimento di un
capitale, come questo potesse
aumentare nel tempo, e quale
guadagno ne avrebbero potuto
ricavare. Il prima problema della
storia ritrovato e che ne fa
utilizzo è riportato su una
tavoletta babilonese, conservata
al Louvre di Parigi, del 1700 a.
C.: Quanto tempo ci vorrà – si
chiedeva l’anonimo autore –
perché una certa somma di
denaro raddoppi, se ogni anno
aumenta del 20%?
Un problema che richiede l’uso
dei logaritmi, naturalmente
elementi ancora sconosciuti al
tempo.
5 Novembre 2016
In generale la storia del numero e è
difficile da chiarire e non è facile
nemmeno stabilire la sua data di
nascita. Siamo comunque all’inizio
del diciassettesimo secolo, un periodo
di grandi sviluppi finanziari, con
un’attenzione particolare quindi per il
problema dell’interesse composto.
1618 In un lavoro di Nepero
compare in appendice una tavola
che riporta i logaritmi in base e
di diversi numeri.
1624 Compare il numero e in un
lavoro di Briggs, il matematico
amico di Nepero con il quale
costruì le tavole dei logaritmi in
base 10, e il valore del suo
logaritmo in base 10.
1683 Jacob Bernoulli, tentò di
𝑖 𝑛
calcolare il limite di (1 + 𝑛)
per n tendente all’infinito e
arrivò a stabilire che e doveva
essere compreso fra 2 e 3:
possiamo considerare questo
risultato come la prima
approssimazione del numero e.
1690 Leibniz è stato tra i primi,
a riconoscere ufficialmente il
numero e. In una lettera
indirizzata a Huygens, usa la
lettera b per indicare questo
numero.
2
1731 L’uso della lettera e per il
nostro numero compare per la
prima volta in una lettera di
Leonhard Euler, italianizzato
Eulero, indirizzata a Goldbach.
Probabilmente Eulero scelse la e
perché è la prima vocale
che segue la a, una lettera
che aveva già usato in
altri suoi lavori.
1748 Egli presentò uno
studio approfondito del
numero e nel suo libro
Introduction in Analysin
infinitorum, nel quale
dimostrò che il limite di
𝑖 𝑛
(1 + 𝑛) , con n tendente
all’infinito, è uguale ad e;
inoltre trovò le prime 18
cifre decimali di e,
2.718281828459045235.
Interessante notare che si
sostiene che e sia stata
usata dai Greci per la
costruzione del Partenone,
e dagli Egizi per la
costruzione della Grande
Piramide di Cheope: in
La Storia
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queste costruzioni si trovano due
lunghezze tipiche che hanno
come rapporto il suo valore.
Inoltre i Greci usavano per
questa costante l'appellativo
Αρμονικός σταθερά o costante
armonica, la denotavano con la
lettera ε e usavano per essa il
valore 2,72.
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La Definizione
Ora che abbiamo in mente la storia proviamo a
definire meglio di cosa stiamo realmente parlando.
Vengono usati diversi nomi per questo numero, allo
stesso modo ci sono diverse definizioni per questo
numero. Quella che prendiamo in considerazione
noi è:
1 𝑛
𝑒 = lim (1 + 𝑛)
In effetti e nasce in una sorta di misteriosa zona
d’ombra tra il secondo e terzo caso: da una parte il
1
1
termine 𝑛 tenderebbe a zero (e quindi 1 + 𝑛 ≈ 1 ),
1
𝑛→∞
Per capire cosa significa veramente facciamo qualche
1 𝑛
prova, cercando il valore di 𝑦 = (1 + n) . Più n è
grande, più y si avvicina ad un certo numero che
chiamiamo e.
Osservazione:
nelle proprietà delle potenze
1.
Allora come è possibile che un numero comunque
maggiore di 1, anche se di un infinitesimo, tenda ad
un numero finito al crescere dell’esponente?
𝑠𝑒 𝑎 < 1, lim 𝑎𝑛 = 0
n→∞
2. 𝑠𝑒 𝑎 = 1, an = 1, ∀𝑛
3. 𝑠𝑒 𝑎 < 1, lim 𝑎𝑛 = ∞
n→∞
dall’altra il binomio 1 + 𝑛, sicuramente maggiore di
1 (terzo caso) dovrebbe tendere ad infinito perché
elevato a potenza.
Ma i due effetti si bilanciano, così al crescere di n
l’effetto dell’esponente estremamente grande è
vanificato da una base sempre più prossima ad 1,
sempre più neutra. All’inizio prevale l’effetto
1
dell’esponente, quando il termine 𝑛 non è poi così
piccolo (ma per fortuna lo è l’esponente!). Poi si
raggiunge un equilibrio che abbiamo chiamato e.
(vedi pagina seguente)
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Le Caratteristiche
e è un numero irrazionale e trascendente:
Si chiamano “irrazionali” i numeri reali
non razionali, cioè non esprimibili come
frazione e se rappresentati in una qualsiasi
base intera si esprimono con una sequenza
di cifre non periodica: sono quei numeri
che separano due classi contigue di numeri
razionali
I numeri trascendenti si distinguono dai
numeri algebrici perché sono soluzioni di
equazioni non algebriche, cioè di
equazioni che non possono assumere la
forma 𝑃(𝑥) = 0. Tutti i numeri
trascendenti sono irrazionali. 1
4
1
Dicesi numero algebrico ogni numero reale o
complesso che possa essere soluzione di una
equazione algebrica, cioè di una equazione
riconducibile alla forma P(x)=0 dove P(X) è un
polinomio di grado n con coefficienti interi primi fra
di loro .
Ad esempio 3 è un numero algebrico in quanto è
soluzione dell’equazione algebrica x^2-3=0, -2/7 è un
numero algebrico in quanto è soluzione
dell’equazione algebrica 7x+2=0. Un numero
algebrico può essere razionale, irrazionale o
complesso.
I numeri non algebrici si dicono trascendenti. Numeri
trascendenti particolarmente importanti sono il
numero e e il numero π (pi greco). I numeri
trascendenti devono il loro nome al grande
matematico Eulero che, riferendosi ad essi, ebbe a
dire: “Questi numeri trascendono il potere dei
metodi algebrici”.
Non riportiamo la dimostrazione della trascendenza
di e: ci è voluto qualche secolo per dimostrarla…
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La forma in cui piu’
frequentemente compare e in
ambiti non strettamente
matematici è quella del naturali
log 𝑒 𝑥 = log 𝑛 𝑥 ovvero è stato
scelto come base dei logaritmi
naturali
Il Logaritmo
naturale
Il logaritmo naturale può essere definito come la funzione inversa dell’esponenziale, intendendo che ln 𝑥 è il
numero per cui 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri
reali positivi (𝐷 = 𝑅 + ) e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte
le 𝑥 reali positive. In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue: il logaritmo naturale di 𝑎 è
1
l'area sottesa dal grafico di 𝑦 = 𝑥 da 1 ad 𝑎 (vedi pagina seguente). In altre parole, è il risultato
𝑎1
dell'integrale* ln 𝑎 = ∫1 𝑥 𝑑𝑥 , ∀𝑎 > 0. Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà
fondamentale dei logaritmi: ln 𝑎𝑏 = ln 𝑎 + ln 𝑏.
Strettamente legato a questo è la particolare proprietà dell’esponenziale 𝑦 = 𝑒 𝑥 , poiché la sua derivata* 𝑦′ è
la stessa 𝑒 𝑥 : questo è il motivo per cui e è stato scelto come base dei logaritmi naturali.
*Capiremo questi passaggi quando faremo integrali e derivate
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Per i motivi appena detti il numero
𝑒 può essere definito come l'unico
numero 𝑎 ∈ 𝑅 a tale che ln 𝑎 = 1.
A= 1
Questo vuol dire che nte è che se
prendiamo un’iperbole
equilatera 𝑥𝑦 = 1 e vogliamo
trovare due punti sull’asse
delle ascisse (𝑥 1 = 1 e 𝑥 2) tali
che l’area A sottesa al grafico
dell’iperbole delimitata da 𝑦1=
𝑥 1 e 𝑦2= 𝑥2 sia uguale a 1, 𝑥 2 è
uguale a e. 1
L’identità di Eulero
𝑥1 = 1
𝑥2 = 𝑒
Infine
aggiungiamo che
durante il primo
seminario sulle
radici ennesime
dell’unità
abbiamo visto
che i numeri
complessi
possono essere
rappresentati su
un piano, il piano
di Gauss, in cui il
sistema di
riferimento è composto da un asse orizzontale, reale, e da uno verticale, che rappresenta la
componente immaginaria (𝑖𝑏) del numero complesso 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏
Ma z può anche essere espresso in forma goniometrica, cioè 𝑧 = 𝜌(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)
Da cui, possedendo strumenti di matematica
un po’ più avanzata, si può arrivare a scrivere
il numero 𝑧 = 𝜌𝑒 𝑖𝜃 . Se poi si prende sulla
circonferenza goniometrica 𝜃 = 𝜋, si ha:
𝑧 = 𝜌𝑒 𝑖𝜃 = 𝜌(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)
=> 1𝑒 𝑖𝜋 = 1(cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋)
-
1 e 0, elementi neutri rispettivamente
del prodotto e della somma,
𝑒, la base dei logaritmi naturali,
𝑖, l'unità immaginaria,
𝜋, il rapporto fra la lunghezza di una
circonferenza e il suo diametro.
𝑒
𝑧 𝑛 = 𝜌𝑛 (cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃)
Da questa si ricava l’equazione 𝑒 𝑖𝜋 + 1 = 0,
nota come “identità di Eulero”,
particolarmente apprezzata dai matematici
perché è un’identità che mette in relazione
𝑖𝜋
Si può dimostrare che il prodotto e quindi la
potenza di numeri complessi si possono
esprimere con la formula di De Moivre:
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+1=0
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=> 𝑒 𝑖𝜋 = −1
Lui è il matematico Benjamin Peirce
davanti alla lavagna sulla quale nel
1864, durante una conferenza,
scrisse l’equazione di Eulero, 𝑒 𝑖𝜃 =
(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)
Nell’occasione, Peirce disse:
“Signori, non abbiamo la
minima idea di che cosa
significhi questa equazione, ma
siamo sicuri che è qualcosa di
molto importante.”
Maria Cantale
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