numeri complessi ℂ

NUMERI COMPLESSI ℂ
Definizione
Si chiama numero complesso una coppia ordinata di numeri reali.
z=(a , b) con a , b∈ℝ .
Un numero complesso del tipo z=(a ,0) si chiama numero complesso reale.
Un numero complesso del tipo z=(0, b) si chiama numero complesso puramente immaginario.
Forma algebrica
z=a+i b con a , b∈ℝ e
i 2 =−1
Re(z)=a si chiama parte reale di z
Im(z)=b si chiama parte immaginaria di z
i si chiama unità immaginaria
Complesso coniugato di un numero complesso
Dato un numero complesso z=a+i b il suo complesso coniugato è il numero complesso z̄=a−i b
Addizione
Si chiama somma tra due numeri complessi z=a+i b , w=c +i d il numero complesso:
z+w=(a+i b )+(c+i d )=(a +c)+i(b +d )
Opposto di un numero complesso
Dato un numero complesso z=a+i b il suo opposto è il numero complesso −z=−a−i b
Sottrazione
Si chiama differenza tra due numeri complessi z=a+ i b , w=c +i d il numero complesso:
z−w=(a+i b)−(c +i d )=(a−c)+i (b−d )
Moltiplicazione
Si chiama prodotto tra due numeri complessi z=a+i b , w=c +i d il numero complesso:
z⋅w=(a +i b)⋅(c +i d )=a⋅c +i a⋅d + i b⋅c+ i 2 b⋅d =(ac−bd )+i(ad + bc)
Reciproco
Il reciproco di un numero complesso non nullo z=a+i b
è il numero complesso:
1
1
1 a−i b a−i b
−1
z = =
=
⋅
=
z a+ i b a+ i b a−i b a 2 + b 2
Legge dell'annullamento del prodotto
Il prodotto di due numeri complessi è nullo se, e solo se, uno dei fattori è nullo.
Divisione
Si chiama quoziente tra due numeri complessi w=c+i d , z=a +i b
z≠0 il numero complesso:
w
1 c+i d c+i d a−i b (c+i d )(a−i b)
=w⋅ =
=
⋅
=
z
z a+i b a+i b a−i b
a 2 +b 2
Potenza con esponente intero
Si definisce potenza di un numero complesso z=a+i b il numero complesso:
{
z 0 =(a +i b)0 =1 , z≠0
z1 =z=a+i b
n
n
z =z⋅z⋅…⋅z=(a +i b)
1
1
−n
z = n=
n , z≠0
z (a +i b)
Forma trigonometrica
Il numero complesso z=a+i b che ha come immagine geometrica il
punto P, assume la forma trigonometrica:
{
ρ=√ a 2 +b 2
a=ρ cos( ϑ)
b= ρ sen (ϑ)
z= ρ {cos(ϑ )+i sen (ϑ)}
Complesso coniugato di numero complesso
Dato un numero complesso z= ρ {cos (ϑ)+i sen(ϑ )} il suo complesso coniugato è il numero complesso
z̄= ρ {cos (−ϑ )+i sen (−ϑ)}
Moltiplicazione
Si chiama prodotto tra due numeri complessi z= ρ {cos(ϑ )+i sen (ϑ)}, w=r {cos(φ)+ i sen(φ)}
complesso:
z⋅w= ρ⋅r {cos (ϑ+ φ)+i sen (ϑ+ φ)}
Reciproco
Il reciproco di un numero complesso non nullo z= ρ {cos (ϑ)+ i sen(ϑ )}
il numero
è il numero complesso:
1 1
−1
z = = {cos(−ϑ)+i sen(−ϑ )}
z ρ
Divisione
Si chiama quoziente tra due numeri complessi z= ρ {cos (ϑ)+i sen(ϑ )},w=r {cos(φ )+i sen(φ)}
il numero complesso:
w
1 ρ
=w⋅ = {cos (ϑ−φ)+i sen (ϑ−φ)}
z
z r
Potenza con esponente intero (Formula di De Moivre)
Si definisce potenza di un numero complesso z= ρ {cos(ϑ )+i sen (ϑ)} il numero complesso
{
z 0 =1, z≠0
z1 = ρ{cos (ϑ)+i sen(ϑ)}
n
n
z = ρ {cos (n ϑ)+i sen(n ϑ)}
1
z− n= n {cos (−n ϑ)+i sen(−n ϑ )}, z≠0
ρ
z≠0
Radici n-esime di un numero complesso
Ogni numero complesso non nullo w= ρ {cos (ϑ)+i sen (ϑ)} ammette n e soltanto n radici ennesime date
dalla formula:
{
{ (
ϑ +2k π
ϑ+2 k π
+i sen
n
n
k =0,1,…, n−1 ;
)
z k = √n ρ cos
(
)}
Teorema fondamentale dell'algebra.
Un'equazione algebrica di grado n
a n z n+ a n−1 z n− 1 +…+ a1 z+a 0=0 con a n ≠0 e a i ∈ℂ ,i∈{0,1,… ,n }
a coefficienti complessi ammette n radici complesse, se ognuna è contata con la sua molteplicità algebrica.
Un'equazione algebrica di primo grado a coefficienti complessi
a , b∈ℂ
a z=b
ammette sempre la soluzione complessa z=
a≠0,
b
a
Un'equazione algebrica di secondo grado a coefficienti complessi
a z 2 +b z+c=0
a , b ,c ∈ℂ
a≠0
ammette sempre due soluzioni complesse:
1. distinte se Δ =b 2−4 a c≠0
2. coincidenti se Δ =b 2−4 a c=0
ottenibili applicando la ben nota formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
2
z=
con w 2=b 2−4 a c
−b+ √ b −4 a c
2a
 z=
−b+w
2a
Forma esponenziale
z= ρ e i ϑ= ρ {cos( ϑ)+i sen(ϑ )}