TRIANGOLO QUALUNQUE
Teorema delle proiezioni
•
Caso del triangolo acutangolo
C
γ
b
a
β
α
B
A
H c
Osserviamo che:
e, per le considerazioni fatte sul triangolo rettangolo, si ha:
AB = AH + HB
ovvero
AH + HB = b cos α + a cos β
c = a cos β + b cos α
•
Caso del triangolo ottusangolo
C
a
b
H
A
B
c
AB = BH − AH = a cos β − b cos (π − α )
da cui:
ed allo stesso modo possiamo dimostrare che:
c = a cos β + b cos α
b = a cos γ + c cos α
a = b cos γ + c cos β
(1)
In un qualunque triangolo valgono dunque le uguaglianze (1).
Area di un triangolo
Notando che
e
A=
1
1
AB ⋅ CH = c b sen α
2
2
1
A = ab sen γ
2
1
A = ac sen β
2
(2)
possiamo affermare che
l'area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo tra essi
compreso.
Teorema dei seni
A=
Per le (2)
1
1
1
ab sen γ = ac sen β = b c sen α
2
2
2
b
a
c
b
=
=
e
sen β sen α
sen γ sen β
I lati di un triangolo sono direttamente proporzionali ai seni degli angoli opposti.
quindi:
Teorema di Carnot
Moltiplicando le (1) rispettivamente per −c, − b, a si ha:
−c 2 = −b c cos α − a c cos β
−b 2 = − a b cos γ − b c cos α
a 2 = a b cos γ + a c cos β
e, sommando membro a membro, si ricava:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α .
π 2
Se, in particolare, α =
a = b 2 + c 2 come dettato dal teorema di Pitagora.
2
Notiamo che per risolvere un triangolo qualunque occorre conoscere tre suoi elementi, di
cui, uno almeno, lineare.
Teorema della corda
La misura di una corda è data dal prodotto del diametro per il seno dell'angolo alla
circonferenza γ che sottende quella corda.
Distinguiamo i tre casi:
n
1. ACB = γ =
π
2
B
A
C
Per le proprietà dei triangoli rettangoli si ha: AB = 2r sen γ
2. 0 < γ <
π
2
A
B
C
E
Conduciamo il diametro per A e uniamo E con B. Osserviamo che:
nn
BCA = BEA perché angoli alla di circonferenza che insistono sullo stesso arco.
E, per quanto detto al precedente punto, si ha: AB = 2r sen γ
3.
π
<γ <π
2
C
B
A
E
nn
n
Tracciamo il diametro per B e uniamo E con A.
Ricordando che ACB + BEA = π perché angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una
circonferenza, possiamo scrivere: AB = 2r sen AEB = 2r sen(π − γ ) = 2r sen γ .
RAGGI
Per determinare il raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo
1
1
e
Da
A = (a + b + c ) ⋅ r
A = ab sen γ
2
2
ab
ricaviamo
r=
sen γ
a+b+c
Per ricavare il raggio R della circonferenza circoscritta ad un triangolo
a
1
R=
e A = bc sen α
Osserviamo che
2 sen α
2
abc
quindi: R =
4a
Ricaviamo, infine, il raggio Rex della circonferenza exinscritta ad un triangolo
Dall'osservazione della figura deduciamo che: AABC = AAOC + ACOB − AAOB
Quindi:
AABC =
1
1
1
AC ⋅ OD + BC ⋅ OE − AB ⋅ OK
2
2
2
Essendo OD = OE = OK = Rex
AABC =
e
AC = b; BC = a; AB = c
1
1
(b + a − c ) ⋅ Rex = (b + a + c − 2c ) ⋅ Rex = ( p − c ) ⋅ Rex
2
2
da cui si ricava:
Ed, allo stesso modo, si può dimostrare che:
A
p−c
A
Rex =
p −b
A
Rex =
p−a
Rex =
possiamo scrivere:
