risposte motivate quiz d`ammissione 2000-2001 matematica

RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D’AMMISSIONE 2000-2001
MATEMATICA
51. L’espressione log(x2) equivale a :
A)
2logx
B)
log2
C)
2log|x|
D)
log x
E)
log 2|x|
Dati 2 numeri positivi a e b (con a ≠ 1), si definisce logaritmo in base a del numero b (detto anche
argomento) l’esponente da attribuire alla base a per ottenere il numero b:
logab = y
se e solo se b = ay.
Tra le proprietà del logaritmo, ricordiamo quelle legate alle proprietà delle potenze : il logaritmo della
potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base della potenza
[1]
logabm = mlogab.
Applicando la [1] al problema proposto, si ottiene immediatamente che la corretta soluzione deve ricercarsi
tra la A) e la C). D’altra parte, il logaritmo esiste se e solo se sono verificate le 3 condizioni: a >0, a ≠ 1,
b>0. Mentre il log(x2) esiste per ogni x in quanto x2 è sempre positivo, il logx esiste solo per x >0. Pertanto,
poiché la A) non garantisce che l’argomento x del logaritmo sia positivo per ogni x, la soluzione corretta è la
C). Le soluzioni B), C) e D) non possono essere accettate perché tali relazioni non soddisfano la [1].
52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici?
A) 5 %
B) 2 %
C) 0,2 %
D) 0,5%
E) 0,02%
La percentuale di medici presente è espressa dal rapporto del numero dei medici ed il numero degli abitanti.
Più in generale, date due grandezze x e y, il rapporto x/y esprime il rapporto percentuale di x rispetto ad y.
Per il problema proposto :
numero di medici
1
0,2
% medici =  =  = 0, 002 =  = 0,2 %
numero di abitanti
500
100
Pertanto, la risposta corretta è la C).
D’altra parte, la risposta A) significa che sono presenti 5 medici per ogni 100 abitanti; la B) che sono
presenti 2 medici per ogni 100 abitanti; la D) che sono presenti 0,5 medici per ogni cento abitanti, cioè 1
medico ogni 200 abitanti. La E) è errata perché indica che sono presenti 0,02 medici per ogni 100 abitanti,
cioè 1 medico per ogni 5000 abitanti.
53.
A)
B)
C)
D)
E)
18 + 32 è uguale a :
50
2 20
10
98
20 2
La somma tra radicali aritmetici è possibile solo se i radicali sono simili tra di loro, cioè se i radicali hanno lo
stesso indice e la stessa base. Nel caso in cui ciò non accadesse, è possibile tentare di manipolare i radicali
per renderli simili. Con riferimento al problema proposto, la somma dei due radicali indicati vale :
18 + 32 = 9 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 = (portando fuori il 9 e il 4) = 3 2 + 2 2 = 7 2 =
(portando sotto al segno di radice il 7) = 49 ⋅ 2 = 98 .
La risposta corretta è evidentemente la D). Le altre risposte sono sbagliate poiché contengono errori di
calcolo.
54. L’equazione
− x2 −1
=3
x
A)
B)
C)
è impossibile
è indeterminata
è razionale
D)
è equivalente all’equazione
E)
ammette come soluzione x = −1
− x2 +1
=3
x
Un’equazione si dice impossibile (nel campo reale) quando non ammette soluzioni reali, ovvero quando non
esiste alcun x reale che la soddisfi.
L’equazione proposta è irrazionale (in quanto l’incognita è argomento di una funzione irrazionale) e fratta (in
quanto l’incognita compare al denominatore). Ciò esclude come possibile soluzione la C).
D’altra parte, il numeratore del membro destro dell’equazione esiste se e solo se : i) è definita la funzione
irrazionale; ii) il denominatore è diverso da zero:
i) − x 2 − 1 > 0
ii) x ≠ 0
la condizione i) non è mai verificata per x reale, in quanto la somma di 2 quantità negative non può mai
essere positiva. Dunque l’equazione è impossibile, poiché non può esistere nessun x reale che sia soluzione
dell’equazione e soddisfi la i). La soluzione corretta del problema è pertanto la A).
La B) è da escludere perché un’equazione non può contemporaneamente essere impossibile (cioè non
ammettere nessuna soluzione) e indeterminata (cioè ammettere infinite soluzioni). La risposta E) è sbagliata
poiché se provassimo a sostituire nell’equazione il valore della radice proposta x = −1, il termine irrazionale
non potrebbe essere calcolato perché non reale.
La risposta D) è sbagliata poiché è sufficiente osservare che:
− x 2 − 1 ≠− x 2 + 1 .
55. Consideriamo i tre numeri generici A, B, C.
Supponiamo:
- che il numero A sia minore di B
- che il numero C sia maggiore o uguale al numero B.
Quale delle seguenti affermazioni è SEMPRE VERA?
A)
B)
C)
D)
E)
A è minore o uguale a C
A è uguale a B
A è minore di C
B è maggiore di C
A è maggiore di C
Dati tre numeri generici A,B, C, una qualsiasi relazione d’ordine che li legasse, godrebbe della proprietà
transitiva. Così, ad esempio:
se
A ≤ B ≤ C, allora : A ≤ C .
Nel problema proposto la relazione d’ordine è:
A < B ≤ C.
Pertanto A < C. La soluzione corretta è dunque la C).
La risposta A) non tiene conto del fatto che A < B, dunque A < C e non A ≤ C.
La risposta B) è negata dall’ipotesi A < B.
La risposta D) è negata dall’ipotesi B ≤ C.
La risposta E) è negata dalla relazione d’ordine.
56. Quali di questi numeri : 10; e = 2,7183…; 0,1; 100; possono essere presi come base di logaritmi?
A)
B)
C)
D)
E)
solo il numero e = 27183 (base dei logaritmi naturali o neperiani)
solo i numeri minori di 100
solo i numeri maggiori di 1
solo il numero 10 ed il numero e = 2,7183 (base dei logaritmi naturali o neperiani)
tutti quelli indicati nella domanda (ed altri)
Dati 2 numeri positivi a e b (con a ≠ 1), si definisce logaritmo in base a del numero b (detto anche
argomento) l’esponente da attribuire alla base a per ottenere il numero b. Tra le proprietà del logaritmo,
ricordiamo quelle legate alle proprietà delle potenze : il logaritmo della potenza di un numero positivo è
uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base della potenza
[1]
logab = y
se e solo se b = ay.
Il logaritmo esiste se e solo se sono verificate le 3 condizioni: a >0, a ≠ 1, b>0.
Pertanto tutti i numeri presenti nella domanda possono essere utilizzati come base del logaritmo, poiché sono
tutti positivi. La risposta esatta è dunque la E). Tutte le altre risposte sono sbagliate, poiché affinchè un
numero sia base di un logaritmo è sufficiente che sia positivo.
57. Se A è un numero negativo, allora (−A)0,5 è sicuramente un numero:
A)
uguale a uno
B)
reale
C)
sempre uguale a 0,5
D)
in tutti i casi: intero
E)
in tutti i casi : nullo
Si consideri la seguente trasformazione (A <0)
(−A)0,5 = (−A)1/2 = − A
che sicuramente esiste perché è la radice di ordine pari di un numero non negativo (si ricordi sempre che il
problema ha posto A<0).
Dunque (−A)0,5 è sicuramente un numero reale, quindi la risposta corretta è la B).
Discutiamo le altre risposte. La A) è sbagliata perché una qualsiasi potenza (algebrica e non) è uguale a uno
solo nel caso in cui la base è uno o l’esponente è zero, e non è questo il caso.
La risposta C) è assurda; la risposta D) è contraddetta considerando, ad esempio, il caso in cui A è un
numero periodico negativo, mentre la risposta E) è impossibile perché richiederebbe A=0 contro l’ipotesi
(A<0).
58. Il parallelepipedo è una figura solida con:
A) 8 vertici, 12 spigoli, 4 diagonali
B) 8 vertici, 8 spigoli, 2 diagonali
C) 4 vertici, 8 spigoli, 2 diagonali
D) 8 vertici, 14 spigoli, 4 diagonali
E) 12 vertici, 8 spigoli, 4 diagonali
Un prisma è un poliedro delimitato da due poligoni uguali (basi) giacenti su piani paralleli, e da tanti
parallelogrammi (facce laterali) quanti solo i lati di una base.
Il parallelepipedo è un prisma che ha per basi due parallelogrammi.
E’ composto quindi da due basi e quattro facce laterali, cioè sei facce e otto vertici (risposte C ed E errate).
Le diagonali, i segmenti cioè che congiungono due vertici opposti, sono 4 (risposta B errata).
Dalla relazione di Eulero:
(numero delle facce) + (numero dei vertici) – 2 = (numero degli spigoli)
si ricava per il parallelepipedo che il numero degli spigoli è 6 + 8 – 2 = 12 (risposta D errata).
La risposta esatta dunque è la A.
Se il parallelepipedo ha per basi due rettangoli, si dice rettangolo.
Parallelepipedo rettangolo
59. I valori del massimo comun divisore e del minimo comune multiplo dei numeri: 15; 45; 105;
sono:
A) 15 e 105
B) 5 e 210
C) 15 e 210
D) 5 e 420 .
E) 15 e 315
La scomposizione in fattori primi di un numero naturale consiste nella rappresentazione del numero stesso
come prodotto dei suoi fattori primi, cioè come prodotto di suoi divisori che siano anche numeri primi. Per
ogni numero intero esiste una unica scomposizione in fattori primi e si ottiene operando divisioni successive:
si cerca il numero primo più piccolo che sia anche divisore del numero da scomporre, si esegue la divisione e
si applica lo stesso procedimento al quoziente ottenuto e così via fino a che si ottiene il quoziente 1.
La scomposizione in fattori primi dei numeri dati è:
15 = 3 * 5
45 = 3 * 3 * 5 = 32 * 5
105 = 3 * 5 * 7
Il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) fra due o più numeri interi è il maggiore fra gli interi che dividono,
senza resto, tutti i numeri dati. Si ottiene dalla scomposizione in fattori primi dei numeri dati, moltiplicando i
fattori primi comuni a tutti i numeri dati, ciascuno preso una sola volta, con il minimo esponente con cui
figura. Nel nostro caso i fattori primi comuni a 15, 45 e 105 sono 3 e 5 e quindi:
M.C.D. = 3 * 5 = 15
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più numeri interi è il minore dei multipli comuni a tutti i
numeri dati. Si ottiene dalla scomposizione in fattori primi dei numeri dati, moltiplicando i fattori primi
comuni e non comuni, ciascuno preso una sola volta, con il massimo esponente con cui figura. Nel nostro
caso i fattori primi comuni e non comuni sono 3 (con esponente massimo pari a 2) , 5 e 7 e quindi:
m.c.m . = 32 * 5 * 7 = 315
La risposta esatta è A.
60. Indicare la risposta giusta tra le seguenti affermazioni, che riguardano il calcolo del valore
medio (media aritmetica) di un certo numero N di numeri reali (tra cui alcuni sono positivi, altri
negativi):
A) il valore medio è ottenuto moltiplicando la somma (algebrica) degli N numeri per il loro numero N
B) il valore medio è ottenuto dividendo la somma dei valori assoluti degli N numeri per il loro numero N
C) il valore medio è ottenuto dividendo la somma (algebrica, cioè ogni numero con il suo segno)
degli N numeri per il loro numero N
D) non è possibile calcolare il valore medio di N numeri, se alcuni sono positivi e altri negativi
E) il valore medio è ottenuto dividendo la somma (algebrica, cioè ogni numero con il suo segno)
degli N numeri per la radice quadrata di N
Il valore medio di un numero N di numeri reali ci fornisce un valore singolo che rappresenta l’insieme dei
numeri reali dati e per questa ragione è chiamato anche misura di tendenza centrale. E’ definito come la
somma algebrica dei numeri reali dati divisa per il numero intero N (risposta C esatta), cioè:
n
x + x 2 + ... + x n
=
M (X ) = 1
n
∑x
i =1
n
i