Matematica – 7 Integrali indefiniti – Esercizi Risolvere con il metodo della sostituzione il seguente integrale: ∫ cos√ x√ x dx=∫ cos √ x √1x dx=2∫ cos √ x 2 1√ x dx =2 sen √ x +c applico la 6 bis Integrazione per sostituzione: ∫ cos√ √x x dx==∫ cost t 2t dt=2 ∫ cos t dt=2 sen t+ c==2 sen √ x +c dove si è sostituito: 1) √ x=t da cui ricavo x elevando al quadrato ambo i membri: 2) x=t 2 per finire, eseguo la “derivata” rispetto a t: dx =2 t → dx=2 t dt 3) dt METODO: integrazione per parti ∫ f ( x) g ' ( x) dx = f (x )g (x)−∫ g ( x ) f ' ( x) dx Fattore differenziale Fattore finito Questa formula deriva dal teorema della derivata del prodotto di due funzioni: D[ f ( x ) g (x )]= f ' (x )g (x )+ f ( x) g ' ( x ) da questa formula ricavo: f ( x ) g ' ( x)= D[ f ( x )g ( x)]− f ' ( x) g ( x) se ora calcolo l'integrale di questa espressioni, ottengo proprio la formula dell'integrazione per parti: ∫ f ( x) g ' ( x) dx =∫ D[ f (x )g ( x )] dx−∫ f ' ( x) g ( x)dx infatti ∫ D [ f ( x) g ( x)]= f ( x) g ( x) Esercizi 1. 1 1 1 1 1 11 1 1 ∫ x 3 ln x dx= 4 ∫ 4x 3 ln x dx= 4 x 4 ln x−∫ 4 x 4 x dx= 4 x 4 ln x− 4 4 ∫ 4x3 dx= 4 x 4 ln x − 16 x 4 +c x x x x x 2. ∫ x e dx =x e −∫ 1 e dx= x e −e + c in integrali come questo, conviene scegliere come fattore differenziale g'(x), la funzione esponenziale (oppure, seno, coseno, ecc.) 1 Per casa: ∫ 1 ln x dx= x ln x −∫ x dx=x ln x− x+ c x Appunti a cura di Gianluca Coeli, licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License Integrazione per parti: esercizi 1. ∫ ln x dx = ∫ f ( x) g ' ( x)dx = f (x )g (x)−∫ g ( x ) f ' ( x) dx riscrivo come ∫ 1∗ln x dx= in questo modo posso considerare 1 come la derivata di x, quindi nella formula dell'integrazione per parti è g'(x), mentre lnx è f(x): =∫ 1∗ln x dx= x ln x −∫ x 1 dx=x ln x−∫ 1 dx= x ln x−x +c x g'(x) f(x) Per verificare: ? D[ x ln x− x+c ]=lnx 1 D[ x ln x− x+ c ]=1 ln x + x −1=ln x +1−1=ln x x 2. ∫ x sen x dx= x (−cos x )−∫ 1(−cosx ) dx=−x cos x + sen x +c f(x) g'(x) 3. 2 ∫ x ln x dx = x3 x3 1 x3 x3 ln x−∫ dx= ln x− +c 3 3 x 3 9 g'(x) f(x) Appunti a cura di Gianluca Coeli, licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License