x - revolUcation

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Matematica – 7
Integrali indefiniti – Esercizi
Risolvere con il metodo della sostituzione il seguente integrale:
∫ cos√ x√ x dx=∫ cos √ x √1x dx=2∫ cos √ x 2 1√ x dx =2 sen √ x +c applico la 6 bis
Integrazione per sostituzione:
∫ cos√ √x x dx==∫ cost t 2t dt=2 ∫ cos t dt=2 sen t+ c==2 sen √ x +c
dove si è sostituito:
1) √ x=t
da cui ricavo x elevando al quadrato ambo i membri:
2) x=t 2
per finire, eseguo la “derivata” rispetto a t:
dx
=2 t → dx=2 t dt
3)
dt
METODO: integrazione per parti
∫ f ( x) g ' ( x) dx = f (x )g (x)−∫ g ( x ) f ' ( x) dx
Fattore differenziale
Fattore finito
Questa formula deriva dal teorema della derivata del prodotto di due funzioni:
D[ f ( x ) g (x )]= f ' (x )g (x )+ f ( x) g ' ( x )
da questa formula ricavo:
f ( x ) g ' ( x)= D[ f ( x )g ( x)]− f ' ( x) g ( x)
se ora calcolo l'integrale di questa espressioni, ottengo proprio la formula dell'integrazione per parti:
∫ f ( x) g ' ( x) dx =∫ D[ f (x )g ( x )] dx−∫ f ' ( x) g ( x)dx
infatti ∫ D [ f ( x) g ( x)]= f ( x) g ( x)
Esercizi
1.
1
1
1
1
1
11
1
1
∫ x 3 ln x dx= 4 ∫ 4x 3 ln x dx= 4 x 4 ln x−∫ 4 x 4 x dx= 4 x 4 ln x− 4 4 ∫ 4x3 dx= 4 x 4 ln x − 16 x 4 +c
x
x
x
x
x
2. ∫ x e dx =x e −∫ 1 e dx= x e −e + c
in integrali come questo, conviene scegliere come fattore differenziale g'(x), la funzione
esponenziale (oppure, seno, coseno, ecc.)
1
Per casa: ∫ 1 ln x dx= x ln x −∫ x dx=x ln x− x+ c
x
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Integrazione per parti: esercizi
1.
∫ ln x dx =
∫ f ( x) g ' ( x)dx = f (x )g (x)−∫ g ( x ) f ' ( x) dx
riscrivo come
∫ 1∗ln x dx=
in questo modo posso considerare 1 come la derivata di x, quindi nella formula
dell'integrazione per parti è g'(x), mentre lnx è f(x):
=∫ 1∗ln x dx= x ln x −∫ x
1
dx=x ln x−∫ 1 dx= x ln x−x +c
x
g'(x)
f(x)
Per verificare:
?
D[ x ln x− x+c ]=lnx
1
D[ x ln x− x+ c ]=1 ln x + x −1=ln x +1−1=ln x
x
2.
∫ x sen x dx= x (−cos x )−∫ 1(−cosx ) dx=−x cos x + sen x +c
f(x) g'(x)
3.
2
∫ x ln x dx =
x3
x3 1
x3
x3
ln x−∫
dx= ln x− +c
3
3 x
3
9
g'(x) f(x)
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