Numero massimo di fattori primi di un numero naturale

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Numero massimo di fattori primi di un numero naturale
E' possibile dimostrare che la quantità di fattori primi di un numero naturale può essere al
massimo pari al logaritmo in base 2 del numero stesso.
Dimostrazione
Scegliamo n per indicare un generico numero naturale. Definiamo #(n) come la funzione
che restituisce il numero di fattori primi del numero n.
Se abbiamo
n=2
k
, allora sappiamo che
# n =# 2 k =#  
2⋅2⋯2 =k . Il numero n che
k volte
abbiamo scelto ha k fattori primi; si nota facilmente che ogni altro numero con k fattori
primi è certamente più grande di n, infatti, per ottenere un numero diverso da n e con lo
stesso numero di fattori primi, bisogna sostituire uno dei fattori di n con un altro numero
primo, che sarà certamente più grande di 2, essendo quest'ultimo il più piccolo numero
primo. Si otterrà un numero più grande di n.
Questo risultato equivale a dire che non esistono numeri con k fattori primi che siano più
piccoli di 2k, ovvero che i primi 2k-1 numeri hanno meno di k fattori primi (da 1 fino ad un
massimo di k-1 fattori primi), mentre 2k ne ha esattamente k (banalmente). Ciò significa
che # nk , ∀ n2k e che # n k , ∀ n2k .
Dato un generico numero naturale
n=2 x , x ∈ℝ , determiniamo x:
n=2 x ⇔ 2log
2
n 
=2 x ⇔ x=log 2 n .
Se x è intero, allora n è una potenza di 2 e il numero dei suoi fattori primi è proprio x;
altrimenti n è compreso tra due potenze di 2, diciamo 2m e 2m+1, che si può anche scrivere
2 m2 x 2m1 ⇔m xm1 . Per quanto detto prima, si sa che il numero non può avere
m+1 (o più) fattori primi, ma può averne m, perché è più grande di 2m, che ne ha m.
Per la monotonia della funzione logaritmo e per l'interezza della quantità di fattori primi di
un numero, si può dedurre ciò che segue:
# nlog 2 n .
La dimostrazione è conclusa.
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