coseno avere

Appunti di matematica
FORMULE GONIOMETRICHE
Le funzioni goniometriche di un angolo orientato non variano proporzionalmente all’angolo.
Ne consegue che, ad esempio, sen 2α non è uguale al doppio di senα, che cos   
non è uguale a cos  cos  , ecc.
Esempi:
 sen30  1 mentre sen60  sen2  30  3  2  sen30 .
2
2
 cos 30  3 e cos 60  1 mentre cos 90  cos60  30  0  cos60  cos 30
2
2
1. FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL COSENO
Consideriamo una circonferenza trigonometrica e due angoli, l’angolo AÔD   nel terzo
quadrante e l'angolo AÔC   nel secondo quadrante.
La loro differenza è CÔD    .
Costruiamo, nel primo quadrante, l’angolo AÔB  CÔD
y
y
Per le definizioni di seno e coseno di un
angolo, si ha:
x
A1; 0  , Dcos ; sen , Ccos ; sen ,
Bcos   ; sen  
Essendo AÔB  CÔD , le corde AB e CD sono congruenti perché corrispondenti di angoli
al centro congruenti e quindi si ha:
AB  CD
Applicando la formula della distanza tra due punti, otteniamo:
cos    12  sen2      cos  cos  2  sen  sen 2
cos     12  sen2      cos   cos  2  sen  sen 2
Sviluppando i quadrati, si ha:
cos 2      1  2 cos     sen2     
 cos 2   cos 2   2 cos  cos   sen 2  sen 2   2sensen
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Per la prima relazione fondamentale della goniometria, si ha:
cos 2      sen 2      1 , cos 2   sen 2  1 , cos 2   sen 2   1
Pertanto la precedente relazione diventa:
2  2 cos     2  2 cos  cos   2sensen
da cui si ottiene:
cos     cos  cos   sensen
2. FORMULA DI ADDIZIONE DEL COSENO
Per avere le formule di addizione basta sostituire nella formula precedente, al posto di  , il
valore -  .
Si ottiene:
cos      cos  cos    sensen    cos  cos   sensen
cos     cos  cos   sensen
3. FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL SENO
Per ottenere la formula di sottrazione del seno, ricordiamo le formule degli angoli associati
ed in particolare






cos     sen  , cos     sen  e sen     cos 
2
2




2

Sarà
 






sen     cos        cos        cos        
2

2


 2





 cos    cos   sen   sen  sen cos   cos sen
2

2

Quindi
sen     sen cos   cos sen
4. FORMULA DI ADDIZIONE DEL SENO
Per avere le formule di addizione basta sostituire nella formula precedente, al posto di  , il
valore -  .
Si ottiene:
sen      sen cos    cos sen    sen cos   cos sen
Quindi
sen     sen cos   cos sen
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5. FORMULA DI SOTTRAZIONE DELLA TANGENTE
sen    sen cos   cos sen

cos    cos  cos   sensen

Dividendo per cos  cos  , supposto cos   0 ,cos   0 , cioè  ,    k , si avrà:
2
sen cos  cos sen

tg  tg
cos  cos  cos  cos 
tg     

cos  cos  sensen
1  tgtg

cos  cos  cos  cos 
tg     
Quindi
tg     
tg  tg
1  tg  tg
con  ,  ,     

2
 k
6. FORMULA DI ADDIZIONE DELLA TANGENTE
Per avere le formule di addizione basta sostituire nella formula precedente, al posto di  , il
valore -  .
Si ottiene:
tg  tg    tg  tg
tg      

1  tgtg    1  tgtg
Quindi
tg     
tg  tg
1  tg  tg
con  ,  ,        k
2
7. FORMULA DI SOTTRAZIONE DELLA COTANGENTE
ctg    
cos    cos cos   sensen

sen    sen cos   cossen
Dividendo per sen  sen , supposto sen  0,sen  0, cioè  ,   k, si avrà:
cos  cos  sensen

sensen
sensen ctg  ctg  1
ctg    

sen cos  cos sen
ctg  ctg

sensen
sensen
Quindi
ctg    
ctg  ctg  1
con  ,  ,     k
ctg  ctg
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8. FORMULA DI ADDIZIONE DELLA COTANGENTE
Per avere le formule di addizione basta sostituire nella formula precedente, al posto di  , il
valore -  .
Si ottiene:
ctg  ctg    1  ctg  ctg  1 ctg  ctg  1
ctg     


ctg    ctg
 ctg  ctg
ctg  ctg
Quindi
ctg    
ctg  ctg  1 con
ctg  ctg
 ,  ,      k
9. FORMULE DI DUPLICAZIONE
Per avere le formule di duplicazione basta sostituire nella formula precedente, al posto di
β, il valore α.
 FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL SENO
sen     sen cos  cossen  2sen cos
Quindi
sen2   2sen cos
 FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL COSENO
cos     cos cos  sensen  cos2   sen2
Quindi
cos2   cos2   sen2
(1)
Ricordando che cos2   1  sen2 , sen2  1  cos2  la (1) diventa:
cos 2  1  sen2  sen2  1  2sen2
oppure
cos 2  cos2  1  cos2   2 cos2  1
In sintesi:
cos2   sen2

cos 2  1  2sen2
2 cos2   1

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 FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA TANGENTE
tg  tg
2tg

1  tgtg 1  tg 2
tg     
Quindi
tg 2 

 2  k
con   
  k 
 4
2
2tg
1  tg 2
 FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA COTANGENTE
ctg    
Quindi
ctg  ctg  1 ctg 2  1

ctg  ctg
2ctg
ctg 2  1
ctg2 
2ctg
con   k

2
10. FORMULE DI BISEZIONE
Dalle formule di duplicazione, sostituendo 2 con  e  con  si ha:
2
 FORMULA DI BISEZIONE DEL SENO
cos 2  1  2sen2  cos   1  2sen2

2
 sen2

2

1  cos 
2

1  cos 
2
Quindi
sen

2
1  cos
2

(2)
 FORMULA DI BISEZIONE DEL COSENO
cos 2  2 cos2   1  cos   2 cos2
Quindi
cos

2


2
 1  cos2
1  cos 
2

2
(3)
 FORMULA DI BISEZIONE DELLA TANGENTE
1. Dividendo membro a membro le formule (2) e (3) e supponendo che sia
cos   1 e quindi     2k , si ottiene:
1  cos 


sen

1  cos 
2
2 
tg 


2 cos
1  cos 
1  cos 

2
2
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Quindi
tg

2

1  cos 
1  cos 
con     2 k
2. Moltiplicando e dividendo per 1  cos , con   k , si ottiene:
tg

2

1  cos  1  cos     1  cos2 
1  cos  1  cos  
1  cos  2

sen
1  cos 
Quindi
tg

2

sen
1  cos 
con   k ,
3. Moltiplicando e dividendo per 1  cos , con   2k , si ottiene:
tg

2

1  cos  1  cos     1  cos  2
1  cos  1  cos  
1  cos2 
Quindi
tg

2

1  cos 
sen

1  cos 
sen
con   k
In sintesi:
 1  cos 

 1  cos 
  sen
tg  
2  1  cos 
 1  cos 
 sen

con     2 k
con     2 k
con   k
 FORMULA DI BISEZIONE DELLA COTANGENTE
1. Dividendo membro a membro le formule (3) e (2) e supponendo che sia
cos   1 e quindi     2k , si ottiene:
1  cos 

1  cos 
2
2 
ctg 

2 sen 
1  cos 
1  cos 

2
2
cos

Quindi
ctg


2

1  cos 
con   2 k
1  cos 
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2. Moltiplicando e dividendo per 1  cos , con   k , si ottiene:
ctg

2

1  cos  1  cos     1  cos2 
1  cos  1  cos  
1  cos  2

sen
1  cos 
Quindi
ctg

2

sen
con   2 k
1  cos 
3. Moltiplicando e dividendo per 1  cos , con     2k , si ottiene:
ctg

2

1  cos  1  cos     1  cos  2
1  cos  1  cos  
1  cos2 
Quindi
ctg

2

1  cos 
sen

1  cos 
sen
con   k
In sintesi:
 1  cos 

 1  cos 
  sen
ctg  
2  1  cos 
 1  cos 
 sen

con     2 k
con     2 k
con   k
11. FORMULE PARAMETRICHE
Esprimono seno e coseno di un angolo in funzione razionale della tangente dell'angolo
metà.
 FORMULA PARAMETRICA DEL SENO
Dalle formule di duplicazione, è noto che
sen2  2sen cos 
Utilizzando l'espressione sen2  cos2   1
, possiamo scrivere:
sen2 
Posto cos   0   

2
2sen cos 
cos 2   sen2
 k , dividiamo il numeratore e il denominatore per cos2 
sen cos 
sen cos 
2

2
2tg
cos  cos 
cos

sen2 


2
2
2
cos   sen 
cos 2  sen 2 1  tg 

2
cos 2 
cos 2  cos 
2
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Sostituendo  con
sen2

2

, si ottiene:
2

2  tg

1  tg 2
2
 sen 

2  tg

2
1  tg 2
2
Spesso, per comodità, si pone tg

2
con     2k

2
 t , per cui:
sen 
2 t
1t2
 FORMULA PARAMETRICA DEL COSENO
In modo analogo si ottiene:
cos2   sen2
cos 2  cos   sen   cos 2 
cos 2   sen2
2
Posto cos  0   

2
2
 k , dividiamo il numeratore e il denominatore per cos2 
cos 2  sen2

2
cos 2   sen2 cos 2  cos  1  tg 2
cos 2 


cos 2   sen2 cos 2  sen2 1  tg 2

2
cos 2  cos 
Sostituendo  con
 , si ottiene:
2
cos  
Spesso, per comodità, si pone tg

2
1  tg 2
1  tg 2

2

con     2k
2
 t , per cui:
1 t 2
cos  
1 t 2
con     2k
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