Modulo 3 Unità 1

NOTA BENE:
Orientativamente, gli studenti del Liceo Scientifico, compresa l’opzione scienze applicate, degli Istituti Tecnici e degli
Istituti Professionali affronteranno lo studio di questa unità
nel 1° biennio.
Quelli dei Licei non scientifici nel prosieguo degli studi.
OBIETTIVI INTERMEDI
DI APPRENDIMENTO
(I numeri e le lettere indicate a fianco
contrassegnano le conoscenze, le abilità finali
specifiche e quelle trasversali correlate)
Una volta completata l’unità, gli allievi devono essere in grado di:
-
-
-
-
-
definire le funzioni seno, coseno e tangente di
un angolo [C1]
costruire un angolo di cui si conosce il seno o
il coseno o la tangente [C1]
enunciare e dimostrare le relazioni fra gli
elementi di un triangolo rettangolo [C2,T1]
risolvere i triangoli rettangoli, eventualmente
anche con l’ausilio di una calcolatrice scientifica [C2, T3]
enunciare e dimostrare le principali formule
goniometriche [A1,T1]
enunciare e dimostrare i teoremi del coseno e
dei seni [C2,T1]
risolvere i triangoli qualsiasi, eventualmente
anche con l’ausilio di una calcolatrice scientifica [C2,T3]
chiarire il concetto di pendenza di una retta e
calcolare la tangente dell’angolo di due rette
[A1,T1]
risolvere, con l’ausilio della trigonometria,
qualche semplice problema di geometria o di
ambito disciplinare diverso [A2,T2]
delineare con proprietà l’evoluzione della
trigonometria [A3]
1.1 Introduzione.
1.2 Seno e coseno di un angolo.
1.3 Tangente di un angolo. Pendenza di una retta.
1.4 Funzioni circolari.
1.5 Relazioni trigonometriche nel
triangolo rettangolo.
1.6 Relazioni trigonometriche in
un triangolo qualunque.
1.7 Risoluzione dei triangoli qualunque.
1.8 Alcune applicazioni.
1.9 Alcune formule fondamentali.
Angolo di due rette.
1.10 Nota storica.
Laboratorio di matematica.
Verifiche.
Una breve sintesi
per domande e risposte.
Funzioni circolari
e applicazioni
Unità 1
Modulo 3 – Funzioni circolari
1.1 INTRODUZIONE.
1.1.1 Incominciamo con alcuni quesiti:
a)
b)
c)
d)
Sai spiegare se le misure 15 m, 20 m, 36 m possono essere quelle dei lati di uno stesso triangolo?
Sai spiegare se gli angoli di 35° e 50° possono essere angoli di uno stesso triangolo rettangolo?
Sei in grado di calcolare il rapporto tra un cateto e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele?
Sei in grado di calcolare il rapporto tra il cateto maggiore e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo,
avente un angolo di 30°?
Se hai risolto le precedenti questioni, dovresti essere consapevole del fatto che siamo a conoscenza di
relazioni tra i lati di un triangolo e di relazioni tra gli angoli.
Così, per esempio, sappiamo che:
- se a è la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo e b, c sono quelle dei cateti, risulta:
[1]
a2 = b2 + c2;
- se ,  sono le misure (in gradi sessagesimali) degli angoli acuti di un triangolo rettangolo, si ha:
[2]
 +  = 90°.
Non conosciamo, però, alcuna relazione che leghi le misure dei lati con quelle degli angoli di un triangolo, se si esclude quella che, detto in parole povere, assicura che al lato maggiore è opposto l’angolo
maggiore. Questo perlomeno in generale, poiché in qualche situazione particolare abbiamo informazioni in merito. Così, per esempio, è noto che:
- i tre lati di un triangolo hanno uguale lunghezza se e solo se i suoi tre angoli hanno uguale ampiezza (che, in questo caso, è 60°);
- un triangolo ha due angoli congruenti se e solo se ha due lati congruenti;
- un triangolo è rettangolo e isoscele se e solo se le ampiezze dei suoi angoli sono: 90°, 45°, 45°;
- in un triangolo rettangolo l’ipotenusa è lunga il doppio di un cateto se e solo se l’angolo opposto a
quel cateto è ampio 30° (e, di conseguenza, l’altro angolo acuto è ampio 60°).
1.1.2 Ora, però, in molte circostanze è utile disporre di relazioni generali che leghino le misure dei lati e
degli angoli di un triangolo. Valga per tutti il seguente esempio.
Si voglia misurare l’altezza AB di una torre1 (Fig. 1) e non si riesca a farlo direttamente per qualche
ragione su cui non stiamo ad indagare.
FIG. 1
Si supponga, invece, di riuscire a misurare, ovviamente con gli strumenti necessari, la distanza CA di
un conveniente punto C dalla torre e l’angolo AĈB (angolo sotto cui è vista la torre dal punto C). Si
supponga, inoltre, di poter scegliere C in modo che BÂC sia retto.
Certo, se potessimo prendere C in modo che AĈB fosse ampio 45°, potremmo concludere subito che
1
La chiamiamo “torre” ma potrebbe trattarsi di qualunque cosa: un palo, un campanile, una casa, un albero, eccetera
2
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
AB è lunga quanto CA. Come sai, in questo modo Talete aveva calcolato le altezze delle piramidi.
Così pure, se potessimo prendere C in modo che AĈB fosse ampio 30° o 60°, avremmo ancora la possibilità di risalire rapidamente alla lunghezza di AB. Provaci tu.
Ma se non possiamo scegliere C in modo da trovarci in una situazione così favorevole?
In questo caso bisogna esplorare strade nuove ed è quello che andiamo a fare.
La parte della matematica che si occupa di queste cose è la trigonometria. La parola è l’unione di due
termini greci: trigonon (triangolo) e metron (misura). Appunto: misura dei triangoli.
1.2 SENO E COSENO DI UN ANGOLO.
1.2.1 Considerato un angolo aÔb di ampiezza α tale che 0°α90°, proiettiamo ortogonalmente i punti B1,
B2, ... del lato Ob sul lato Oa, ottenendo rispettivamente i punti A1, A2, ... (Fig. 2).
Qualunque sia la situazione – (a) oppure (b) oppure (c) – è evidente che si ha:
A1 B1
A 2 B2
 ...  k 1 ,
OA1
(b)

OA 2
 ...  k 2 ,
OB1
OB 2
OB1 OB 2
dove k1 e k2 sono due numeri reali, compresi chiaramente fra 0 ed 1 inclusi, che non dipendono dal
punto Bi scelto su Ob ma solo dall’ampiezza α dell’angolo aÔb considerato.
Questi due numeri k1 e k2 sono insomma due funzioni di α: si chiamano rispettivamente seno e coseno
dell’angolo α. Si scrive:
sen α = k1 , cos α = k2 .
(a)

(c)
FIG. 2
A volte, al posto di sen α si scrive sin α oppure sen(α) o sin(α); al posto di cos α si scrive cos(α).
In particolare si ha evidentemente:
sen 0° = 0 , sen 90° = 1 , cos 0° = 1 , cos 90° = 0 .
Un paio di esercizi per te.
1. Considera il numero k tale che:
(a) k = 3/2;
(b) k = 2/3;
(c) k = 1/2;
(d) k = 4/3.
Se esiste un angolo, compreso fra 0° e 90°, il cui seno sia uguale a k, costruiscilo graficamente.
2. Considera il numero k tale che:
(a) k = 3/2;
(b) k = 2/3;
(c) k = 1/2;
(d) k = 4/3.
Se esiste un angolo, compreso fra 0° e 90°, il cui coseno sia uguale a k, costruiscilo graficamente.
1.2.2 Ci proponiamo adesso di determinare il seno ed il coseno di alcuni angoli particolari. Per la precisione
quelli di 30°, 45°, 60°.
3
Modulo 3 – Funzioni circolari
Considerato l’angolo aÔb, ampio 30° (Fig. 3), prendiamo sul lato Ob un qualunque punto B – distinto
da O – e proiettiamolo ortogonalmente su Oa. Risulta chiaramente che:
AB
OA
, cos 30 
.
sen 30 
OB
OB
1
3
D’altronde: AB = OB e OA =
OB . Pertanto:
2
2
1
3
.
sen 30  , cos 30 
2
2
Con ragionamenti pressoché identici al precedente, e che lasciamo sviluppare a te per esercizio, si trova che:
1
3
2
2
, cos 60  ;
, cos 45 
.
sen 60 
sen 45 
2
2
2
2
FIG. 3
FIG. 4
1.2.3 La definizione di seno e di coseno dell’angolo α, data prima, vale solo se 0°α90°, ma può essere
opportunamente modificata in modo da reggere per un angolo qualsiasi.
Sia allora un angolo orientato (a,b) di origine O e di ampiezza α qualunque.
Riferiamo il suo piano ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) in modo che la semiretta Oa
coincida con la semiretta positiva Ox ed in questo piano tracciamo la circonferenza di centro O e raggio 1, nota come circonferenza goniometrica (a volte si parla di cerchio trigonometrico).
Essa interseca in P il secondo lato Ob dell’angolo (a,b) (Fig. 4).
Ebbene, si pone per definizione2:
sen α = yP ,
cos α = xP .
Ed è appena il caso di notare che, quando 0°α90°, questa definizione s’identifica con la precedente.
Osserviamo poi che, essendo α la misura di uno degli infiniti angoli orientati (a,b), ognuno di tali angoli ha una misura del tipo:
α + k  360°, dove kZ.
D’altra parte il punto P, in cui il secondo lato Ob di ognuno di tali angoli (a,b) interseca la circonferenza goniometrica, è sempre lo stesso. Per cui:
[3]
sen (α + k 360°) = sen α , cos (α + k 360°) = cos α .
1.2.4 Osserviamo adesso che mentre il punto P descrive la circonferenza goniometrica, la sua ordinata y P e
la sua ascissa xP assumono valori compresi fra -1 e +1, estremi inclusi. Di modo che, qualunque sia
2
Il termine “seno” deriva dalla trigonometria indiana, anche se pare che esso sia nato da un equivoco. In effetti, i matematici
indiani avevano dato il nome di jiva a metà della corda (il nostro “seno”), e gli Arabi avevano ereditato questo termine trasformandolo in jiba. Nella lingua araba v’è anche la parola jaib, che significa “baia” o “insenatura”. Sembra che quando
Roberto di Chester (1145), uno dei traduttori dell’Algebra di al-Khuwarizmi, si trovò a dover tradurre il termine tecnico jiba lo abbia confuso con la parola jaib (per il fatto che le vocali nelle lingue semitiche non si scrivono); pertanto ricorse alla
parola latina sinus, che significa appunto “baia” o “insenatura”.
Così sostiene C. B. Boyer nella sua Storia della matematica.
4
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
l’ampiezza α, risulta:
[4]
-1  sen α  1 , -1  cos α  1 .
In particolare si trovano agevolmente i valori riassunti nella seguente tabella (Tab. 1):

0°
90°
180°
270°
360°
sen 
0
1
0
-1
0
cos 
1
0
-1
0
1
TAB. 1
Da questa tabella e dai valori del seno e del coseno degli angoli di 30°, 45°, 60° si desume che si ha:
(sen α)2 + (cos α)2 = 1,
2
o anche, scrivendo per comodità sen α e cos2α al posto di (sen α)2 e (cos α)2 rispettivamente:
[5]
sen2α + cos2α = 1 .
In verità, la relazione [5] – conosciuta come relazione pitagorica – vale per ogni ampiezza α.
La dimostrazione di questo fatto è immediata. Basta osservare (Fig. 4) che, in virtù del teorema di Pi2
2
tagora, si ha: MP 2  OM  OP , da cui – tenendo presente che i segmenti orientati MP e OM hanno
misure rispettivamente sen e cos, e che la misura di OP è 1 – segue appunto la relazione suddetta.
Questo, chiaramente, significa che di un angolo non possono essere fissati arbitrariamente il seno e il
coseno, ma può essere fissato uno solo di tali valori, sempre con le limitazioni [4].
Così, per esempio, è assurdo affermare che, di un angolo α, risulta cosα=1/3 e senα=2/3, dal momento
che si avrebbe sen2α+cos2α1. Mentre, se α è un angolo compreso tra 90° e 180°, tale che senα = 3/5,
9 16
4
si ha: cos2α = 1=
e perciò: cosα =  .
5
25 25
Qualche esercizio per te.
1. Stabilisci se esiste un angolo acuto  tale che:
(a) sen  = 2/3, cos  = 5/6;
(b) sen  = 5/13, cos  = 12/13.
2. Di un angolo acuto calcola:
il coseno sapendo che il seno è 3/5;
il seno sapendo che il coseno è 1/3;
il seno sapendo che il coseno è 0,234; il coseno sapendo che il seno è 0,5.
1.2.5 Con considerazioni di geometria elementare abbiamo determinato il seno ed il coseno di alcuni
particolari angoli compresi fra 0° e 90°, precisamente quelli di 30°, 45° e 60°.
Utilizzando la circonferenza goniometrica in maniera conveniente, si possono trovare il seno e il coseno di altri angoli, opportunamente associati ai precedenti, come, tanto per fare degli esempi, l’angolo
di 120°, supplementare di 60°, o l’angolo di 210°, ottenuto da quello 30° sommandogli 180°. Il procedimento da seguire è molto simile a quello che andiamo ad esporre, relativo ai cosiddetti “angoli supplementari” ed “angoli complementari”.
● Angoli supplementari.
Sono tali due angoli, α e 180°-α, le cui ampiezze hanno somma 180°. Si ha:
sen(180°-α) = sen α , cos(180°-α) = -cos α.
Per la dimostrazione si considerano i due angoli AÔP=α ed AÔP’=180°-α (Fig. 5) e, dopo aver
provato che i due triangoli OMP ed OM’P’ sono congruenti, si conclude che yP’ = yP e xP’ = -xP; da
qui seguono le due relazioni suddette.
5
Modulo 3 – Funzioni circolari
FIG. 5
FIG. 6
● Angoli complementari.
Sono tali due angoli, α e 90°-α, le cui ampiezze hanno somma 90°. Si ha:3
sen(90°-α) = cos α , cos(90°-α) = sen α .
La dimostrazione si sviluppa come la precedente. Basta considerare gli angoli AÔP= ed AÔP’=
90°- (Fig. 6) e, dopo aver fatto vedere che i due triangoli OMP ed OM’P’ sono congruenti, si conclude che yP’ = xP e xP’ = yP; da qui seguono poi le relazioni suddette.
A titolo di esercizio, ti proponiamo di calcolare il seno e il coseno dei seguenti angoli (se occorre, puoi
servirti della circonferenza goniometrica):
120°, 135°, 150°; 210°, 225°, 240°; 300°, 315°, 320°; -30°, -45°, -60°.
1.2.6 Seguendo altri procedimenti, più complessi di quelli su accennati e sui quali però non ci possiamo
soffermare, sarebbe possibile calcolare il seno e il coseno di ogni angolo e quindi costruire apposite
“tavole” che permettono di risolvere, direttamente o attraverso quello che si chiama un processo
d’interpolazione, i seguenti due problemi:
1) dato un angolo, trovarne il seno e il coseno;
2) dato il seno (o il coseno) di un angolo, determinare l’angolo.
In effetti, in questo modo, appunto con l’uso delle tavole, si procedeva fino ad alcuni anni fa, prima
dell’invenzione del calcolo automatico. Ora tutto ciò è superato, giacché una semplice calcolatrice
scientifica (la quale abbia naturalmente i tasti funzionali “seno” e “coseno”) consente di risolvere, con
estrema facilità e rapidità, entrambi i problemi suddetti. S’intende che la calcolatrice deve essere predisposta in modo da esprimere gli angoli in gradi e non in eventuali altre misure. Anche per questo vi
sono dei tasti appositi.
● Occupiamoci del primo problema:
nota l’ampiezza di un angolo, calcolarne il seno e il coseno.
Si voglia allora calcolare, per esempio, sen 70°. Le cose vanno all’incirca in questo modo (vi sono delle differenze secondo il tipo di calcolatrice impiegata):
Imposta:
Premi:
La calcolatrice visualizza:
70
sin
0,93969
Pertanto: sen 70°  0,93969.
Si voglia calcolare cos 70°. Come sopra:
3
Imposta:
Premi:
La calcolatrice visualizza:
70
cos
0,34202
Il termine “coseno” sta, in effetti, per “complementi sinus”, cioè seno del (l’angolo) complementare. Il termine compare per
la prima volta (1620) in un’opera del matematico inglese Edmund Gunter (1581-1626), dal titolo Canon triangulorum.
6
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
Pertanto: cos 70°  0,34202.
Il procedimento si complica, ma solo un po’, se la misura dell’angolo è espressa in gradi, primi e secondi. In effetti in questo caso è necessario ricondurre preliminarmente tutto in gradi. Per esempio, volendo calcolare cos 53°42’27”, dapprima si trasforma la misura dell’angolo in gradi, in questo modo:
O
42 27 

53°42’27” =  53 
 2   53,7075 ,
60
60 

quindi si procede come sopra. Si trova: cos 53°42’27”  0,59191.
● Occupiamoci adesso del secondo problema:
noto il seno o il coseno di un angolo, determinarne la misura.
Per risolvere questa questione si rende necessaria, in via preliminare, qualche considerazione supplementare. Il fatto è che, mentre ogni angolo ha un solo seno e un solo coseno, l’inverso non è vero. Infatti, ad esempio, di angoli di ampiezza α tale che sen(α)=0.5, non c’è solo l’angolo di 30° ma, cosa
che si può facilmente costatare anche graficamente, c’è pure quello di 120°. E poi ci sono gli angoli
che da questi differiscono per multipli di 360°. Orbene, la calcolatrice ci fornisce uno solo di questi
angoli; precisamente quello di 30°. Gli altri li ricava il risolutore ragionando sulla base di quanto specificato sopra.
Ciò detto, si voglia calcolare l’angolo  il cui seno è 3/5, ossia sen() = 3/5 = 0,6. Le cose non sono
molto diverse da quelle descritte nella risoluzione dell’altro problema. Si tratta soltanto di cambiare un
tasto funzionale:
Imposta:
Premi:
La calcolatrice visualizza:
0,6
INV sen
36,8699
Pertanto, una volta trasformato l’angolo 36,8699° in gradi, primi e secondi:   36°52’12”.
Analogamente per la determinazione di un angolo di cui si conosce il coseno. Per esempio, se
quest’angolo è tale che cos = 3/5, si trova:   53°7’48”.
● Ti proponiamo di fare un po’ di esercizio con una calcolatrice:
1. Calcola:
a) sen 48°15'27".
b) sen 210°27'.
c) sen(-32°58').
d) cos 125°38'45".
e) cos 330°50'.
f) cos(-58°27').
2. Determina un angolo  in gradi, primi e secondi sapendo che:
a) cos α = 0,279.
b) cos α = -0,5474.
c) cos α = -0,71.
d) sen α = 0,4725.
e) sen α = -0,54.
f) sen α = -0,47.
1.3 TANGENTE DI UN ANGOLO. PENDENZA DI UNA RETTA.
1.3.1 Si definisce tangente di un angolo α il numero reale – indicato con tg α o tang α o ancora con tan α,
oppure con tg(α) e simili – tale che:
sin α
.
tg α 
cos α
Chiaramente tg(α) esiste solo se cos(α)0 ossia se α  90° + k 180°, kZ.
In particolare, dopo semplici calcoli, si trova:
3
tg 0° = 0 , tg 30° =
, tg 45° = 1 , tg 60° = 3 .
3
Anche per la determinazione della tangente di un dato angolo e dell’angolo di data tangente ci si serve
7
Modulo 3 – Funzioni circolari
di una calcolatrice, la quale abbia ovviamente il tasto funzionale “tangente”. Le cose vanno esattamente come per il seno e il coseno.
1.3.2 Alcuni esercizi per te.
1. Senza usare strumenti di calcolo automatico, calcola la tangente dei seguenti angoli:
120°, 135°, 150°; 210°, 225°, 250°; 300°, 315°, 330°; -30°, -45°, -60°.
2. Con l’uso di una calcolatrice, calcola la tangente dei seguenti angoli:
22°35'45"; 127°35'; 238°27'; -32°43'35".
3. Con l’uso di una calcolatrice, determina in gradi, primi e secondi un angolo la cui tangente è:
0,759; 2,47; -0,597; -3,25.
4. Senza servirti della calcolatrice determina il seno e il coseno di un angolo acuto sapendo che la sua
tangente è:
1; 3/4; 4/3; 5/12; 12/5.
5. Senza servirti della calcolatrice determina il seno e il coseno di un angolo ottuso sapendo che la sua
tangente è:
1; 3/4; 4/3; 5/12; 12/5.
1.3.3 La funzione tangente è stata introdotta nel 1583 dal danese Thomas Finck (1561-1656) in un’opera
tal titolo Geometria rotundi. La sua denominazione ha una spiegazione geometrica, connessa proprio
alla retta tangente ad un cerchio. Vediamola.
Nel piano, riferito ad un sistema cartesiano ortogonale (Oxy), sia A il punto in cui la circonferenza goniometrica interseca il semiasse positivo delle x e sia t la retta tangente in A alla circonferenza (Fig. 7).
Il secondo lato Ob dell’angolo orientato (a,b) di ampiezza α, intersechi la circonferenza e la retta t rispettivamente in P e in T. Come noto: yP=senα, xP=cosα . D’altra parte, per l’evidente similitudine dei
y
y
sen 
AT MP
triangoli OAT e OMP, si ha:
, ossia: T  P e perciò: y T 
, ovvero: tgα=yT.

1
xP
cos 
OA OM
Osserviamo poi che, essendo  la misura di uno degli infiniti angoli orientati (a,b), ogni altro angolo di
ampiezza α + k 180°, kZ, è tale che il suo secondo lato Ob interseca la tangente t alla circonferenza
goniometrica sempre nel punto T. Ragion per cui:
tg (α + k 180°) = tg α , kZ.
FIG. 7
FIG. 8
1.3.4 L’introduzione della tangente di un angolo permette di chiarire il significato di pendenza (o coefficiente angolare) di una retta.
A questo riguardo, nel piano cartesiano ortogonale (Oxy), nel quale supponiamo disegnate la circonferenza goniometrica e la retta t tangente ad essa nel punto (1,0) (Fig. 8), consideriamo la retta r di equazione y=mx. Essa interseca t nel punto T(1,tgα), dove α è l’angolo di cui deve ruotare in senso antiorario l’asse x, intorno al punto in cui lo seca la retta r (nella fattispecie intorno ad O), per sovrapporsi alla stessa retta r. Questo angolo α – lo ricordiamo – è chiamato angolo della retta r con l’asse x.
8
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
D’altra parte è evidente che yT = m1 = m. Pertanto:
m = tg α .
Vale a dire:
La pendenza di una retta è la tangente dell’angolo che essa forma con l’asse x.
Per esempio, volendo l’equazione della retta passante per il punto A(2,1) e formante un angolo di 45°
con l’asse x, si ha: y-yA = m (x-xA).
Siccome: xA = 1, yA = 2, m = tg 45° = 1, l’equazione diventa: y-2 = 1(x-1), ossia: y = x+1.
1.3.5 Ti proponiamo un esercizio su quest’ultimo argomento.
Riferito il piano ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), trova l’equazione della retta passante per il punto P e formante l’angolo  con l’asse x, sapendo che:
1. P(1,0),  = 30°.
2. P(-1,-1),  = 45°.
3. P(2,3), tg  = 2/3.
4. P(-2,1), tg  = 1/2.
5. P(1,-2), cos  = 3/4.
6. P(0,-2), cos  = -1/2.
7. P(-1,3), sen  = 3/5 con 90°<<180°.

7
7
3
9
3
3
 ; ... ; 7) y   x  ]
x  2 
[R. 1) y 
; ... ; 5) y 
x


3
3 
4
4
3
3

1.4 FUNZIONI CIRCOLARI.
1.4.1 La funzione, che ad ogni valore x (espresso in gradi sessagesimali) associa sen(x), si chiama funzione
seno di x e si indica con:
sen x e anche con sin x oppure con sen(x) o sin(x).
Abbiamo visto che, kZ, sen(x + k 360°) = sen x e 360° è il più piccolo valore per cui ciò avviene.
Questo fatto si esprime dicendo che:
la funzione seno è una funzione periodica con periodo 360°.
Questo implica che, ai fini della rappresentazione del grafico di tale funzione, chiamato sinusoide, è
sufficiente disegnarlo in un periodo (per esempio fra 0° e 360°) per sapere come si sviluppa su tutto
l’asse x: basta infatti operare traslazioni di uno o più periodi nella direzione dell’asse x medesimo.
Ora noi sappiamo già che la funzione y = sen x:
- assume il valore y = 0 nei punti x = 0°, x = 180° ed x=360°, il valore y = 1, che è il suo massimo,
nel punto x = 90° ed il valore y = -1, che è il suo minimo, in x = 270°;
- cresce da 0 al valore massimo 1 mentre x cresce da 0 a 90°, decresce da 1 a 0 mentre x cresce da
90° a 180°, continua a decrescere da 1 al valore minimo -1 mentre x cresce da 180° a 270° e torna a
crescere da -1 a 0 mentre x cresce da 270° a 360°;
- assume alcuni valori particolari come y = 1/2 in x = 30° ed y = 3 / 2 in x = 60°.
Si potrebbero trovare altri punti della sinusoide ed in base ad essi disegnarla.
Vogliamo però descrivere un procedimento grafico per ottenere lo scopo.
Dopo aver riferito il piano ad un sistema (non monometrico) di assi cartesiani ortogonali (Oxy), si
traccia la circonferenza avente il raggio uguale all’unità di misura scelta sull’asse y ed il centro in un
punto C dell’asse x, scelto convenientemente (Fig. 9). Si prende quindi sul semiasse positivo delle x
un punto arbitrario A, al quale si attribuisce l’ascissa 360. Dopo di che si suddividono il segmento OA
e la circonferenza in un numero conveniente di parti uguali, ad esempio 16. Si chiami G il generico
punto di divisione sul segmento e Q il generico punto di divisione sulla circonferenza: la parallela
all’asse y condotta per G e la parallela all’asse x condotta per Q si intersecano nel punto P della sinu9
Modulo 3 – Funzioni circolari
soide. La linea che unisce tali punti è dunque la sinusoide ed ovviamente essa è tanto più vicina alla
configurazione effettiva quanto maggiore è il numero dei punti di divisione.
FIG. 9
1.4.2 Come per il seno, la funzione, che ad ogni valore x (espresso in gradi sessagesimali) associa cos(x), si
chiama funzione coseno di x e si indica con:
cos x oppure cos(x).
Di nuovo, kZ, cos (x + k 360°) = cos x e 360° è il più piccolo valore per cui ciò avviene. Pertanto
anche:
la funzione coseno è una funzione periodica con periodo 360°.
Ai fini del tracciamento del suo grafico – detto cosinusoide – si potrebbe seguire una via analoga a
quella su esposta riguardo alla sinusoide. Ma vogliamo descrivere un procedimento diverso.
Si dimostra in via preliminare che risulta:
cos(x) = sen(x+90°).
Di ciò lasciamo a te il facile compito, segnalandoti che puoi utilizzare la circonferenza goniometrica.
In conseguenza di questo fatto, le curve di equazione y=sen(x+90°) e y=cos(x) si identificano.
D’altronde la curva y=sen(x+90°) si ottiene da y=sen(x) con la traslazione di componenti (-90°,0).
Pertanto (Fig. 10):
La cosinusoide non è altro che una sinusoide traslata del vettore di componenti (-90°,0).
FIG. 10
1.4.3 La funzione, che ad ogni valore x (espresso in gradi sessagesimali) purché cos(x)0, associa tg(x), si
chiama funzione tangente di x e si indica con:
tg x o anche con tang x o tan x oppure con tg(x), tang(x), tan(x).
Sappiamo che tg(x + k 180°) = tg x, kZ, e 180° è il più piccolo valore per cui ciò avviene. Pertanto:
la funzione tangente è una funzione periodica con periodo 180°.
Cosicché, ai fini del disegno del grafico di tale funzione, chiamato tangentoide, è sufficiente rappresentarlo in un periodo, per esempio fra 0° e 180°, per sapere come si sviluppa su tutto l’asse x.
Ora, pensando al significato geometrico di tg x, si sa che la funzione y = tg x:
- assume il valore y = 0 sia per x = 0° sia per x = 180°;
- cresce da 0 a valori sempre più grandi in assoluto e positivi mentre x cresce da 0 a 90°, ma in
x=90° non esiste;
10
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
- appena superato x=90° diventa negativa con valori in assoluto “molto grandi” ma continua a crescere da questi valori, negativi e grandi in assoluto, al valore 0 mentre x cresce da 90° a 180°.
Il fatto che all’infinito la curva si accosti alla retta x=90° si esprime dicendo che tale retta è un asintoto per la curva.
La tangentoide assume poi valori particolari come y = 1 in x = 45° e y = 3 in x = 60°.
Si potrebbero trovare altri punti della curva e disegnarne quindi l’andamento.
Vogliamo però descrivere un procedimento grafico simile a quello delineato sopra per la sinusoide.
Dopo aver riferito il piano ad un sistema (non monometrico) di assi cartesiani ortogonali (Oxy), si
traccia la semicirconferenza avente il raggio uguale all’unità di misura scelta sull’asse y ed il centro in
un punto C dell’asse x, scelto convenientemente, e situata nel semipiano y0 (Fig. 11). Si prende
quindi sul semiasse positivo delle x un punto arbitrario A, al quale si attribuisce l’ascissa 180. Dopo di
che si suddividono il segmento OA e la circonferenza in un numero conveniente di parti uguali. Si
chiami G il generico punto di divisione sul segmento e Q il generico punto di divisione sulla circonferenza. Si dica inoltre R il punto in cui la retta OQ interseca l’asse y. La parallela all’asse y condotta
per G e la parallela all’asse x condotta per R si intersecano nel punto P della tangentoide. La linea che
unisce tali punti è dunque la tangentoide ed ovviamente essa è tanto più vicina alla configurazione reale quanto maggiore è il numero dei punti di divisione.
In figura il disegno è prolungato anche agli x compresi fra 180° e 360°.
FIG. 11
1.4.4 Le funzioni seno, coseno e tangente sono accomunate sotto la denominazione di funzioni circolari (o
anche funzioni goniometriche o funzioni trigonometriche).
Assieme ad esse, ma oggigiorno piuttosto raramente e soprattutto in discipline come l’astronomia e la
topografia, sono usate altre tre funzioni, che qui ricordiamo per semplice curiosità. Si tratta delle funzioni secante, cosecante e cotangente, reciproche rispettivamente di coseno, seno e tangente. Vale a
dire, per valori dell’angolo α che non fanno perdere di significato alle funzioni medesime:
1
1
1
sec α =
, cosec α =
, cotg α =
.
cos 
sin 
tg 
1.5 RELAZIONI TRIGONOMETRICHE
NEL TRIANGOLO RETTANGOLO.
1.5.1 Ci proponiamo adesso di trovare delle relazioni tra gli elementi – lati ed angoli – di un generico
11
Modulo 3 – Funzioni circolari
triangolo rettangolo. Premettiamo anzitutto che, preso un triangolo ABC rettangolo in A (Fig. 12), per
nostra comodità indichiamo una volta per tutte con a la misura dell’ipotenusa e con b, c quelle dei cateti opposti rispettivamente ai vertici B, C; e inoltre indichiamo con  la misura dell’angolo retto (α =
90°) e con ,  le misure degli angoli acuti di vertici B, C nell’ordine.
FIG. 12
1.5.2 Consideriamo il triangolo ABC, rettangolo in A (Fig. 12). Per definizione di seno e di coseno di un
AC
AB
angolo acuto si ha:
 sen  ,
 cos ; ossia, per le convenzioni fatte:
BC
BC
b = a sen  , c = a cos  .
D’altra parte gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono evidentemente complementari, per cui:
sen = cos e cos = sen. Di conseguenza:
c = a sen  , b = a cos  .
In definitiva si hanno i due seguenti gruppi di formule:
b  a senβ
b  a cos γ
[6]
,
.


 c  a senγ
 c  a cos β
Esse riassumono le seguenti proprietà:
In ogni triangolo rettangolo, la lunghezza di ciascun cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per:
- il seno dell’angolo opposto ad esso;
- il coseno dell’angolo acuto adiacente ad esso.
1.5.3 Dalle relazioni precedenti si ottengono poi facilmente queste altre:
[7]
b = c tg α,
b a sen β c a sen γ
, 
; cioè:

c a cos β b b cos γ
c = b tg  .
Ossia, detto a parole:
In ogni triangolo rettangolo, ciascun cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo
opposto al primo.
1.5.4 Le precedenti relazioni [6] e [7], unite al fatto che =90°, permettono di risolvere i triangoli rettangoli, vale a dire di calcolare gli elementi incogniti di un triangolo rettangolo, noti ovviamente alcuni altri
elementi capaci di determinarlo. I casi possibili sono evidentemente i seguenti:
a) si conoscono due lati; b) si conoscono un lato e un angolo acuto.
● ESEMPIO 1. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, si ha: b = 3, c = 4. Determinare a, , .
RISOLUZIONE. Mediante il teorema di Pitagora si trova a = 5. Quindi, in virtù della relazione b = a sen
, si trova sen=3/5 e, con una calcolatrice: 36°52’12”.
Una volta trovato , l’angolo  si trova subito giacché è il complementare di : 53°7’48”.
12
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
● ESEMPIO 2. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, si ha: a = 5,  = 70°. Determinare , b, c.
RISOLUZIONE. Subito si ottiene  = 90°- = 20°. Inoltre, con un calcolatrice:
b = a sen  = 5 sen 70°  5 × 0,939  4,7 ; c = a cos  = 5 cos 70°  5 × 0,342  1,7 .
1.5.5 Ti proponiamo alcuni esercizi.
a) Tenendo presenti le notazioni stabilite, trovare (utilizzando la calcolatrice solo quando non ne puoi
fare a meno) gli elementi incogniti del triangolo ABC, rettangolo in A, sapendo che:
1. a = 50, b = 25.
2. a = 70,  = 30°.
3. b = 50, c = 25 3 .
4. a = 172.27, b = 136.29. 5. a = 15,  = 27°15’.
6. b = 30,  = 30°.
7. c = 50,  = 35’45”.
8. b = 38.74,  = 27°45’. 9. c = 105.69,  = 52°12’23”.
b) Una scala, appoggiata ad una parete, la tocca ad un’altezza di 2.5 m dal pavimento, mentre la sua
base d’appoggio è staccata di 90 cm dalla parete. Di quanto la scala è inclinata rispetto al pavimento?
c) Calcolare la misura, espressa in gradi sessagesimali ed approssimata ai primi, dell’angolo formato
dalla diagonale di un rettangolo aureo con il maggiore dei lati del rettangolo. [R. ≈31°43’]
d) Si vuole calcolare la distanza Terra-Luna.
Supponiamo che due osservatori si trovino in due punti A, B di uno stesso meridiano terrestre (Fig.
13) in modo che il primo veda la Luna esattamente al suo orizzonte quando il secondo la vede al
suo zenit. Nota la misura dell’angolo AT̂B (uguale al valore assoluto della differenza tra le latitudini dei punti A, B), che è 89°3’ e nota la misura R del raggio della Terra, che è all’incirca 6371
km, quanto dista la Terra dalla Luna?
FIG. 13
FIG. 14
e) Si vuole calcolare la distanza Terra-Sole.
Quando è al suo primo quarto, la Luna si trova sotto un angolo retto rispetto ai centri della Terra e
del Sole (Fig. 14). Se in questa fase lunare si misura l’angolo sotto cui è vista dalla Terra la congiungente Luna-Sole, si trova all’incirca 89°51’. Sapendo che la distanza media Terra-Luna è di
circa 384000 km, calcolare la distanza della Terra dal Sole.
Al giorno d’oggi esistono procedimenti più sottili di quelli descritti negli ultimi due esempi per misurare le distanze della Terra dai corpi celesti. Come, per esempio, quello basato sulla misura del tempo
che impiega un segnale elettromagnetico per andare e ritornare dalla Terra al corpo celeste in esame.
Da questa misura, infatti, tenendo presente che il segnale viaggia a circa 300 000 km/s, si risale alla
distanza cercata.
Naturalmente è necessario che questa distanza non sia elevata. Possiamo dire che il procedimento va
bene se restiamo nel nostro sistema planetario, poiché se ci spingiamo oltre occorrono altri procedimenti, sui quali non possiamo soffermarci.
Ad ogni modo, per ritornare ai procedimenti da noi descritti, riteniamo che essi siano ugualmente interessanti; se non altro per il rilievo storico che essi rivestono (una volta non ce n'erano di migliori).
1.5.6 Hai avuto modo certamente di osservare cartelli stradali come quello illustrato in figura 15: indica una
strada con pendenza (media) del 12%. Il suo significato è semplice: se schematizziamo la strada con
l’ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC (Fig. 16), la sua pendenza è la tangente dell’angolo in A,
vale a dire il rapporto fra il cateto CB e il cateto AC.
13
Modulo 3 – Funzioni circolari
D’altro canto, in queste situazioni l’angolo in A è molto piccolo (meno di 10°) e quindi possiamo supCB CB
porre
. Ragion per cui si assume in genere come pendenza (media) della strada il rapporto

AC AB
CB
, che poi altro non è che il seno dell’angolo in A.
AB
FIG. 15
FIG. 16
Affermare, pertanto, che una strada ha una pendenza (media) del 12% significa, in fin dei conti, che
quando si percorre un tratto di 100 m di quella strada ci si innalza di 12 metri sul livello del mare. Appunto: pendenza = 12/100 = 0.12 = 12%.
Ad esempio, dai 405 m di quota di Rieti si sale, in circa 25 km, ai 1894 m del Monte Terminillo. La
pendenza media di quel tratto di strada è perciò:
1894 405
pendenza =
 5,96%.
25000
Ti proponiamo un paio di esercizi.
a) Un cartello stradale indica che in quel tratto, la strada ha una pendenza del 13%. Di quanto quella
strada è inclinata rispetto ad un piano orizzontale?
b) In una certa tappa del Giro ciclistico d’Italia, la parte finale comprendeva tre settori:
- nel primo, lungo 7 km, la strada si innalzava di 364 m sul livello del mare;
- nel secondo, lungo 4 km, si innalzava di 180 m;
- nel terzo, lungo 10 km, si innalzava di 680 m.
Qual è il tratto di maggiore pendenza? Quale quello di minore pendenza? Qual è la pendenza media
dell’intera parte finale della tappa? [R. …; 5,8%]
1.6 RELAZIONI TRIGONOMETRICHE
IN UN TRIANGOLO QUALUNQUE.
1.6.1 Consideriamo adesso un triangolo qualsiasi ABC (Fig. 17) e tracciamo la sua altezza CH. In virtù del
2
2
2
2
2
2
teorema di Pitagora si ha: BC  CH  HB . D’altronde: CH  AC  AH e HB  AB  AH . Di
2
2
2
2
conseguenza: BC   AC  AH   AB  AH .



2
2
2

Da qui segue: BC  AC  AB  2 AB  AH , e poiché AH = b cos α, si ottiene:
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α .
Analoga dimostrazione vale per gli altri angoli, β e γ, e anche se il piede dell’altezza non appartiene al
lato relativo ma ad uno dei suoi prolungamenti.
In definitiva si ricava il seguente gruppo di formule:
14
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
b2 = c2 + a2 – 2 c a cos β
c2 = a2 + b2 – 2 a b cos γ
che esprime il cosiddetto TEOREMA DEL COSENO (detto anche teorema di Carnot4).
Si fa notare come nel caso particolare in cui =90°, la prima relazione del gruppo non è altro che il
teorema di Pitagora (del quale, pertanto, il teorema del coseno è una generalizzazione), mentre la seconda e la terza diventano rispettivamente: c = a cos β, b = a cos γ .
Lasciamo a te il compito di giustificare queste affermazioni.
FIG. 17
FIG. 18
1.5.2 Un altro teorema, riguardante un triangolo qualunque, è il cosiddetto TEOREMA DEI SENI (detto anche
teorema di Eulero), espresso dalla seguente catena di uguaglianze:
a
b
c


sen α sen β sen γ
Per la sua dimostrazione consideriamo il triangolo ABC (Fig. 18) e tracciamo le sue altezze AM e BN.
Prendendo in esame dapprima il triangolo rettangolo AMC e poi il triangolo rettangolo AMB, si ottiene:
b
c
.
AM = b sen γ e AM = c sen β; perciò: b sen γ = c sen β; da cui segue:

sen β sen γ
Analogamente, prendendo in esame i triangoli rettangoli BNA e BNC, si ottiene:
a
c
BN = c sen α = a sen γ , da cui segue:
.

sen α sen γ
a
b
c
In definitiva, come si voleva dimostrare:
.


sen α sen β sen γ
Osserviamo che questa dimostrazione, condotta avendo supposto implicitamente che il triangolo ABC
fosse acutangolo, non cambia sostanzialmente se esso è ottusangolo; come puoi controllare da te.
Se poi il triangolo fosse rettangolo, le relazioni che esprimono il teorema dei seni sono ovvie. Si ha infatti (α=90°):
4
Carnot, Lazare, matematico francese, 1753-1823, padre di Sadi (1796-1832), uno dei fondatori della termodinamica.
15
Modulo 3 – Funzioni circolari
a
b
c
.


1 sen β sen γ
Ti proponiamo adesso di dimostrare la seguente proprietà:
Considerato un qualsiasi triangolo, ciascuno dei rapporti uguali:
a
b
c
,
,
sen α sen β sen γ
è uguale al diametro del cerchio circoscritto al triangolo.
1.7 RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE.
1.7.1 Abbiamo visto in precedenza come si risolve un triangolo rettangolo. Adesso, sulla scorta dei due
teoremi precedenti, siamo in grado di risolvere un triangolo qualunque, cioè di calcolare i suoi elementi incogniti, noti ovviamente altri elementi capaci di determinarlo; vale a dire (si ricordino a questo
proposito i criteri di congruenza):
a) due lati e l’angolo compreso; b) un lato e due angoli; c) i tre lati.
1.6.2 Vediamo qualche esempio.
 ESERCIZIO 1. Nel triangolo ABC si ha: b = 35.42, c = 28.63, α = 62°. Calcolare: α, , .
RISOLUZIONE (con l’uso di una calcolatrice).
a=
b 2  c 2  2 b c cos  =
35.422  28.632  2  35.42 c cos 62  33.50;
b sen  35.42 sen 62

 0.9335 , da cui segue:   69°;
a
33.50
 = 180°  (+)  49°.
sen  =
 ESERCIZIO 2. Nel triangolo ABC si ha: a = 341, α = 27°42',  = 75°29'. Calcolare: b, c,  .
RISOLUZIONE (con l’uso di una calcolatrice).
 = 180°  (+) = 180°  (27°42' + 75°29') = 76°49';
a sen  341 sen 7529'
a sen  341 sen 7649'
b=

 710; c =

 714.
sen 
sen 2742'
sen 
sen 2742'
 ESERCIZIO 3. Nel triangolo ABC si ha: a = 37, b = 42, c = 48. Calcolare α, , .
RISOLUZIONE (con l’uso di una calcolatrice).
Poiché ogni lato è minore della somma degli altri due il triangolo esiste. Si ha:
b 2  c 2  2 b c 422  482  2  42 48

 0.66939, da cui segue:   47°59';
cos  =
a2
372
b sen  42 sen 4759'

 0.84334, da cui segue:  57°30';
sen  =
a
37
 = 180°  (α+β)  74°31'.
 Alcuni esercizi da risolvere.
Con l’uso di una calcolatrice, ma solo se occorre, risolvi il triangolo ABC, sapendo che:
1. a = 37.41 , b = 45.72 ,  = 72°.
[R. c49.32, 46°10'9", 61°49'51" ]
2. b = 872 ,
 = 35°48' ,  = 51°12'. [R. =93° , a510.78 , c680.52 ]
16
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
3.
4.
5.
6.
a = 73 ,
b = 37 ,
a = 123 ,
a = 25.32 ,
 = 84° ,
c = 33 ,
b = 210 ,
b = 32.25 ,
 = 30° .
 = 60° .
c = 182 .
c = 36.50 .
[R.  = 66° , b79.47 , c39.95 ]
[R. 42°39'46", 59°40'24", 77°39'50"]
1.8 ALCUNE APPLICAZIONI.
1.8.1 Note le misure a, b di due lati di un triangolo e la misura dell’angolo compreso tra essi, l’area A del
triangolo è espressa dalla seguente formula:
1
A = a b sen  .
2
Se 90° la dimostrazione è immediata. La lasciamo a te.
In fondo essa è pure semplice quando >90° (Fig. 19). Infatti, osservato che l’angolo AĈH misura
1
1
180°- e che AH = b sen (180°- ) e perciò AH = b sen, si ha: A= CB  AH  a b sen  .
2
2
Come applicazione della formula dimostrata ti proponiamo i seguenti esercizi:
a) Sia ABC un qualsiasi triangolo. Sui suoi lati ed esternamente ad esso si costruiscano i tre quadrati
ABDE, BCFG e CAHL. Dimostra che i triangoli AHE, BDG e CFL sono equivalenti al triangolo
ABC.
b) Calcola l’area di un quadrilatero convesso conoscendo le misure delle sue diagonali e dell’angolo
acuto che esse formano.
FIG. 19
FIG. 20
1.7.2 Si vuole misurare la distanza di un punto A da un punto P, visibile da A ma non accessibile e quindi
tale che essa non possa essere misurata direttamente (Fig. 20).
Preso allora un punto B tale che sia possibile misurare direttamente, con appositi strumenti, la distanza
AB (che diciamo d) e gli angoli PÂB e PB̂A (le cui misure diciamo rispettivamente  e ), osserviamo anzitutto che si ha: AP̂B =180°-(+) e perciò: sen( AP̂B ) = sen(+).
d sen 
Dunque, in virtù del teorema dei seni: AP 
.
sen (  )
1.9 ALCUNE FORMULE FONDAMENTALI. ANGOLO DI DUE RETTE.
1.9.1 Nel piano, riferito ad un sistema cartesiano ortogonale (Oxy), supponiamo disegnata la circonferenza
goniometrica (Fig. 21) e prendiamo gli angoli AÔP e AÔQ, ampi rispettivamente  e  e l’angolo
17
Modulo 3 – Funzioni circolari
AÔB ampio -. Le corde AB e PQ della circonferenza, corrispondenti agli angoli al centro congruen2
2
ti AÔB e PÔQ, hanno uguale lunghezza; di conseguenza: AB  PQ .
FIG. 21
Siccome:
A(1, 0), B(cos(-), sen(-)), P(cos, sen), Q(cos, sen),
ricordando la formula della distanza di due punti, risulta:
2
AB = [cos(α-β-1]2+[sen(α-β]2 =
= cos2(-)+1-2cos(-)+sen2(-) = 2-2cos(-);
2
PQ = (cosα-cosβ)2+(senα-senβ)2 =
= cos2+cos2-2coscos+sen2+sen2-2sensen = 2-2coscos-2sensen.
Pertanto:
2 – 2 cos(-) = 2 – 2 cos cos – 2 sen sen.
Da qui segue:
cos(-) = cos cos + sen sen.
Da questa formula fondamentale, ricavata con considerazioni geometriche, ne derivano molte altre, più
o meno importanti, secondo l’ambito di utilizzazione: si ottengono con considerazioni di tipo analitico.
1.9.2 La prima formula che deduciamo dalla precedente è questa:
sen(-) = sen cos – cos sen .
Infatti, utilizzando anche formule già viste in precedenza:
sen(-) = cos[90°-(-)] = cos[(90°+)-] = cos(90°+) cos + sen(90°+) sen =
=  sen cos + cos sen = sen cos  cos sen.
A titolo di esempio, ricordando i valori del seno e coseno degli angoli di 30° e 45°, calcoliamo, come
applicazione delle precedenti due formule, il seno e il coseno di 15°:
2
3
2 1
6 2


 
sen 15° = sen(45°-30°) = sen 45° cos 30°  cos 45° sen 30° =
;
2
2
2 2
4
2
3
2 1
6 2
cos 15° = cos(45°-30°) = cos 45° cos 30° + sen 45° sen 30° =
.


 
2
2
2 2
4
Dalle due formule precedenti, che qui riassumiamo:
[8]
cos(-) = cos cos + sen sen, sen(-) = sen cos – cos sen,
si ricavano poi queste altre due:
[9]
cos(+) = cos cos  sen sen, sen(+) = sen cos + cos sen.
Basta porre, nelle [8], -β al posto di β e semplificare.
Le [8] e le [9] sono conosciute rispettivamente come formule di sottrazione e formule di addizione
del coseno e del seno. Sono dette pure formule di Tolomeo, benché Tolomeo si servisse di una for18
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
mula squisitamente geometrica ma equivalente, nella sostanza, alla formula di sottrazione del seno,
che è la seconda delle [8].
Ti proponiamo alcuni esercizi:
a) dimostra che cos(-37°)sen+cos, dove  è un angolo qualsiasi;
b) dimostra che sen(+)sen+sen, dove ,  sono due angoli qualsiasi compresi fra 0° e 90°;
c) calcola i valori seno, coseno e tangente di 75°.
1.9.3 Dalle [9] seguono immediatamente (basta porre =) le cosiddette formule di duplicazione del
coseno e del seno:
[10]
cos 2 = cos2  sen2 , sen 2 = 2 sen cos .
La prima di esse, ricordando la relazione pitagorica, può anche essere scritta in questi altri due modi
equivalenti:
cos 2 = 2 cos2  1,
cos 2 = 1 – 2 sen2.
E da queste, ponendo per comodità x/2 al posto di , si ottengono subito le cosiddette formule di bisezione:
x
1  cos x
x
1  cos x
, sen  
;
cos  
2
2
2
2
dove il doppio segno si spiega col fatto che la conoscenza di cos x non determina x e quindi non dex
x
x
termina
e, di conseguenza, non determina i segni di cos e sen . Chiaramente, se si sa in quale
2
2
2
x
quadrante cade , l’indeterminazione sparisce.
2
3
Per esempio, se x = 30°, allora, ricordando che cos 30° =
, si ha:
2
1
3
2 
6 2
cos 15° =
,
2
4
ritrovando così per altra via valori già calcolati.
1
sen 15° =
2
3
2 
6 2
;
4
1.9.4 Dalle [8] e [9] si ottengono rispettivamente queste altre formule relative alla tangente:
tg α  tg β
tg α  tg β
[11]
tg() =
;
tg(+) =
.
1  tg α tg β
1  tg α tg β
sen    sen  cos   cos  sen 
Infatti: tg(-)=
; da qui, dopo aver diviso numeratore e denomi
cos   cos  cos   sen  sen 
natore per cos cos e dopo aver semplificato, segue la prima delle [11]. La dimostrazione della seconda è analoga.
La prima delle [11] è fondamentale per la determinazione dell’angolo di due rette assegnate in un piano cartesiano ortogonale (Oxy).
Precisamente, considerate le due rette non parallele e non perpendicolari:
a  y = ma x + na, b  y = mb x + na
e indicato con (a,b) l’angolo orientato di cui deve ruotare a intorno al punto in cui seca b per sovrapporsi alla retta b medesima (che è per l’appunto l’angolo delle due rette a, b), risulta:
mb  ma
tg (a,b) =
.
1  mbma
Per la dimostrazione incominciamo a chiamare P il punto in cui le due rette a, b si secano, A e B
19
Modulo 3 – Funzioni circolari
nell’ordine i punti in cui a, b intersecano l’asse x ed ,  gli angoli che le due rette a, b rispettivamente
formano con l’asse x (Fig. 22).
Fig. 22
Per il teorema dell’angolo esterno, relativo al triangolo PAB, risulta: =+(a,b), ovvero: (a,b)=-.
tg  tg 
Perciò: tg(a,b)=tg(-) e per la [11]: tg(a,b)=
.
1  tg tg 
In conclusione, ricordando che tg=ma e tg=mb, si ottiene la formula suddetta.
Per esempio, posto che sia:
a  y = 3x-2 , b  y = 5x-3 ,
mb  ma
53
1
risulta: tg(a,b) =

 e di conseguenza: (a,b)  7°7'30".
1  mb ma 1  5  3 8
1.9.5 Riferito il piano ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), risolvi per esercizio le seguenti
questioni:
a) Determina le ampiezze degli angoli individuati dalle due rette:
y=2x+1, y=3x+1.
[R. 45°, 135°]
b) Con l’uso di una calcolatrice, determina le ampiezze degli angoli interni del parallelogramma
ABCD, sapendo che:
1. A(0,2), B(-1,0), C(3,0). 2. A(0,3), C(2,2), D(2,5).
3. B(0,2), C(-1,0), D(3,1). 4. A(1,-1), B(2,0), D(-2,1).
[R. 1) 63°26'6", 116°33'54"; ...]
c) Servendoti di una calcolatrice, determina con due procedimenti diversi le ampiezze degli angoli interni del triangolo di vertici:
1. (1,0), (2,1), (0,2).
2. (-1,1), (2,-1), (0,-1).
3. (-2,-1), (-1,-2), (1,0).
4. (-1,0), (2,-3), (1,2).
[R. 1) 36°52'12", 71°33'54", ...; 2) 116°33'54", 33°41'24", ...; ... ]
d) Servendoti di una calcolatrice, determina l’ampiezza dell’angolo sotto cui è vista la parabola p dal
punto P, sapendo che:
1) p  y = x2, P(0,-2). 2) p  y = -x2+1, P(1,2). 3) p  y = x2-2x+4, P(0,0).
[R. 1) 38°56'32"; ... ]
1.9.6 Una considerazione importante, che è bene tener sempre presente. Com’è noto, un dato polinomio
P(x) si può fattorizzare in un solo modo in un determinato insieme.
Ad esempio, con fattorizzazione in Q, si ha:
x2-4 = (x+2)(x-2)
ed, a meno di commutazioni, non c’è altro modo di fattorizzare il binomio x2-4.
20
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
Al contrario, un’espressione trigonometrica può essere fattorizzata in più modi. Un esempio, banale se
si vuole, ma molto esplicativo, è il seguente:
sen2(2x) = 1-cos2(2x) = (1+cos2x)(1-cos2x) = (2senxcosx)2 =
2
= 4sen xcos2x = 4(1-cos2x)(1-sen2x) = 4(1+cosx)(1-cosx)(1+senx)(1-senx);
e questo mostra come sen2(2x) possa effettivamente essere fattorizzato in più modi:
sen2(2x) = (1+cos2x)(1-cos2x); sen2(2x) = (2senxcosx)2;
sen2(2x) = 4(1+cosx)(1-cosx)(1+senx)(1-senx).
1.10 NOTA STORICA.
La trigonometria fu in origine un supporto puro e semplice dell’astronomia e in questo senso fu usata
dai principali astronomi, fino a quando non diventò una disciplina autonoma e, successivamente, si
suddivise in trigonometria piana e trigonometria sferica. L’introduzione delle nostre agili notazioni per
le funzioni trigonometriche fu una delle ultime conquiste. In questa breve nota vogliamo segnalare gli
studiosi che fornirono i principali contributi al suo sviluppo, evidenziando come l’evoluzione di questa
disciplina interessò un lungo periodo di tempo e fu opera di uomini appartenenti a civiltà e culture diverse fra loro.
• Ipparco di Nicea è considerato il “padre della trigonometria” e il massimo astronomo osservatore
dell’antichità. Compì osservazioni astronomiche a Rodi fra il 161 e 126 a.C.. Di lui non ci rimane alcuna opera, ma solo qualche riferimento da parte di studiosi vissuti molto tempo dopo. A lui si attribuisce la suddivisione dell’angolo giro in 360 parti uguali.
• Apporti allo sviluppo della trigonometria e, in particolare, della trigonometria sferica, sono attribuiti
a Menelao di Alessandria (circa I sec. d.C.). Di lui ci è pervenuta una traduzione araba dell’opera
Sphaerica, che tratta delle geometria sulla sfera e delle conseguenti applicazioni ai fenomeni astronomici.
• Claudio Tolomeo, vissuto ad Alessandria nel II sec. d.C., fu autore di un’opera intitolata Mathematichè syntaxis (Raccolta matematica), che, attraverso una traduzione dall’arabo, giunse nel XII secolo
in Occidente col titolo di Almagesto. L’opera contiene i principi fondamentali della trigonometria piana e i primi rudimenti di quella sferica. Tolomeo è anche ideatore della teoria geocentrica (detta appunto anche teoria tolemaica), basata sulla centralità della Terra nell’Universo. Teoria che rimase indiscussa fino al 1543, allorché fu soppiantata dalla teoria eliocentrica (o copernicana), formulata
dall’astronomo polacco Nikolaj Kopernik (1473-1543) nella celebre opera De orbium coelestium revolutionibus.
• Ipparco, Menelao e Tolomeo avevano trovato e utilizzato, per le loro osservazioni, relazioni fra le
corde di un cerchio e i corrispondenti angoli al centro. Furono i matematici indiani, e in particolare
Aryabhata (V sec. d.C.), che trovarono invece relazioni fra la metà della corda e la metà dell’angolo
al centro sotteso dall’intera corda. Vale a dire, qualcosa di molto simile al moderno concetto di seno di
un angolo.
• I matematici arabi, che in altri settori della matematica avevano subito l’influsso dei Greci, riguardo
alla trigonometria seguirono invece gli Indiani, col risultato che la trigonometria araba si sviluppò sulla base del concetto di seno di un angolo e in questa veste influenzò la trigonometria occidentale,
quando incominciarono ad essere studiate le traduzioni in latino delle opere dei matematici arabi.
Il matematico arabo che diede il maggior contributo allo sviluppo della trigonometria fu il persiano
Abu’l-Wafa (940-998). Un altro persiano, Nasir Eddin (1201-1274), continuò la sua opera, ma ben
due secoli più tardi: a lui si deve la separazione della trigonometria dall’astronomia.
21
Modulo 3 – Funzioni circolari
• Una vera e propria ondata di traduzioni delle opere arabe in latino si ebbe nel XII secolo, ma la fase
di assimilazione della matematica fu molto lenta in Occidente (bisogna tener presente che nel lungo
periodo della dominazione romana, gli studi matematici furono poco curati). Non di meno, a partire
dalla fine del XII secolo c’è un primo risveglio, soprattutto per quanto riguarda l’interesse in campo
aritmetico e geometrico. Invece nel settore della trigonometria una vera e propria rinascita si registra
solo nel XV secolo, per merito di un matematico e astronomo prussiano: Johann Müller, detto Regiomontano (1436-1476). Egli scrisse un trattato dal titolo De triangulis omnimodis libri quinque,
pubblicato postumo nel 1533. La trigonometria, sull’esempio di Nasir Eddin, è organizzata come disciplina a sé, con un’esposizione sistematica in forma che si può ritenere moderna, anche se non vi figura ancora la nostra maneggevole notazione simbolica. Trigonometria piana e sferica figurano ancora
assieme.
• La separazione della trigonometria piana da quella sferica avvenne con un altro matematico prussiano, Georg Joachim von Lauchen (1514-1576), soprannominato Rhaeticus, discepolo di Copernico.
L’opera che contiene questa separazione è un libretto dal titolo De lateribus et angulis triangulorum,
pubblicato nel 1542.
• Fino a questo punto, il termine “trigonometria” non era mai comparso in alcuna delle opere
sull’argomento. Comparve, sembra per la prima volta, in un’opera di un altro matematico tedesco,
Bartholomäus Pitiscus (1561-1613). L’opera è, in realtà, un opuscolo dal titolo, per l’appunto, Trigonometria, sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus.
• Detto dei contributi di Thomas Finck ed Edmund Gunter, ai quali abbiamo già accennato, l’assetto
definitivo della trigonometria avvenne con uno dei matematici più prolifici che siano mai esistiti: lo
svizzero Leonhard Euler (1707-1783). Nelle sue opere, e in particolare nella Introductio in analysin
infinitorum, egli introduce il cerchio di raggio unitario (cerchio trigonometrico), concependo per primo i valori trigonometrici di un angolo come rapporti di segmenti e quindi come numeri e non più
come lunghezze di particolari segmenti ricavati con riferimento a circonferenze di dato raggio. Sistema definitivamente la questione delle notazioni trigonometriche: a lui si devono le notazioni sin, cos,
tang. Riduce la risoluzione dei triangoli piani a quattro casi fondamentali, semplificando le numerose
situazioni che fino ad allora venivano prese in esame ed eliminando molte formule superflue con
l’applicazione di poche di esse.
LABORATORIO DI MATEMATICA
a) Di un triangolo si conoscono le lunghezze di due lati e l’ampiezza dell’angolo opposto ad uno di
essi. Risolvere il triangolo determinando i suoi elementi incogniti. Come applicazione, con l’uso di
una calcolatrice, se occorre, risolvi il triangolo ABC sapendo che:
1) b = 98 , c = 45 ,  = 135° ;
2) a = 36 , b = 72 ,  = 30° ;
3) a = 50 , b = 80 ,  = 60° ;
4) a = 35 , b = 60 ,  = 28°32’ .
Come pensi di procedere?
Il triangolo esiste per qualunque scelta delle misure assegnate?
Se esiste, ne esiste comunque uno soltanto?
Discutine coi tuoi compagni e, se occorre, chiedi soccorso al tuo professore.
b) Durante gli anni della scuola secondaria di 1° grado hai imparato che l’apotema an di un poligono
regolare di n lati si trova moltiplicando la lunghezza del lato Ln del poligono per un certo numero fn
(detto “numero fisso”) il cui valore varia da poligono a poligono col variare del numero dei lati ma
22
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
rimane costante per ogni poligono regolare dello stesso numero di lati. Prova a calcolare un valore
approssimato di tali numeri fino alla terza cifra decimale. In particolare fa’ vedere che:
f3  0,289 ; f4  0,5 ; f5  0,688 ; f6  0,866 ; f8  1,207 ; f10  1,539.
VERIFICHE
Seno e coseno di un angolo (nn. 1-6):
1.
Costruire graficamente un angolo  compreso fra 0° e 90° sapendo che:
a) sen  = 3/5.
b) sen  = 1/4.
c) cos  = 2/7.
d) cos  = 1/2.
2.
Dell’angolo  compreso fra 0° e 90° calcolare il coseno sapendo che:
a) sen  = 1 2 .
b) sen  = 4/5.
c) sen  = 2/3.
3.
Dell’angolo  compreso fra 0° e 90° calcolare il seno sapendo che:
a) cos  = 1 2 .
b) cos  = 1/5.
c) sen  = 4/5.
4.
Dimostrare che risulta:
sen 18° =
5 1
,
4
cos 18° =
10  2 5
.
4
[ R. Bisogna ricordare che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è sezione aurea del
raggio.]
5.
Ammettiamo che  sia l’ampiezza di un angolo acuto.
a) Calcolare cos  sapendo che: 1) sen  = 1/2; 2) sen  = 3/5; 3) sen  = 5/13.
b) Calcolare sen  sapendo che: 1) cos  = 3 2 ; 2) cos  = 4/5; 3) cos  = 12/13.
6.
Ammettiamo che  sia l’ampiezza di un angolo ottuso.
a) Calcolare cos  sapendo che: 1) sen  = 1/2; 2) sen  = 3/5; 3) sen  = 5/13.
b) Calcolare sen  sapendo che: 1) cos  = 3 2 ; 2 cos  = 4/5; 3) cos  = 12/13.
Tangente di un angolo (nn. 7-8):
7.
Dimostrare che:
1. tg 18° =
25  10 5
.
5
4. tg(90°-) =
8.
2. tg(180°-) = -tg .
1
.
tg 
5. tg(90°+) = 
3. tg(-) = -tg .
1
.
tg 
Senza l’uso della calcolatrice determinare il seno e il coseno dell’angolo che la retta r forma con
l’asse x di un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sapendo che r ha equazione:
1. y = x + 2.
2. y = -x 3 + 1.
3. y = -x + 2.
4. 2 x + y  1 = 0.
5. 3 x + 4 y + 2 = 0.
6. 2 x  3 y  1 = 0.
[R. 1)
2 2 , 2 2 ; 2)
3 2 , -1/2; … ]
23
Modulo 3 – Funzioni circolari
Risoluzione dei triangoli e applicazioni (nn. 9-18):
9.
10.
Determinare i lati di un triangolo rettangolo sapendo che il suo perimetro misura 60 cm e che il
coseno di un suo angolo è uguale a 3/5. [R. 25 cm , 15 cm , 20 cm ]
a2
Trovare i lati di un triangolo rettangolo sapendo che la sua area è
5 , dove a è una lunghez4
za assegnata, e il seno di un suo angolo è 2/3. [R. 3a/2, a, a 5 2 ]
11.
Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che il coseno di un suo angolo è 4/5 e
l’altezza relativa all’ipotenusa misura 78 cm . [R. 390 cm ]
12.
Dimostrare che l’area S di un parallelogramma ABCD è data dalla seguente formula:
S  AB  AC sen  .
13.
Con l’uso di una calcolatrice, calcolare le ampiezze degli angoli interni del triangolo ABC, assegnato in un piano cartesiano ortogonale (Oxy), sapendo che:
1

 3
1. A(1, 0), B(2,1), C(-1,2).
2. A  ,1 , B  2 ,  , C(-2,1).
2

 2
1
2 1
3 

3. A  , 1 , B(-1,1), C   2 ,  .
4. A(0,0), B  ,  , C(-1,-2).
2

3 2
2 
[R. 1) 90°, 63°26'6", 26°33'54"; 2) 82°18'14", 51°54'41", 45°47'5"; ...]
14.
Con l’uso di una calcolatrice, calcolare un valore approssimato dell’area del triangolo ABC, sapendo che:
1) BC =127, AB̂C =47°35', AĈB =72°43'.
2) AB =235, AC =179, BÂC =38°45'.
3) AB =38, BC =42, AC =27.
[R. 1) 6584 ; 2) 13165 ; 3) 503 ]
15.
La Luna è vista dalla Terra sotto un angolo di circa 31'5". Sapendo che la distanza Terra-Luna è
di circa 384000 km, calcolare il raggio della Luna. [ R. 1736 km]
16.
Per misurare l’altezza CH di una torre rispetto al piano orizzontale passante per un dato punto A
(Fig. 23), si sceglie (supponiamo che questo sia possibile) un altro punto B sullo stesso piano orizzontale e si effettuano, con appositi strumenti, alcune misurazioni. Posto che si trovi: AB 
40 m, CÂB  52°21', HB̂C  54°27', calcolare CH. [R. 703 m]
FIG. 23
17.
24
FIG. 24
Si vuole costruire un ponte che colleghi due punti A, B (Fig. 24), dei quali è necessario cono-
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
scere la distanza. Questa non può essere misurata direttamente ma si possono effettuare altre
misurazioni. In particolare supponiamo che si trovi: CA  460 m, CB  470 m, AĈB  49°34'.
Calcolare AB.
18.
Si vuole misurare la distanza dei punti A, B (Fig. 25) ma ciò non può essere fatto direttamente.
Supponiamo che sia possibile scegliere due punti C, D in modo che A, B, C, D siano complanari
e si possano misurare direttamente, con appositi strumenti, la distanza CD e gli angoli
AĈB , BĈD , CD̂A , AD̂B . Si trovi: CD  115 m, AĈB 57°15', BĈD 49°27', CD̂A  45°30',
AD̂B  51°23'. Calcolare AB. [R. 185 m]
FIG. 25
Formule fondamentali e applicazioni (nn. 19-27):
19.
Sapendo che tg α = 1/2, con 0°< α <90°, calcolare:
1. sen(30°+ α), 2. cos(α -30°),
senza l’uso di strumenti di calcolo automatico.
[R. 1)
20.
2 5  15
10
, 2)
2 15  5
10
3. tg(α +45°),
, 3) …]
Sono dati i due angoli α, β tali che:
tg α = 3/4, con 0°<α<90°, e sen β = 4/5, con 90°<β<180°.
Calcolare seno, coseno e tangente dei seguenti angoli, senza l’uso di strumenti di calcolo automatico:
1) α  β, α  β;
2) 2 α, 2 β; 3) 2 (α  β), 2 (α  β); 4) α/2, β/2.
[R. 1) sen() = 7/25, cos() = -24/25, tg() = -7/24; ... ;
2) sen 2 = 24/25, cos 2 = 7/25, tg 2 = 24/7; ... ;
3) sen 2() = 336/625, ... ; 4) sen(α/2)=10/10, ... ]
21.
Gli angoli α, β sono tali che: cosα = 3/5 e tgβ = -3/4. Senza utilizzare strumenti di calcolo automatico né tavole trigonometriche, stabilire se α e β possono essere angoli di un medesimo triangolo.
22.
Considerati gli angoli acuti α e β, tali che tgα=4/3 e tgβ=5/12, calcolare sen(α+β) e cos(α+β)
senza servirsi di strumenti di calcolo automatico.
23.
L’angolo al vertice di un triangolo isoscele ha il coseno uguale a 5/13. Determinare i coseni degli angoli alla base. [R. 2 13 ]
24.
In un parallelogramma i lati sono lunghi 7 e 5, rispetto ad una prefissata unità di misura delle
lunghezze, e gli angoli acuti hanno tangente uguale a 3/4. Calcolare i coseni degli angoli che la
25
Modulo 3 – Funzioni circolari


diagonale minore forma con i lati del parallelogramma. R. 2 2 ,  2 10
25.
Dimostrare le seguenti formule (sono dette formule parametriche):
2t
1 t2
x
sen x =
,
cos
x
=
,
(dove t = tg ).
2
2
2
1 t
1 t
[R. sen x = 2 sen
26.
x
2
cos
x
2
2 sen
=
cos 2
x
2
x
2
cos
x
2
 sen 2
x
 ... ; cos x = cos 2
x
2
 sen 2
x
2
2
cos 2

cos 2
x
2
x
2
 sen 2
 sen 2
x
2  ...]
x
2
5
Dimostrare le seguenti formule (sono dette formule di prostaferesi ):
pq
pq
pq
pq
sen p + sen q = 2 sen
cos
; sen p  sen q = 2 cos
sen
;
2
2
2
2
pq
pq
pq
pq
cos p + cos q = 2 cos
cos
; cos p  cos q =  2 sen
sen
.
2
2
2
2
Servirsi di esse per trasformare in prodotti le seguenti somme:
1. sen 3 + sen 2.
4. cos 3  cos 2 .
7. sen 4x  sen
x
.
2
2. sen 3  sen 2 .
5x
3x
5. sen
+ cos
.
2
2
3. cos 3 + cos 2 .
3x
6. cos
 cos x .
2
8. cos 2x + cos 6x .
[R. Partendo dalle formule di addizione e sottrazione, si ponga +=p e -=q; dopodiché ...
1) 2 sen(5α/2) cos(α/2); ... ; 8) 2 cos(4x) cos(2x) ]
27.
Dimostrare le seguenti formule (sono dette formule di Werner6):
1
1
sen  sen  = [cos(-)  cos(+)]; cos  cos  = [cos(+) + cos(-)];
2
2
1
1
sen  cos  = [sen(+) + sen(-)]; cos  sen  = [sen(+)  sen(-)] .
2
2
Servirsi di esse per trasformare in somme i seguenti prodotti:
1. sen 2 sen  .
2. cos  cos 3.
3. cos 3 sen 2.
4. sen 3 cos 2.
3x
x
x
x
x
5. sen x sen .
6. cos
cos .
7. cos 2x sen .
8. sen 2x cos .
2
2
2
2
2
[R. 1)
1
2
(cos   cos 3) ; ... ; 8)
1
2
(sen
5x
2
+ sen
3x
2
)]
Questioni varie:
28.
Calcolare l’ampiezza dell’angolo sotto cui è visto il segmento AB dal punto P, sapendo che:
1. A(1,0), B(1,2), P(6,0).
2. A(2,-1), B(-1,2), P(5,0).
[R. 1) 21°48'5"; 2) 36°52'12"]
29.
5
6
Sono assegnati i punti A(4,0) e B(0,3) e la retta r di equazione 3x+4y-24 = 0. Determinare due
rette, perpendicolari tra loro, passanti una per A e l’altra per B, in modo che si intersechino in
un punto C della retta r. Calcolare le ampiezze degli angoli interni del triangolo ABC.
La parola prostaferesi è l’unione di due termini greci: prosthesis (addizione) e aphairesis (sottrazione).
Werner; Johannes, matematico tedesco, 1468-1528. Anche le formule di prostaferesi sono attribuite a lui.
26
Unità 1 – Funzioni circolari e applicazioni
[R. rA  y  
24
7
x
96
7
, rB  y 
7
24
x  3 ; ...]
30.
Posto che , ,  siano gli angoli di un triangolo rettangolo, dimostrare che si ha:
cos2α+cos2β+cos2γ = 1 e sen2α+sen2β+sen2γ = 2.
31.
È assegnato un pentagono regolare di lato lungo L. Recidendo opportunamente, in esso, cinque
triangoli congruenti, si ottiene un decagono regolare: calcolarne la lunghezza del lato, dopo aver
1 5  L 
stabilito che sen 54° =
. R.
5
4
 5 
[Ispirato ad un quesito assegnato nell’esame di Stato 2006, indirizzo scientifico, sessione straordinaria]
32.
Completa la seguente tabella e mettila da parte. Ti può essere utile in molte situazioni. Si capisce che si chiedono i valori esatti delle funzioni e non quelli approssimati.
seno
coseno
tangente
30°
60°
45°
15°
75°
22°30’
18°
36°
54°
72°
33.
Il signor Giorgio, proprietario terriero, intende regalare un orto all’amico Mario, matematico per
hobby, ma a condizione che egli riesca a risolvere un problema. L’orto ha la forma di un triangolo rettangolo, la cui ipotenusa misura 30 m ed i cui cateti hanno misure espresse, sempre in
metri, da numeri interi. Mario deve anzitutto calcolare le misure dei cateti e poi stabilire se
sull’ipotenusa esiste un punto le cui distanze dai vertici del triangolo sono tutte espresse, sempre
in metri, ancora da numeri interi e se ne esiste uno solo.
Mario ottiene l’orto in regalo. Come ha fatto a risolvere il problema?
34.
Le misure dei cateti AB e AC di un triangolo rettangolo, rispetto ad una stessa unità di misura,
sono nell’ordine 6 e 8. La circonferenza avente centro in B e raggio BA e quella che ha centro in
C e raggio CA intersecano l’ipotenusa BC del triangolo rispettivamente nei punti D ed E. Calcolare la misura del segmento DE e l’area della regione finita di piano delimitata dal segmento DE
e dagli archi AD ed AE delle due circonferenze suddette.
35.
I raggi del Sole, intercettando una torre, ne generano un’ombra lunga il doppio dell’altezza della
torre medesima. Indicata con x l’ampiezza dell’angolo che i raggi del Sole formano con il piano
orizzontale passante per la torre, si ha:
[A] 0°<x<30°; [B] 30°≤x<45°; [C] 45°≤x<60°; [D] 60°≤x<90°.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta.
36.
Nel triangolo ABC l’angolo in B supera di 90° l’angolo in A ed il lato AC è 4/3 del lato BC.
Sapendo che il perimetro del triangolo è 84 cm, calcolare le misure dei suoi lati e la tangente
dell’angolo Ĉ. [R. 30 cm, 40 cm, 14 cm; tg Ĉ = 7/24]
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Modulo 3 – Funzioni circolari
UNA BREVE SINTESI PER DOMANDE E RISPOSTE
♦ DOMANDE.
1.
È dato un triangolo rettangolo isoscele. È vero che la misura di ciascuno dei cateti, rispetto
all’ipotenusa assunta come unità di misura dei segmenti, è 2 2 ?
2.
È dato un triangolo rettangolo avente un angolo di 30°. È vero che le misure dei cateti, rispetto
all’ipotenusa assunta come unità di misura dei segmenti, sono 1/2 e 2 2 ?
3.
È vero che il seno e il coseno di un angolo si possono misurare in metri?
4.
Cos’è una circonferenza goniometrica?
5.
Esiste un angolo  tale che sen  =1/4 e cos  = 3/4?
6.
Stabilito che esiste un angolo , compreso fra 0° e 360°, tale che sen  =3/5 e cos  = -4/5, a quale quadrante appartiene?
7.
È vero che, per ogni angolo x, compreso fra 0° e 180°, è cos(x) tg(x) = sen(x)?
8.
È vero che due angoli opposti hanno i seni e i coseni opposti?
9.
È vero che l’area A di un quadrilatero convesso, le cui diagonali sono lunghe d e d’ e l’angolo a1
cuto da esse formato misura φ, è data dalla formula: A  d d' sen  ?
2
10. È vero che risulta sen 50° = sen 25° + sen 25°?
♦ RISPOSTE.
1.
Sì.
2.
No. La misura del cateto minore (quello opposto all’angolo di 30°) è effettivamente 1/2, ma quella del maggiore è 3 2 .
3.
Assolutamente no. Infatti, seno e coseno di un angolo, essendo rapporti di segmenti, sono numeri
puri, non grandezze.
4.
È una circonferenza avente raggio unitario e centro nell’origine del sistema cartesiano di riferimento.
5.
No. Infatti non è soddisfatta la relazione pitagorica, in base alla quale sen2α+cos2α=1.
6.
Siccome evidentemente sen2α+cos2α=1, l’angolo  esiste. Esso appartiene al 2° quadrante, cioè
risulta 90°<<180°.
7.
No. Anche se vi è una sola eccezione: x=90°. Per questo angolo, infatti, la tangente non esiste.
8.
No. Hanno i seni opposti, ma i coseni uguali.
9.
Sì.
10. No. Se così fosse sarebbe sen50° = 2 sen25°, mentre in genere risulta sen2 = 2sencos.
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